微分方程求解
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2023年2月22日发(作者：多客软件)----
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微分方程的例题分析及解法
本单元的基本内容是常微分方程的概念，一阶常微分方程的解法，二阶常微分方程的解法，微
分方程的应用。
一、常微分方程的概念
本单元介绍了微分方程、常微分方程、微分方程的阶、解、通解、特解、初始条件等基
本概念，要正确理解这些概念；要学会判别微分方程的类型，理解线性微分方程解的结构定理。
二、一阶常微分方程的解法
本单元介绍了三种类型的一阶微分方程的求解方法：变量可分离型，齐次型，线性方程。
对于一阶微分方程，首先要看是否可以经过恒等变形将它的变量分离；
对于一阶线性微分方程，先用分离变量法求解其相应的齐次方程，再用常数变易法求解
非齐次方程；当然也可直接代下列通解公式：
pxdx
q(x)e
pxdx
yedxC
齐次型微分方程
y
yf()
y
x
令uu与自变量x的变量可分离的微分方程。
，则方程化为关于未知数
x
三、二阶微分方程的解法
1．特殊类型的二阶常微分方程
本章介绍了三种特殊类型的二阶方程的求解方法：
（1）yf(x)，直接积分；
（2）yf(x,y)，令yp，
（3）yf(y,y)，令yp，则y
dpp
dy
这三种方法都是为了“降价”，即降成一阶方程。
2．二阶线性常系数微分方程
二阶线性常系数微分方程求解的关键是：
（1）特征方程
对于相应的齐次方程，利用特征方程
2
pq0
求通解：
（2）对于非齐次方程，根据下列形式自由项的特点
f(x)
exP
m
(x)
和f(x)e
ax
P
l
(
~
x
x)cosxp
n
(x)sin
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设置特解y的形式，然后使用待定系数法。
四、微分方程的应用
求解应用问题时，首先需要列微分方程，这可根据有关科学知识，分析所研究的变量应该遵循
的规律，找出各量之间的等量关系，列出微分方程，然后根据微分方程的类型的用相应的方法求解，
还应注意，有的应用问题还含有初始条件。
一、疑难解析
（一）一阶微分方程
1．关于可分离变量的微分方程
可分离变量的微分方程是一阶微分方程中的一种最简单的方程，形如
f
1
(x)g
1
(y)dxf
2
(x)g
2
(y)dy0
（1）
的微分方程称为变量可分离的微分方程，或称可分离变量的微分方程，若
f
2
(x)g
1
(y)0，则方程（1）可化为变量已分离的方程
g
2
(y)dyf
1
(x)dx
g
1
(y)
f
2
(x)
两端积分，即得（1）的通解：
G(y)F(x)C（2）
（2）式是方程（1）的通解（含有一个任意常数），但不是全部解，用分离变量法可求
出其通解为ysin(xc)，但显然y1也是该方程的解，却未包含在通解中，从这个例
子也可以理解通解并不是微分方程的全部解，本课程不要求求全部解。
有些看上去不能分离变量的微分方程，通过变量代换可以化为可分离变量的方程来求
解。如齐次型微分方程。
y
f(
y
)或
dy
f(
y
)
（3）
xdxx
可用代换yux化为
dudx
f(u)ux
两端同时积分即可求解。
（2）关于一阶线性微分方程。
一阶线性微分方程是指形如
yp(x)yq(x)（4）
的方程，其中p(x)、q(x)是已知函数，其特点是y，y都以一次幂的形式出现在方
程中，求它的通解时，即可以用公式
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p(x)dxp(x)dx
（5）ye(q(x)edxC)
来求，也可以用常数变易法来求，即通过分离变量法先求出齐次线性方程
yp(x)y0
p(x)dx
，再令C来未知函数C(x)，将yC(x)e
p(x)dx
的通解yCe
代入
方程（4），求出C(x)，最后得到所求通解y
p(x)dx
C(x)e。
有的方程把x看作未知函数，y看作自变量时成为一阶线性微分方程，如方程
ylnxdx(xlny)dy0
可变形为关于xx(y)的一阶线性非齐次方程
dxx1
dyylnyy
如同一些方程用适当的变量代换可化成可分离变量方程求解一样，有些方程用变量代换
可以化成一阶线性非齐次方程，如伯努利方程。
yp(x)y
q(x)yn
，(n
0,1)
用代换z
y
1n
则化为z
(1n)p(x)z(1n)q(x)
（二）关于常数变易法
所谓常数变易法就是将相应的线性齐次微分方程通解中的常数
C变为待定函数C(x)，
然后代入线性非齐次微分方程中，求出
C(x)，从而得到线性非齐次微分方程通解的方法。
C(x)，由于y
p(x)y
0的通解为yCe
p(x)dx
常数变易法的关键是如何确定
（1），
将常数C用C(x)代换，设y
p(x)dx
p(x)yq(x)的通解，将其代入C（x)e为方程y
