讲座2 信号变换基础 -- 线性空间及正交变换的基本理论

2024年2月26日发(作者：)

讲座2 信号变换基础

--- 线性空间及正交变换的基本理论

2.1 前言

在电子技术、通信工程、自动控制等领域，怎样描述和分析信号，抽取其特征，这对于信号处理是非常重要的。这个问题的理论基础是高等代数中的线性空间变换问题。

人们知道，三维空间中的向量一般要用它在正交坐标系的三个分量来描述。但是，如果适当地旋转坐标轴（进行正交变换），使所讨论的向量与其中一个坐标轴重合，而垂直于其它两个坐标轴，那么，向量就可以只用它在该坐标轴上的投影来描述。对于平面上的向量也可以作类似的处理。

一般信号看起来很复杂，可视为无限维空间的一个向量。人们很难从这样的向量获知信号的本质，从而也难以对其进行有效的处理。所以，对信号进行分析就理所当然地涉及坐标系的变换，即从时域变换到频域或相反。这种变换就是高等代数中的正交变换。正交变换具有“能量”不变性（即向量长度不变）。

傅里叶变换是信号处理中常用的正交变换。它有四种基本形式，即

1．连续时间周期函数的傅里叶级数变换

2．连续时间非周期函数的傅里叶变换

3．离散时间非周期函数的序列傅里叶变换

4．离散时间周期序列的序列傅里叶级数变换

为了使读者从更宽广的角度领会本书的内容，作者认为非常有必要开设本讲座。本讲座的任务是帮助读者复习一些先修课程的重要内容。作者将按以下顺序导出正交变换：

线性空间 ---〉线性空间的线性变换 ---〉欧几里德空间 ---〉正交变换

2.2 空间Kn

2.2.1 n元向量空间

人们在解析几何中已经知道，三维几何空间在取定三个互相正交的单位向量e1，e2和e3，形成一个Descartes

直角坐标系后，任一向量与它在各坐标轴上的投影（图2.2.1），即三个有序实数1，2，3 一一对应：

Tx(1,2,3)

1

图2.2.1 三维向量

这里，x 是由行向量(1,2,3)转置而成的列向量，”T”表示转置。

向量的数乘是指



ax(a1,a2,a3)T

向量还有加法运算。若x(1,2,3)应于三元数组之间的如下运算：

T和y(1,2,3)T，则加法对TTTxy(11,22,33)(1,2,3)(1,2,3)

以上叙述可以推广到n元向量。n1矩阵就是n元列向量。n元列向量集合称为关于矩阵加法和数乘两种运算的线性空间，记为Kn。

几何空间中某个向量集合（例如一张平面或一根直线）具有这样的性质，即其中的向量在做了数乘或加法运算后，所得的向量仍在该平面或直线上。Kn空间也有这样的性质。

较大的空间可以包含属于它的子空间。在子空间进行加法和数乘两种运算，其结果仍在该子空间。根据这样的定义，任何平面是三维空间的子空间；而直线则是平面的子空间。

2.2.2 向量的线性相关与线性无关

nK中的向量(1)，,(2),,

(i)称为线性相关的，如果存在不全为零的a1，

a2，ai

Kn，使

a1(1)a2(2)ai(i)(i)0

向量(1)，(2)，，不线性相关，就称为线性无关或线性独立，即若有a1，a2，，

ai

Kn，使

a1则必有

(1)a2(2)ai(i)0

a1a2ai0

线性相关和线性无关在意义明确的情况下，简称为相关和无关。

在平面上，任何两个不共线的向量是线性无关的；在三维空间，任何三个不共面的 2

向量是线性无关的。反之，共线的向量是相关的，因为其中的一个向量可以用另一个向量表出。共面的三个向量中，一个向量可以用其它两个向量表出，所以它们是相关的。

设

(1),(2),,(i)Kn，是一组线性无关的向量，则任何其它向量可以用这组向量唯一地表示：

ai(1)a2(2)ai(i)

