一阶线性微分方程

一阶线性微分方程

史官-胜任工作

2023年3月20日发(作者：微信接口开发文档)

一阶线性微分方程的解法

班级：化工与制药类01班学号：姓名：陈佳

摘要：讨论一阶线性齐次和非齐次微分方程的解法：齐次方程，

分离变量法；非齐次方程，常数变易法，公式法。

关键词：一阶，线性方程，解法。

一阶线性线性微分方程：

形如

dx

dy

+p(x)y=Q(x)的方程为一阶线性微分方程。

（1）当Q(x)≡0时，为一阶线性齐次微分方程。

（2）当Q(x)≠0时，则为一阶线性非齐次微分方程。

（一）一阶线性齐次方程的解法

分离变量法:齐次方程是可分离变量的方程，分离变量后得

y

dy

=—P(x)dx

两边积分得ln|y|=－dxxP)(+C1

y=CedxxP)(_(C=eC1)

齐次方程的解法与可分离变量的微分方程的解法思路大体一

致。常见的习题有求通解和求特解两种。

a.求通解问题

例1求方程x

dx

dy

=y-3的通解

齐次方程，分离变量得

3y

dy

=

x

dx

两边积分得ln|y-3|=ln|x|+lnC

即y=Cx+3

b.求特解问题

例2求方程

dx

dy

+3y=0在x=0,y=2时的特解

P(x)=3

y

dy

=-3dx

两边积分得ln|y|=-3x+C1

y=eCx13

代入初始值得C1=ln2

即所求微分方程的特解为y=ex2ln3

（二）一阶非齐次线性方程的解法

常数变易法：求其对应齐次方程通解y=CedxxP)(;再令

C=C(x),即y=C(x)edxxP)(;再把上式代入非齐次方程求得C（x）的

微分方程，求出C（x）;最后把C（x）代入便可得到非齐次方

程的通解。

齐次方程为非齐次方程Q(x)≡0的一种特例，因而两种方程

的通解之间必然存在着联系。即非齐次线性方程的通解等于对应

的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和。

公式法：公式法是有常数变易法所求得的通解，利用齐次和

非齐次线性方程关系整理变形出得到的一个求解非齐次线性方

程的通式。

即y=CdxxQeeedxxPdxxPdxxP



)()()()(

在实际计算时，对于两种方法应该根据需要合理选取。很多

时候，两者可以通用。

a.利用齐次与非齐次线性方程的通解间关系解题

例1设y1(x)是y′+p(x)•y=q(x)的一个特解，求该方程的通

解

利用两者之间的关系可求得所求通解为

y=y1+Cedxxp)(

b.常数变易法求解通解的问题

例2求方程y′+2xy=xex2

的通解。

其对应齐次方程y′+2xy=0的通解为y=Cex2



设原方程的通解为y=C(x)ex2



求导得y′=C′(x)ex2

-2xC(x)ex2



将y和y′代入原方程得

C′(x)ex2

-2xC(x)ex2

+2xC(x)ex2

=xex2



即C′(x)=x积分得

C（x）=xdx=

2

1

Cx2

代入原方程得通解为

y=(Cx2

2

1

)ex2



c.求特解的问题

例3已知方程xxy

dx

dy

42求其在x=0,y=2的特解。

P（x）=2xQ(x)=4x

代入公式得

242222xxxxCedxxeeCey

将初值代入求得C=1

所以所求方程的特解为y=ex2

+2

d.与一阶线性方程求解有关的证明问题

例4设函数)(),(xfxp在),0[上连续，且bxfaxp

x





|)(|,0)(lim，

a，b为常数。求证：方程)()(xfyxp

dx

dy

的一切解在),0[上有界。

证明：由于0)(lim



axp

x

因此存在0X，使得当Xx时，有

2/3)(2/axpa，由连续性可知，只需证明)(xy在),[X上有界。

BAdsesfeyyx

X

drrp

drrp

x

s

x

X











)(

)(

0

)(

其中，



x

X

drrpeyA)(

0

，dsesfB

x

X

drrp

x

s

)()(

||||||||

0

)(

2

0

)(

0

yeyeyAXx

a

drrp

x

X







a

b

e

a

b

dseb

dsebdsesfB

Xx

a

x

X

sx

a

x

X

drrp

x

X

drrp

x

s

x

s

2

1

2

|)(|||

)(

2

)(

2

)()(

































所以方程)()(xfyxp

dx

dy

的一切解在),0[上有界。

例55．设)(xf在),0[上连续，且bxf

x





)(lim，又0a。求证：

方程)(xfay

dx

dy

的一切解均有

a

b

xy

x





)(lim

证明：由上题知)(xy在),0[上有界。

由于bxf

x





)(lim因此，对任何0存在0X，使得当Xx时，有

),()(bbxf

且axe，所以当Xx2时









































x

X

drrp

drrp

x

X

drrp

X

x

drrpdrrp

drrp

drrp

x

x

drrpdrrpdrrp

dsesqeXy

dsesqdsesqe

eey

dsesqeeyy

x

s

x

X

s

x

s

x

x

x

x

X

X

x

s

x

x

x

x

x

)(

)(

)()()(

)(

)(

0

)()()(

0

)()(

})()({

)(

0

0

00

0

0

000

}1{)(

)()()()(













a

b

Xy

dsesfeXyyx

X

sxaXxa

同理

a

b

Xyy







)(

所以

a

b

xy

x





)(lim

一阶线性方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控

制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳

定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化

为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。因此，学

好一阶线性方程对我们日后的学习和研究有着奠基作用。