方程中，就得到关于待定函数
C(x)的导数C(x)应满足的方程，即
(p(x)dx()
（*）
Cxeqx
（*）式是求C(x)过程中重要的一步，应记住这个表达式，事实上，它的左端是将通
解yC(x)e
p(x)dx
*）式中的C(x)换成C(x)，右端是原方程中右端顶（非齐次项）将（
变形，再求积分就得到C(x)。
p(x)dx
DC(x)q(x)edx
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例
求y
y
21nx
的通解。
xx
12lnxy
解这是一阶线性方程，
，q(x)
p(x)。相应的齐次方程y0的
xxx
通解为yCx。
设非齐次方程的通解为yC(x)x，代入原方程，得
C(x)x
2lnx
x
2lnx
2lnxd(
1
)
C(x)
x2x
2222
C
lnx
x
2dxlnx
xxx
所求通解为面y
(
2
lnx
2C)x2xlnx2Cx
xx
（三）可降阶的特殊
本章所研究的二阶微分方程主要有两类：一是可降价的二阶微分方程，它的形式及相应的解法
见表8-1：
表8-1可降阶的二阶微分方程及求解方法
方程形式求解方法
yf(x)积分得y
f(x)dx
C，再积分，得通解。
yf(x,y)
设yp，则yp，方程化为pf(x,p)
设yp,则
yp
dp
，方程化为
dy
yf(y,y)
dp
p
dy
f(y,p)
（四）二阶线性常系数微分方程
ypyqyf(x)
(
其中p,q为常数)
当f(x)0时称为齐次的，此时通解依特征方程
2pq0的特征根
1
,
2
而定
（见教材表
8-6-1），当f(x)0
时，称为非齐次的。它的通解可写成
yyy
其中y是该方程对应的齐次方程
ypyqy0
的通解，而y是该方程的一个特解。
一般说来，求特解y并不是件容易的事情，但当右端项f(x)为某些特殊形式函数时，
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特解y具有相应的特殊形式，如表8-2所示。这时可用特定系数法来求出y。
表8-2
非齐次项f(x)的形式
特征方程的根
特解y
的形式
0不是特征根（即q0时）y
(x),(x)是与f(x)同次的多项式
f(x)是n次多项式
0是特征方程的单根（即q0时yx(x)
0是特征重根，（即p
q0时）y
x2(x)
f(x)eaxP(x)
a不是特征根y
Q
m
(x)ex
mQ
m
(x)
是与
P
m
(x)
同次的多项式
即f(x)是指数函数
a是单特征根y
xQ
m
(x)ex
与多项式乘积
a是重特征根y
x2Q
m
(x)ex
i不是特征根
y
A
l
(x)cos
x
B
l(x)sinx
f(x)Pn(x)cosxlmaxm,n
Qm(x)sinx
i是特征根
yxAl(x)cosxBl(x)sinx
Al
(x)、Bl(x)
都是
l
次多项式
axai
不是特征根
ax
l
l
f(x)e[pn(x)cosx
ye(x)sinx
A(x)cosxB
Qm(x)sinx]
ai
是特征根
yxeaxAl(x)cosxBl(x)sinx
从表8-2
可以看出，特解y的设法与非齐次项f(x)的形式基本是相同的，只不过依a
不是特征根、是单根、是重根时，依次再分别乘以一个xk
因子（k0,1,2）。
解题时首先应设定特解
y的形式，注意其中的未知多项式(x)或Q
m
(x)或A
l
(x)，
B
l
(x)的次数的确定方法；设定未知多项式的系数后，将y代入原方程，用待定系数法确
定未知系数。
（五）关于特征根法
特征根法不仅可用于二阶线性常系数齐次微分方程通解，也可用于求高阶线性常系数齐次微
分方程通解，即
（1）若
是单实根，则通解中含加C
1
ex
（2）若
是m重实根，则通解中含加项（C
1
C
2
xC
m
xm1)ex
（3）若
ai是共轭复根，则有通解中含加项e
ax(c
1
cosxC
2
sinx)
根据上述这些加项，就可写出方程的通解形式。
例如求方程y
(4)
2y2y2y6y
0的通解。
其求特征方程是
42322210
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分解因式为(
1)
2(
21)0_
特征根为
12
1,
3,4i
因为
1是二重根，所以通解中含加项(C
1
C
2
x)ex
；因为
3,4
i是一对共轭复根，
所以通解中含加项C
3
cosx_C
4
sinx,从而得到原方程的通解为
yC
1
exC
2
xexC
3
cosxC
4
sinx
二、例题分析
例1为下列各题选择正确答案：
（1）下列微分方程中，是二阶线性微分方程的为（）
A．(y)2yyxB．(y)22ycosx
C．yy2yD．xy5y3x2yln2x
（2）下列微分方程中，（）所给的函数是通解。
A．y
x
,yx
；
B
．y
x,x2y2C2
；
yy
C．y
x
,y
C
；
D
．y
x,x2y21；
yxy
（3）下列微分方程中为可分离变量方程的是（