式中的系数组{a1,a2,,ai}是唯一的。

2.2.3 向量组的秩

在向量集合S中，有许多线性无关向量组，组中的向量个数的最大数称为该向量组的秩，记为r(S)。线性无关向量组又称为极大无关向量组。既然

r是向量集合S的秩，那末，集合中多于r个的向量是线性相关的。例如，平面作为一个向量集合，其秩为2。因为在平面上，任何3个向量必然是相关的。

子空间是一个向量集，它的秩称为它的维数。对于这个子空间，任何给定向量顺序的极大无关向量组称为它的基底，简称基。例如，三维空间中，设e1，e2，e3是一个极大无关向量组，其顺序已被规定。于是，这个向量组就可以作为三维空间的一个基，用以表示三维空间的其它任意向量。极大无关向量组不止一个。所以，由此形成的基也不止一个。任何一个向量可以用任何一个基来表示，但它们是可以转换的。

n设e1,e2,,en都是单位向量，它们构成极大无关向量组的充K是n元向量集合，分必要条件是Kn中的任意向量K可由它们线性表出：

n(1,2,,3)T1e12e2nen

即是e1,e2,,en的线性组合。Kn的维数是n。在这种情况下，e1,e2,,en是Kn的一个基。这样的基称为自然基。Kn的任意子空间的维数不超过n。

2.2.4 线性映射

在线性代数中，空间Kn 到Km 的一个映射f称为线性映射，如果对于

,K，,K，有

n 3

f()f()f()

在信号处理中，上述映射称为变换。

定义

Kn中向量(1),(2),,

(i)构成的分块矩阵

)

((1)|(2)||(i)

称为由(1),(2),,

(i)合成的矩阵。

下面将论证线性映射是与矩阵相连系的。

首先，用Kn中的向量(1),(2),,

(i)构成一个分块矩阵，然后，证明下面重要定理。

定理 设f是Kn 到Km 的一个线性映射，A是由Kn中由自然基e1,e2,,en的象f(e1),f(e2),,f(en)合成的矩阵，则f()A,Kn。

证明： 对于任意Kn，因为

1e12e2nen

故

f()f(1e12e2nen) 1f(e1)2f(e2)nf(en) (f(e1)|f(e2)||f(en)) A

这个定理表明，一个线性映射可以用矩阵来表示。因此，可以将一个线性映射视为矩阵，或者将一个矩阵看作线性映射。

2.3

Kn空间的推广

上一节先从普通几何空间出发，说明三元数组的意义，然后推广到n元数组，从而得到空间Kn，并且定义了它们之间的线性映射。为了进一步推广关于线性映射的理论，需要构造抽象的线性空间模型。在线性空间中，仍可沿用Kn空间中的概念和论断。

4

2.3.1 线性空间

线性空间V是一个非空集合，其中的元素是K空间的数组。对线性空间，定义两种代数运算：

1. 加法运算

加法运算用符号“+”表示。对于x,yV， 运算结果zxy仍在V中，且满足

(1)

xyyx； （交换律）

(2)

(xy)zx(yz)； （结合律）

(3) 存在0V，使0xx0x；

(4) 存在xV，使x(x)xx0；

V中的元素称为向量。x称为x的负向量。满足(3)的向量成为零向量。V又称为向量空间。

2. 数乘运算

对于任何xV，aK，数乘axV确定了KV到V的一个代数运算，称为数乘运算，且满足

(1)

()xxx（交换律）

(2)

(xy)xy（分配律）

(3)

(x)()x （结合律）

(4)

1xx

其中，x,yV，,K。

线性空间V的子空间W对于上述两种运算是封闭的：W中的向量的加法和数乘运算结果仍在

W中。

在n维线性空间V中，取定一个基1,2,,n后，任何向量可以唯一地由该基表示为

x1122nn

其中，iK, i1,2,,n，Kn中向量

(1,2,,n)

5

T

称为x关于基1,2,,n的坐标向量。.i称为 的第i个分量。

2.3.2 线性映射

设V1和V2是K上的两个有限维线性空间，如x，y是V1中的任意向量，a是K

中任意实数，则称以下运算f是V1到V2 的一个线性映射

f(xy)f(x)f(y)

f(ax)af(x)

f也称为线性算子。这两个式子可以统一为：对V1中的任何向量x和y，以及任何实数 和，有

f(axy)af(x)f(y)

此外，有f(0)f(0x)0f(x)0，即f(0)0。

2.4 内积空间

2.4.1 Euclid空间

在上述线性空间中，向量之间的基本运算只有加法和数乘，而在我人们所熟悉的普通几何空间中，则有向量的长度和夹角的概念。这些概念在线性空间的理论中还没有得到反映。线性空间中的变换只涉及向量之间的线性关系，并未涉及向量的长度与夹角。