）
A．
dx
xt
t；
B
．x
dx
extsint；
dtdt
C．
dx
xtt2
；
D
．
dx
x2t2
；
dtdt
（4）微分方程y
2y
ye
xcosx的特解形式应设为y（）
A．Cexcosx；
B
．ex(C1cosxC
2
sinx)；
C．
xe
x(
C
1
cos
xC
2
sin
)；
D
．
2
e
x(
C
1
cos
xC
2
sin
x
)；
xx
（5）微分方程y
y
0的通解为（）
A．yC
1
exC
2
ex
B
．y(C
1
C
2
x)ex
；
C．y
C
1
cosx
C
2
sinx
；
D
．y
(C
1
C
2
x)ex
；
解（1）微分方程的“阶”是指方程中未知函数的导数的最高阶数，
“线性”是指未知
函数及其导数均以线性
（一次）形式出现在方程中，由于，A、C中分别含有(y)
2
和yy项，
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都呈非线性形式，B中(y)
2
是一阶导数，方程为一阶方程，故只有选择D正确，事实上，D
中方程可化成二阶线性方程的标准形式为y
51
y3xylnx。
xx
（2）微分方程的通解是指所含独立任意常数的个数与微分方程的阶相等的解。
经验证，
所给四个答案中，A、B、C是方程的解，但A、D中不含任意常数，说明它们是特解，不是
通解，故选项
B正确。
（3）将方程进行变量分离，可知
dx
t(x1)是可分离变量方程。
A为
dt
B、C、D均不能分离变量，故正确选择是A。
（4）二阶常系数线性非齐次微分方程的特解形式与右端项的形式密切相关，此方程中
右端项f(x)
e
xcosx，因此特解y应设为y
xkex(C
1
cosxC
2
sinx),其中k由
ai不是特征方程的根，是单根或是重根而分别设为0，1，2此题中a
1,1,ai
不是特征根，因此特解应设为
y
x(
C
1
cos
xC
2
sin),故正确的选项为B。
ex
（5）二阶常系数线性齐次方程的通解与特征方程的根的形式密切相关。yy
0的
特征根为
i，是共轭复根，通解为三角函数形式
yC
1
cosxC
2
sinx
，故选项
C正
确。
例2
在下列各题的空白处填写正确答案：
（1）通过点（1，1）处，且斜率处处为
x的典线方程是。
（2）二阶微分方程y
e
x
的通解是。
（3）微分方程y
y
0满足初始条件y(0)
1,y(0)
1的特解为。
（4）齐次方程y
y
1的通解是。
x
x的曲线方程应满足解
（1）斜率处处为
yx
积分得
y
1x2C，代入条件y(1)1，得C
1，故所求曲线方程是y
1x21。
2222
（2）对y
e
x
两次积分，得ye
xC
1
,yexC
1
x
C
2
，此为所求通解。
（3）微分方程yy
0的特征方程为
20，特征根为
1
1,
2
0，通解
为y
C
1
exC
2
将初始条件y(0)
1,y(0)1代入，得C
1
1,C
2
2，故所求特解为y
ex2。
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（4）设u
y
,则dyudx
xdu,代入原方程中，得xdudx,ulnCx，故所求通
x
解为y
xlnCx
例3
判断下列微分方程属于哪种类型，并求出它们的通解或特解。
（1）(e
xyex)dx(exyey)dy0；
（2）y(x
2y)dxx
2dy
0；
（3）(y
x2y2)dxxdy0,y(1)0
（4）y
4xxy2,y(0)1
y
x2y
分析这几个方程都是一阶微分方程，通过适当变形来判断它们的类型。
解（1）将方程变形，得
ex(ey1)dx
ey(ex1)dy0
这是变量可分离型方程，分离变量得
ey
dy
ex
dx
eyex11
d(ey1)
d(ex1)
ey1
ex1
两端积分得：
ln(e
y1)
ln(ex1)
C
1
整理后得方程的通解为
(ex1)(ey1)
C
（2）观察方程中dx、dy的系数，都是二次函数，故原方程为齐次方程。
当x0时，各项除以x2
，得
y
(1
2y)dxdy0
xx
令u
y
，则yux
x
dyudxxdu
代入方程中，得
u(12u)dx(udxxdu)0
2u2dxxdu0
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du2dx
u2x
两端积分得：
1
2lnxC
1
u
再将u
yx
代回，得2lnxC
1
xy
于是方程的通解为
x
y
2lnCx
（3）观察方程中dx、dy的系数，都是一次函数(x2y2
可看作是一次函数），因此
方程为齐次方程。
当x0时，将各项除以x，得
[
y
1
(
y
)2]dxdy0
xx
令u
y
，则yux
x
dyudxxdu
代入齐次方程中，得
(u1u2)dx
(udxxdu)0
dudx
1u2x
两端积分，得
lnu1u2lnCx
u1u2Cx
将uy
代回，得
x
yx2y2Cx2
将初始条件y(1)0代入，得10C,C1。
故满足方程初始条件的特解为
yx2y2
x2
移项，两端平方x
2y2(x2y)2
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整理后得y
1
(x21)
2
此即为所求特解。
（4）将方程变形，得
dyx(4
y2
）
dxy(1
x2)
此为变量可分离方程。分离变量，得
ydyxdx
d(4y2)d(1x2)
4y21x24y21x2
两端积分得
ln(4y
2)ln(1x2)
lnC
(4
y2)(1x2)
C（C为任意常数）
将初始条件y
x01代入，得C
5
因此满足方程初始条件的特解为
(4
y2)(1x2)5
例4
判断方程的类型，并求解：
（1）ycosx
ysinx1
（2）x
2dy
(2xyx1)dx
0，y(1)
0
（3）x
3y
(2
3x2)y
0,y(1)1
*（4）ylnydx
(xlny)dy0
（5）ye
xyex0
解（1）方程变形为
yytanxsecx
这是一阶线性非齐次方程
方法一：用公式法
p(x)dx
[q(x)e
p(x)dx
yedxC]
这里p(x)tanx,q(x)secx,于是通解为
y
tanxdx
[secxe
tanxdx
C]edx
lncosx[
seclncosx
dxC
]
exe
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cos[secxsecxdxC]
cosx(tanxC)
sinxCcosx（C为任意常数）
方法二：用常数变易法
先求出齐次方程yytanx0的通解；
将yytanx0变形为
dy
tanxdx,两端积分得
y
lnylncosxC
1
即齐次方程的通解为yC
1
cosx(C
1
为任意常数）
设yC(x)cosx,将其代入非齐次方程，得
C(x)cosxsecx,C(x)sec2x
积分求得C(x)
sec2xdxtanxC
故所求方程的通解为
y(tanxC)cosxsinx
Ccosx（C为任意常数）
（2）方程变形为
dy
2y11
dxxx
x2
此为一阶线性非齐次方程
p(x)
211
用公式求解：这里,q(x)
xx
2
，于是方程的通解为
x
22
dxdx
yex[(
11
)exdxC]
x
x2
2lnx
112lnx
e[(xx2
)e
dxC]
1
2
[(
11
2
)x2dxC]
xxx
1
[(
1
2x)C]
x2x
2
11C
2xx2
（其中C为任意常数）
将初始条件y(1)
0代入，得C
1
，因此方程满足初始条件的特解为
2
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111
y
2
2x2x
（3）方程变形为
y2
3x2y0
x3
这是一阶线性齐次方程，用公式求通解为
yCe
23x
2
dx13lnx1
x
3Cex
2Cx3ex
2
将初始条件y(1)
1
1
，因此方程满足初始条件的特解为
代入，得C
e
1
y
x3ex
2
1
*4y
看作自变量，
x看作未知函数，则原方程是关于未知函数x(y)的一阶（）将
线性非齐次方程。
dx1x
1
,(y1)
dyylnyy
这里p(y)
1,q(y)
1
,
于是通解为
ylnyy
1
dy
1
xeylny
dy[1eylnydyC]
y
elnlny[
1
elnlnydyC]
y
1[
lnydy
C]
lnyy
1
(
1
ln2
yC)
lny2
1
lny
C（C为任意常数）
2lny
（5）该方程是一阶非线性方程，是可分离变量型方程，原方程变形为
y
ex(ey1)0
dy
1
exdx,eydyexdx
ey1ey
积分得
ln(e
y1)exC，ey1Cee
x
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x
故通解为yln(1Cee)（C为任意常数）
小结
（1）从上面的例子看出，判断方程的类型是最基本的，分清类型才能确定求解的办
法，这不仅是对一阶微分方程而言的，对其它的微分方程也是如此。
（2）对一阶微分方程来说，如果它是形如yf(x)g(y)的方程，则属于变量可分离
方程；如果方程形如yf(
y
)，则属于齐次方程。有些方程则需作适当代换，化成上述两
x
种类型。如yf(axbyc)，令uaxbyc，则可化成变量可分离的形式。
（3）一阶线性微分方程是一阶微分方程中比较基本而又重要的类型之一，它可以用
公式
p(x)dx
[q(x)e
p(x)dx
yedxC]①
求通解，也可以用常数变易法求通解，用公式法求通解时，要注意先把方程化成标准
形式
yp(x)yq(x)②
这亲才能准确地确定出
p(x)、q(x)。用公式法求通解时，要先求出齐次方程的通解
yCe
p(x)dx
，然后将常数C变成待定函数C(x)，即令
p(x)dx
yC(x)e③
为非齐次方程的通解，代入原方程求出C(x)，将C(x)代回③，这样便得到方程②的