在解析几何中，向量x,y的内积定义为

(x,y)|x|*|y|*cos，其中，是x,y间的夹角

（图2.4.1）。

有了内积的概念，向量的长度可以通过内积来表

示。由图2.4.1可以看出，向量的内积表示两向量的 图2.4.1 向量x,y的内积

的相似程度：如果y与

x 完全重合，则内积最大，

其值为(x,y)|x|*|y|。当y垂直于x时，内积为0，y与x不相似。

引入内积的线性空间，称为欧几里德(Euclid) 空间。

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定义 设V是实数域R上的线性空间，如果在V上定义一个实函数(x,y)，它满足以下条件：

(1)

(x,y)(y,x)

(2)

(xy,z)(x,z)(y,z)

(3)

(x,y)(x,y)

(4)

(x,x)0,当且仅当x0时，(x,x)0。

这里，x,y,z是V中的任意向量，则称这样的函数(x,y)为向量x,y 的是任意实数，内积，而定义了内积的线性空间V称为Euclid空间。

【例2.4.1】 可以证明：在闭区间[a,b]上的所有连续函数构成的线性空间C[a,b]中，对于函数f(t)，g(t)定义内积为

(f,g)abf(t)g(t)dt

则C[a,b]就成为Euclid空间。

【例2.4.2】 在向量空间Rn中，定义内积为

n(,)ik1i

ni,iR

这里，等号右边是两向量对应分量乘积之和。显然，它满足内积的条件(1)~(4)。因此，R就成为Euclid空间.

n 下面来看看Euclid空间的一些基本性质。

定义中的条件(1)表明内积是对称的。与(2)，(3)相当，有

(x,yz)(x,y)(x,z)(x,y)(x,y)

条件(4)说明对于任意向量xV，(x,x)是有意义的。

7

2.4.2 向量的长度

定义 非负实数(x,x)称为向量

x 的长度，记为|x|。长度为1的向量称为单位向量。

可以证明，这样定义的长度具有通常的性质：|x||||x|，而且x0的充分必要条件是x0，其中R,xV。

还可以证明：对于任意向量x0，有

|x|x|||1|x|x|1|x||x|1

即x|x|是一个单位向量。用向量x的长度去除向量x，使它成为单位向量的办法称为把向量x规格化。

2.4.3 向量之间的夹角

为了在一般的Euclid空间中引进夹角的概念，需要先证明Cauchy-Schwarz 不等式：

|(x,y)||x||y|

证明 对于任意R，恒有

(xy,xy)0

即(x,x)2(x,y)(y,y)0

左边是的二次三项式，由于它的符号不变，所以它的判别式

4(x,y)4(x,x)(y,y)0

即

(x,y)(x,x)(y,y)

两边开方，得

|(x,y)||x||y|

根据这个不等式，当x0,y0时有

222 8

|(x,y)|x|*|y||1

根据Cauchy-Schwarz 不等式，可以证明三角不等式

|xy||x||y|

还可以证明

|xy||x||y|

2.5 正交变换

2.5.1 正交的概念

有了夹角的概念，就可以仿照普通几何空间，在 Euclid 空间引进正交的概念。

定义 设V是Euclid空间，x,yV，如果

(x,y)0

则x,y称为互相正交或互相垂直，记为xy。

由定义可知，非零向量x,y互相正交的充分必要条件是它们之间的夹角2。当x0或y0时，(x,y)0总是成立的。故这时x,y也称为互相正交。显然，只有零向量才与自己正交。

在Euclid 空间中同样有勾股定理：若x,y正交，则

|xy||x||y|

222事实上，

|xy|(xy,xy)(x,x)(x,y)(y,x)(y,y)

但

(x,y)(y,x)0

故

|xy|(x,x)(y,y)|x||y|

此即勾股定理。

9

2222

设x1,x2,...,xn是Euclid 空间V中的一组两两正交的非零向量，则x1,x2,...,xn 线性无关。在n维Euclid 空间中，两两正交的非零向量不会超过n个，而这n个两两正交的非零向量就是V的一个基底。

在n维Euclid 空间中，由n个两两正交的非零向量所构成的基底称为正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基。

在Euclid 空间中，总可以用 Schmidt 正交法化一个基为标准正交基。

2.5.2 正交变换

在解析几何中，人们已经知道：三维几何空间绕原点的转动和过原点的平面镜像变换都能保持向量的长度和夹角不变。这种转动与反射的一般化，在Euclid 空间就是正交变换。