通解。
（4）一阶线性非齐次方程的通解式①可写成下面两项之和
p(x)dxp(x)dx
q(x)e
p(x)dx
yCeedx
上式右端第一项是对应的齐次线性方程的通解，第二项是非齐次方程的一个特解（在通解式①中取
C0便得到这个特解）。由此可知，一阶线性非齐次方程的通解等于对应的齐次方
程的通解与非齐次方程的一个特解之和。
例5求下列微分方程的通解。
（1）y
xe
x
（2）
（3）(1
x
2)y2xy,y(0)0,y(0)3
（4）
yy(y)20y(y)
3y
分析这些都是可降价的二阶微分方程式，可用变量代换的方法将它们化为一阶微分方
程来求解。
解（1）方程右端不显含y,y，只把y作为新未知函数，则方程就是关于y的一
阶微分方程，两边积分，得
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-----
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yxexdxxexex
C1
再积分即得通解y(xexexC1)dx
xex2exC
1
xC
2
（2）方程不显含
x，作代换py，于是
ydpdpdy
pdp
dxdydxdy
代入原方程，得
yp
dp
p20
dy
如果p0，那么约去p并分离变量，得
dpdy
py
两端积分并化简，得p
C
1
y，即y
C
1
y
分离变量并积分，得lny
C
1
xlnC
2
于是有y
C2eC
1
x
如果p0，那么从yp中可得yC，显然它也是原方程的解，但yC已被包含在解
y
C2ec
1
x
中了（仅C
1
0，就得到它），所以原方程通解为
yC
2
eC
1
x
3
y,
设yp，则yp代入方程并分离变量后，有
（）方程不显得
dp2x2dx
p1x
两端积分，得lnp
ln(1x
2)
lnC
1
，即
py
C
1
(1x2)
由条件y(0)3，得C
1
3，所以
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y
3(1x2)
再积分，得y
x
33x
C
2
由条件y(0)1，得C
11
于是所求的特解为y
x
33x1
（4）方程仅含y，不显含y与x，设p
y，则y
p
dp
，代入原方程，得
dy
pdp
p3p
dy
当p0时，约去p并分离变量，得
dp
p21
dy
积分得arctanPyC,Ptan(yC)
将py代入并分离变量得
dy
dx
tan(yC)
积分得lnsin(yC)xlnC
2
即
sin(yC)C
2
ex
于是原方程的通解为
yarcsin(C
2
ex)C
1
(C
1
C)
此题是中，若
y表示为p，即yp，那么代入原方程后也得到一个可分离变量方
程。p
p
3p
分离变量并积分得
dp
dx
p(p21)
1
ln(1
1
2
)
xC
2p
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即
故
两个计算结果是一致的。
小结
p21
Ce2x1
y
1
exdx
2x1
dx
Ce
Ce2x
arcsin(C
1
ex)
C
2
（其中C
11
C
从上面例子看出，方程（1）yf(x)直接积分两次就可得到通解，而方程（2）和（3）
则必须作代换后通过降价才能求通解，值得注意的是，对方程（2）和（3）所作的代换是相
同的，即均为yp，但y的表达式却是不同的，要根据方程中是含有x还是含有y而将
y分别表示成y
p（方程（3）情形，含x不含y）或yp
dp
dy
y不含x）。
例6
求下列微分方程的通解：
（方程（2）情形，含
（1）y4y13y0（2）y5y6y0
分析这两个是二阶常系数线性齐次方程，写出特征方程，求出特征根，根据特征根的不
同情况，定出它们的通解。
解（1）所给微分方程的特征方程是
24130
特征根
23i，为一对共轭复根，因此所求通解为
ye2x(C
1
cos3xC
2
sin3x)
（2）所给方程的特征方程是
2
560
特征根
1
6，
1
1是两个不相等的实根，因此所求通解为
yC
1
e6x
C
2
ex
例7求初值问题
4y4yy0
y(0)1,y(0)0
的解。
解所给微分方程的特征方程为
42410
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特征根
1,2
1
是两个相等的实根，因此所求方程的通解为：
2
1x
y
(C
1
C
2
x)e2
将初始条件y(0)
1,y(0)
0代入，求得C
1
1,C
2
1
，因此初值问题的解为
2
y(1
1x
1
x)e2
2
例8
求下列微分方程的通解
（1）2y
5y5x
2
（2）y6y9y(x
21)e3x
分析这是二阶常系数线性非齐次方程，求通解
y时，应先求出对应齐次方程的通解
y，再根据右端函数的形式及特征根的情况，设出非齐次的方程的特解y，则yy就是
所求通解。
解
（1）先求齐次方程2y5y
0的通解y，特征方程为2
2
50，特征根
为
10,2
5
2
5x
故齐次方程通解为y
C
1
C
2
e2
由于a0是特征根（方程右端函数可看作是
5x
2e0x
），故特解设为
y
x(Ax2Bx
C)e0xAx3Bx2Cx
注意：
无论f(x)中有无了一次项及常数项，在设y时，其中的二次多项式Q
2
(x)中必须含有
二次项、一次项和常数项。
因为y3Ax
22BxC
y6Ax2B
代入方方程中，有
15Ax2(12A10B)x(4B5C)5x2
比较两边同次幂的系数，得
15A5
12A10B0
4B5C0
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从而求得A
1
,B
2
,C
8
，所以原方程的一个特解是
3525
128y
x3x2x
3525
于是原方程的通解为
5x(1x32x2
8
x)
yC
1
C
2
e2
3525
（2）齐次方程y
6y9y
0的特征方程为
2690
特征根为两个相符的实根
3，故齐次方程的通解为y
(C
1
C
2
x)e3x
由于a3是重根，因此非齐次方程的特解形式为
y
x2(Ax2BxC)e3x
因为y
[3Ax
4(4a
3B)x3(3B3C)x22Cx]e3x
y
[9Ax4(24A9B)x2(12A
18B9c)x2(6B
12C)x2C]e3x
代入方程中，整理有
12Ax26Bx2C
x21
比较两端同次幂的系数，有
A
1
,B0,C
1
122
所以原方程的一个特解为
yx2(1x21)e3x
122
于是原方程的通解为
y(C
1
C
2
x)e3xx2(1x21)e3x
(
1
x41x2
122
C
2
xC
1
)e3x
例9
122
求下列方程的特解
(1)
y8y16yx
e4x
(2)
y2y2y
xex,y(0)
1,y(0)0
解
（1）方程右端函数f(x)
xe
4x
可看作是函数f
1
(x)x与f
2
(x)e4x
之和，
因此原方程的特解
y是下列两个方程
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y8y16y
f
1
(x)x
①
y8y16y
f
2
(x)x4x
②
的特解y
1
与y
2
之和，即yy
1
y
2
微分方程的特征方程为
2816
0，显然0不是特征根，因此方程①的特解设为
y
1
AxB
计算y
2
、y
2
并代入方程，有
8A16Ax16Bx，
解出A
1,B1
故方程①的特解为
1632
y
1
1x1
1632
由于
4是二重特征根，因此方程②的特解为
y
2
Cx2e4x
计算y
2
、y
2
并代入方程有
2Ce4xe4x,C
1
2
故方程②的特解为
y
2
1x2e4x
2
于是原方程的一个特解为
yyy
111
24x
2116322
（2）特征方程为
222
0，显然a1不是特征根，因此特解设为
y(Ax
B)ex
因为y(A
BAx)e
x
y(B2AAx)ex
代入方程中，有(AxB)e
xxex
，比较两端同次幂系数，求得
A1,B0
于是求得方程的一个特解
yxex
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经验证知它不是满足初始条件的特解
为求满足初始条件的特解，必须要先求出原方程的通解，由于原方程对应的齐次方程的通解
为
y
ex(C
1
cosxC
2
sinx)
所以原方程的通解为
yyy
ex(C
1
cosxC
2
sinx)xex
将初始条件y(0)1,y(0)0代入，求得
C
1
1,C
2
0
故满足初始条件的特解为
y(cosx
x)ex
由此例可以看出，如果仅求方程的一个特解，那么由待定系数法就可以求出：若要求满足初始
条件的特解，则需先用特定系数法求出一个特解（此特解不一定满足题给的初始条
件），这时应先求出非齐次方程的通解，然后再代入初始条件，确定任意常数，这样才能
求得初值问题的解。
例10求下列微分方程的一个特解。
（1）y
4y4y
e
2xsin5x
（2）y
2y3y(x1)sinx
（3）y
2
y
2
y
ex
cos
x
4
解(1)
特征方程为
244
0，特征根为212
由于非齐次项
f
(
x
)
e
2xsin5,
5,ai
25i不是特征根，故特解x其中a2,
设为
ye2x(Acos5x
Bsin5x)
其中A、B是待定系数（注意：特解不能只设一项
Ae
2xsin5x），因为f(x)应看成是
f(x)
e2x(sin5x
0cos5x)
对特解求导
y
e2x[(2A
5B)cos5x(2B5A)sin5x]
y
e2x[(20B
21A)cos5x(20A21B)sin5x]
将y,yy一同代入原方程，整理后得
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e2x(25Acos5x25Bsin5x)e2xsin5x
比较两端同类项系数，得A0,B
1