定义 Euclid 空间V的线性变换

q 称为正交变换，如果它保持向量的内积不变，即对于任意的x,yV，都有

(q(x),q(y))(x,y)

正交变换在标准正交基下的矩阵表示称为正交矩阵，或简称正交阵。

定理 设q是Euclid 空间V的线性变换，则下列条件都是q为正交变换的充分必要条件：

(1)

q保持向量长度不变。即对于xV，|q(x)||x|；

(2)

q把一个标准正交基映射为另一个标准正交基。

(3)

q在任一个标准正交基下的变换矩阵Q有逆，而且Q(4)

Q的n个列向量成为

Rn的标准正交基。

推论 正交变换不改变向量之间的夹角。

推论 正交变换Q的行列式detQ1。

推论 正交变换的特征值的绝对值为1。

因为正交矩阵是可逆的，故正交变换是可逆的，据此可以证明：

定理 正交变换（阵）的乘积仍是正交变换（阵）；正交变换（阵）之逆仍是正交变换（阵）。

10

1Q。

T

2.6 酉空间和酉变换

现在，把上述关于实数域R上的Eublid 空间的概念推广到复数域C上。

定义 设U是复数域C上的线性空间，如果在U 上定义一个复函数(x,y)，它满足下列条件

(1)

(x,y)(y,x)

(2)

(xy,z)(x,z)(y,z)

(3)

(x,y)(x,y)

(4)

(x,x)R,(x,x)0,当且仅当x0时(x,x)0。

这里x,y,z是U 中的任意向量，是任意复数，则称这样的函数(x,y)为向量x,y的内积，而定义了内积的线性空间 U 称为酉(unitary) 空间。

【例2.6.1】 定义n维向量空间Cn的内积为

n

(x,y)其中

ii1i

x(1,2,,n)C

y(1,2,,n)C

这样定义的内积满足条件(1)~(4)，所以C是酉空间。

比较一下酉空间和Eublid 空间的定义，就会看到它们之间的主要差别在于定义中的条件(1)，故在Eublid 空间中，凡与内积交换无关的一切定义、定理在酉空间也成立；而与条件(1)有关的定义、定理，则只要作适当的修改即可。因此，对于酉空间，能够与Eublid 空间平行地进行讨论。

下面假设U是酉空间，而x,y,是其中的元素。

|x|(x,x)R被称为为向量的长度。关于向量的正交、标准正交基的定义与nTnTnEublid 空间的定义相同。还可以证明酉空间恒有标准正交基存在。

定义

U 的线性变换u称为酉变换，如果它保持向量的内积不变，即对于任意的 11

x,yU，都有

(u(x),u(y))(x,y)

酉变换在标准正交基下的矩阵表示成为酉矩阵。

定理 设

u是U 的线性变换，则下列各条件都是

u为酉变换的充分必要条件。

(1)

u保持向量长度不变，即对于xU,|u(x)||x|；

(2)

(3)

uu把U的一个标准正交基映射为标准正交基；

在任一个标准正交基下的矩阵表示U有逆，且U1UT（即矩阵U的逆是该矩阵各元素取共轭后进行转置而成）

(4)

U的n个列向量成为Cn的标准正交基。

2.7 正交函数系

2.7.1 概述

在前面在线性空间的讨论中，先引入线性无关的概念，然后说明在n维空间中，存在着无限多的线性无关向量组，每组的向量数目为n。如果这些向量两两的内积为零，则称这组正交向量组为正交基。空间中的任意向量都可以用正交基表出。

【例2.7.1】

e1,e2和e3分别是任意三个互相垂直方向(x,y,z)上的单位列向量，即

e1(1 0 0)T；

e2(0 1 0)T；

e3(0 0 1)。

其中，”T”表示转置。于是，向量A可以表示为

AAxe1Aye2Aze3 (2.7.1)

如图2-7-1所示。

式（2.7.1）中，Ax,Ay和Az是向量A沿三个坐标

轴的投影（分量）。这里，要注意完备性。这就是说，

在三维空间中，正交基的向量数必须等于空间的维数3。

否则，用共面的两个正交向量不可能表出三维空间的任 图2-7-1 三维空间向量

意向量。

在无限维空间中，人们可以用正交函数系来作为正

交基，表示某个函数：

12

T



f(t)a(n)(n,t) (2.7.1)

n这里，假定函数f以时间t作为主变量；(n,t)是正交函数系的成员，n是一个参数，代表函数成员序号；a(n)是各展开项的系数。式(2.7.1)中，作为正交基的函数系(n,t)应满足两个条件，即：