,于是方程的一个特解为
251
e2xsin5x
y
25
（2）特征方程为
223
0,特征根
1
3,
2
1，由于f(x)(x1)sinx属
于f(x)
e
ax[p
l
(x)cos
x
Q
n
(x)sin
x]型，这里a
0,
1,p(x)0，故特解设为
y
(a
1
xa
0
)cosx(b
1
xb
0
)sinx
计算y
,y,有
y
(a
1
b
0
b
1
x)cosx(b
1
a
0
a
1
x)sinx
y(
2a
1
b
0
b
1
x)sinx(2b
1
a
0
a
1
x)cosx
代入原方程，有
(4a02b02a12b14a1x2b1x)cosx
(2a
0
4b
1
2a
1
2b
1
2a
1
x4b
1
x)sinx
(x1)sinx
比较两端同项的系数，得
由此解得
于是求得一个特解为
（3）特征方程为
f(x)eax
型，这里a
4a
0
2b
0
2a
1
2b
1
0
4a
1
2b
1
0
2a
0
4b
0
2a
1
2b
1
1
2a
1
4b
1
1
a
1
1
,b
11
105
a
0
1
,b
0
11
2550
y
(
1
x
1
)cosx(1x
11
)sinx
1025550
222
0，特征根1
i，由于
f(x)4excosx，属于
1,
1,p
1
(x)
~
0,由于ai
是单特征根，故特解设为
4,p
n
(x)
yxex(C
1
cosxC
2
sinx)
为求导计算方便，设u(x)C
1
cosxC
2
sinx,于是
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y
xexu
y
ex(u
xuxu)
y
ex(xu
2xu2u2uxu)
将以上三式代入方程中，并考虑到uu,u
C
1
sinx
C
2
cosx，于是有
y2y2y
ex(xuxu
2u)
ex2u
2x(
C
1
sin
x
C
2
cos
x
)
e
4xexcosx
较同类项系数，得C
1
0,C
2
2,于是所求方程的一个特解为
y
2xexsinx
例11
求方程yyy
cos2x的通解。
解
将f
x2x
变形为()sin
f(x)1
1
cos2x
y是齐次方程
22
于是原方程的通解
yyy0①
的通解y与下面两个方程
yyy
1
②
2
yyy
1
③cos2x
2
的特解y
1
和y
2
的和，即y
y
y
1
y
2
特征方程为
2
10，特征根为1
3
i，故方程①的通解为
22
1x3
xC
2
sin
3
x)
ye2(C
1
cos
22
对方程②来讲，由于
0不是特征根，故特解设为
y
1
A
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代入方程②，解出A
1
，故y
11
22
对方程③来讲，由于a0,2,ai不是特征根，故特解设为
y
2
B
1
cos2xB
2
sin2x
计算y
2
、y
2
并代入方程，整理得
(
3B
1
2B
2
)cos2x(3B
2
2B
1
)sin2x
1
cos2x
2
比较两端同类项系数得
1
3B12B2
2
3B
2
2B
1
0
解出B
1
3
,B
2
1
,故
2613
31
y
2
sin2x
cos2x
13
26
所以原方程的通解为
yy
y
1
y
2
x3
x)
3
cos2x
1
sin2x
e2(C
1
cos
3
xC
2
sin1
2222613
求一阶或二阶微分方程通解常用的方法还有数值解法（如龙格一库塔法）、幂级数解法
等，这些例子教材中已讲得较详细了，在此不赘述了，下面看一下关于微分方程的应用问题
举例。
例12
求一曲线，使由其任一点的切线、二坐标轴和过切点平行于纵轴的直线所围成
的梯形面积等于常数值3a2
解①列方程
设p(x,y)是所求曲线yf(x)上的任一点，则过该点的切线方程为
Yyy(Xx)或Yy(Xx)y
其中(X,Y)是切线上任意一点的坐标。
于是由该切线、二坐标轴及直线
X
x所围成的梯形面积为
x[
1
y(Xx)2yX]
0
xyx
1
yx2
S[y(Xx)y]dX
022
由已知条件S
3a
2
得
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1yx2yx3a2
2
即
2y
6a2
（*）
y
x2x
②解方程
这是一个线性非齐次方程，其对应的齐次方程的通解为
2
Ce2lnxCx2yCex
用常数变易法求非齐次方程（*）的通解，设通解为
y
C(x)x2
代入方程（*），整理后得
C(x)x
26a2
6a2
x2,C(x)
x4
C(x)
6a22a2C积分，得
4dx3
xx
从而得到y
(2a2
C)x2
x3
即所求曲线方程为
2
2
2a
yCx()
求解微分方程的应用问题时，首先要列出方程，然后再求解。一般说来，列方程有有下
述两种方法：
（1）根据有关科学知识，分析所研究的变量应遵循的规律，找出各变量之间的等量
关系，列出微分方程；
（2）微元法：这种方法的基本思想是，把所研究的整体理加以“细分”，取微元，分析
变量在微元内的变化情况，找出等量关系，再列出方程，具体做法是：将自变量x的取值区
间细分，从中任取一小段dx,在微小区间[x,xdx]上，示知函数看作是均匀不变的，于是
可用微分dy近似代替函数y的改变量，在后根据物理定律列出方程。
例13
潜水艇下降过程中受到重力
mg与阻力
k
dx
的作用，于是运动方程为
dt
即
mgk
dx
md2x
dt
dt2
md2mkdx
mg①
dt2dt
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这是二阶线性非齐次方程，特征方程为
m2k0
特征根为0,
k,故对应的齐次方程的通解为
m
kt
xC
1
C
2
em
由非齐次项f(x)mg,0是特征根，故方程①的特建设为
xAt
代入方程①得kAmg,A
mg
，从而特解为
k
mgt
x
k
由②、③知方程①的通解为
kt
mgt
x(t)
C
1
C
2
em
k
依题意，t0时，x(0)
0,x(0)0，代入④中有
x(0)
C
1
C
2
0
ktmg
)
t0
0
x(0)(
k
C
2
em
mk
解出
C
2
m2g
,C
1
m2g
k2k2
于是得到潜水艇下降的深度
x与时间t的关系是
mgt
m2g
k
x(t)
(1emt)
k
k2
三、自我检测题
②
③
④
（一）填空题
1.微分方程yx的通解为
。
2．方程y
2y
0的通解为
。
3．方程y
2y3y
xex
的特解应设为y
。
4．求方程y
(1
y2)32的通解时，设变量代换
py，则原方程化为一阶微分工
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程。
5．微分方程y
2y
y0的通解为
。
（二）单项选择题
1．微分方程F(x,y4,y,(y)2)
0的通解中含有（
）个独立任意常数。
A．1；
B
．2；
C．4；
D
．5
2．微分方程xy
yQ(x)
0的通解为（
）
A．xQ(x)
2
dxC
B
．
ex(
xQ(x)dx
C)；
x
xQ(x)
dxC．x
Q(x)
C．e
xDx2
dxC
3.微分方程2y
yy0的通解为（）
x
A．
y
C
1
exC
2
e2x
；B．yCe
xC
e2
；
12
x
C．yC
1
exC
2
e2
；
1
exC
2
e2x
4．微分方程
y2dx
(1x)dy
0
是（
）微分方程。
A．一阶线性齐次；B．一阶线性非齐次；
C．可分离变量；D．二阶线性齐次；
5．下列方程中，可用代换Py,py降为关于p的一阶微分方程的是（）。
A．(d2y)2xyx0
B
．
d2y
yyy20
dx2dx2
C．
d2y
x2yy2x0
D
．
d2yydy
x0
dx2dx2dx
（三）计算题
1．求下列微分方程的通解或特解；
（1）xydx1x2dy0,y
x0
1（2）(x2y2)dxxydy0
（3）yy
2xsecy
（4）y
y
(1lnylnx)
x
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2．求下列方程的通解或特解
（1）y
y
sinx
,y()
1（2）yxy1
xx
3．设方程y
2y10y
f(x)中f(x)分别为以下各函数，问特解如何去设？
（1）
f(x)
xex
（2）f(x)e
xsin3x
（3）f
x
xe
x
cos3
x
()
4．求下列方程的通解
（1）y
3y2y
xe
x
（2）y6y9y5cosx
（3）y
yy
sin
2x
5．一曲线上各点的法线都通过点(a,b)，求此曲线的方程。
自我检查题答案或提示
（一）1．y
1
x3C
1
xC
2
2
．y
Ce2x
6
．
dp
3
．y
x(AxB)ex
4
(1p2)32
dx
5
．yC
1
C
2
exC
3
xex
（二）1．B；
2
．A；3．B；
4
．C；
5
．A；
（三）1．（1）ye1x
21（2）y
22x2ln(x
C)
（3）x
2
ysinycosyC（4）y
xecx
2．（1）y
1cosx（2）x
y2
Cex
x
3.（1）y
(AxB)ex
（2）y
xex(Acos3x
Bsin3x)
（3）y
xe
x[(AxB)cos3x
(CxD)sin3x]
4．（1）
（2）
y
C
1
exC
2
e2x(1x2x）ex
2
y
C
1
e3xC
2
xe3x
2
cosx
3
sinx
510
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（3）提示：sin2x
1cos2x
；
2
x
3x
3
x)
1
sin2x
3
cos2x
1
ye2(C
1
cosC
2
sin
2213262
5.(xa)2(yb)2C
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