(1) 正交性

(2) 完备性

2.7.2 正交函数系

在给出一般性定义之前，先举出一个简单例子。

【例2.7.2】 正余弦函数系sinx,sin2x,,sinnx,，cosx,cos2x,,cosnx,组成完备的正交函数系，其正交性表现为下列关系式成立

, mncosmxcosnxdx (2.7.2a)

0 mn, mnsinmxsinnxdx (2.7.2b)

0 mncosmxsinnxdx0 (2.7.2c)

其完备性将另行阐述。

和三维空间相类似，正余弦函数的线性独立性表现在：如果

a11cosxa12sinxa21cos2xa22sin2xa31cos3xa32sin3x...0 (2.7.3)

成立，则一定有a11a12a21a22a31a320。假如要证明a310，则用cos3x乘式(2.7.3)，然后自到进行积分，应用正交关系式即得。这和证明单位正交向量组x,y,z互相独立的手续非常相像。因此，正余弦函数可以作为函数空间的一个正交坐标系。如果把持续时间有限的信号（或周期信号）f(x)看作函数空间的向量，则它沿正余弦函数组成的正交坐标轴可展开为

f(x)12a0a1cosxa2cos2x (2.7.4)

 b1 s inxb2sin2x 13

式中，系数组a0,a1,a2,,b1,b2,代表向量在正交坐标轴上的投影（相当于图2.7.1中的Ax,Ay和Az），其值可以求出为

am

bm11f(x)cosmxdx,

m

0,1.2, (2.7.5a)

f(x)sinmxdx,

m

0,1.2, (2.7.5b)

此式就是人们熟知的三角函数的傅里叶级数。式(2.7.4 )展开的唯一性也和向量一样可以用独立性来证明。下面给出正交函数系的一般定义，

定义 由实函数♀

(0,t),(1,t),(2,t),组成的函数系{(n,t)}如果满足下列条件，则称该函数系在区间tattb内是正交函数系：

ttba(n,t)*(m,t)dtAnmn (2.7.6)

mn1；式中，当mn时，当mn时，mn0；An为常数且不等于0。如果An1，则此函数系不仅是正交的，而且是归一化的。它称为归一化正交函数系。

非归一化正交函数系总可以化为归一化正交函数系。例如在式(2.7.6)中，如果An1，则{(n,t)}为非归一化正交函数系，而{An1/2(n,t)}就是归一化正交函数系了。

在例2.7.2中，可以说正余弦函数系

sinx,sin2x,,sinnx,，cosx,cos2x,,cosnx,

组成完备的正交函数系，因为任何一个函数都可以用这个正交函数系展开。在下一节论证这个函数系的完备性之前，先举出一个例子，说明什么是不完备性。

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♀ 可以推广到复函数

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【例2.7.3】 图2-7-2给出三个函数。下面研究它们的展开式。

(a) (b) (c)

图2.7.2 三个对称性不同的函数

f1(t)是偶函数，所以可以只用余弦函数作为正交基就已足够，即

f1(t)a0a1cos(1t)a2cos(21t) (2.7.7a)

其中，1是基波角频率；a0代表直流分量的大小，一般来说，a00；a1代表基波幅度；ai代表第i次谐波的幅度。

f2(t)是奇函数，所以可以只用正弦函数作为正交基就已足够，即

f2(t)b1sin(1t)b2sin(21t) (2.7.7b)

这个函数没有直流分量。b1代表基波幅度；bi代表第i次谐波的幅度。

f3(t)是一般性的函数，它既不是偶函数，也不是奇函数，所以不能只用余弦函数或正弦函数作为正交基。但是，一般函数总可以化为偶函数与奇函数之和，所以，为了表示像f3(t)这样的一般函数，充分必要条件是同时用正弦函数族和余弦函数族作为正交基：

f3(t)a0a1cos(1t)a2cos(21t) b1sin(1t)b2sin(21t) (2.7.7c)

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2.8 广义傅里叶级数

前面讲过，线性空间中的向量可以用该向量在正交基上的投影来描述。一个满足一定条件的函数可以看成是无限维空间的一个向量，而完备的正交函数系可以作为正交基。换句话说，一个满足一定条件的函数可以展开成完备的正交函数系的级数。人们称这种展开式为广义傅里叶级数。这里，不涉及纯数学问题，如级数展开的条件和收敛性问题等。

设函数f(t)可以展开成完备的归一化正交函数系{(n,t)}的级数：



f(t)a(n)(n,t) （2.8.1）

n0将上式乘以(n,t)，并在{(n,t)}的正交区间

tattb内积分，就可以得到系数`a(n)的值：

a(n)ttbbf(t)(n,t)dt （2.8.2）

式（2.8.1）和（2.8.2）构成一个变换对，实现线性空间变换。例如，如果(n,t)是正余弦函数，则式（2.8.1）是一个综合式，表示时域函数f(t)是由不同频率的正余弦分量综合而成，而各频率分量则由分析式（2.8.2）求出。

我们容易理解，一个三维空间向量（图2-7-1中的向量A）不能用二维空间的向量来表示。因为三维空间的维数是3，即这个空间的自由度为3。问题是一般函数可看成是无限维空间的一个向量，而用正交函数系作为正交基。于是就有完备性问题。换句话说，用式（2.8.2）确定系数a(n)，而用式（2.8.1）的有限项去代表f(t)，是否能够很好地代表f(t)？下面要证明在最小均方误差准则下，这将是最好的代表。这里，当然指正交函数系(n,t)已经事先规定。假定另有一个更好地代表f(t) 的级数为m1b(n)(n,t)，则此级数与f(t)的均方误差Q为

n0

Qttbam1[f(t)b(n)(n,t)]n02dt

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tttbaf(t)dt2b(n)n0m1n0m12m1tbtaf(t)(n,t)dtm1t[b(n)(n,t)]atbm1n02dt

tbaf(t)dt2b(n)a(n)m12bn02(n)

ttbaf(t)dt2an02(n)[b(n)a(n)]n02 （2.8.3）

当b(n)a(n)时，上式右边第三项为零，亦即均方误差Q 最小，故上述结论正确。

在条件b(n)a(n)下，从式（A2.8.3）可得贝塞尔（Bessel）不等式：

m122tb2

an0(n)an0taf(t)dt （2.8.4）

在按式（A2.8.1）展开f(t)时，要求正交函数系(n,t)是完备的。这句话包含什么意思？它有何重要性？下面我们来回答这些问题。

将函数f(t)按式（2.8.1）展开为有限项级数，若均方误差Q随项数m的增加而趋向于0，即

limtmtbam1[f(t)a(n)(n,t)]n02dt0 （2.8.5）

那么，这个正交函数系是完备的。这时，贝塞尔不等式取等号，即

n0a(n)2ttbaf(t)dt （2.8.6）

2式（2.8.5）称为完备定理或帕什伐尔（Paserval）定理，它给出一个正交函数系是否为完备的充要条件。它的物理意义是：设时间函数f(t)是加于1欧电阻上的电压，则f(t)的积分是消耗在此电阻上的能量；又因为分量a(n)(n,t)的能量为

2ttbaa(n)(n,t)dta(n)(n,t)dta(n) （2.8.7）

ta222tb22故根据式（2.8.5），f(t)的能量等于展开式中各分量a(n)(n,t)的能量a(n)之和。换言之，对此电压，不管用时间函数来描述或用完备正交函数系的级数来描述，能量是相 17

等的。

完备性的重要意义在于：只要当正交函数系是完备的，我们才能将一个满足一定条件的函数展开成此正交函数系的级数，否则是不能展开的。对于一个非完备的正交函数系，即使我们根据式（2.8.1）和（2.8.2），在形式上将一个函数展开成它的级数，但由于它不满足式（2.8.5），故展开前后的能量不会相等，亦即展开式不能表示原来的函数。

还有一个概念，称为封闭性。它与完备性既有联系，又有区别。正交函数系{(n,t)}称为封闭的(closed)，如果不存在一个平方可积的函数(t)（即(t)dt），它与tatb2函数系{(n,t)}中的每一个函数时正交的，即不存在满足

t的(t)。

tba(t)(n,t)dt0 对所有n （2.8.8）

完备性与封闭性的关系是：完备的正交函数系总是封闭的；但是，反过来就不一定真实了。

正余弦函数、指数函数、沃尔什（Walsh）函数等，使完备正交函数系。拉德梅克(Rademacher) 函数、佩利（Paley）函数是非完备的正交函数系。

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