二阶常系数非齐次线性微分方程特解

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-

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目录

待定系数法

常数变异法

幂级数法

特征根法

升阶法

降阶法

关键词：微分方程，特解，通解，

二阶齐次线性微分方程

常系数微分方程待定系数法

解决常系数齐次线性微分方程

2

12

2

0,(1)

dxdx

Lxaax

dtdt



12

,.aa这里是常数

特征方程

2

12

()0Faa(1.1)

(1)特征根是单根的情形

设12

,,,

n



是特征方程的

(1.1)

的

2

个彼此不相等的根，则相应的方程

(1)

有如

下

2

个解：

12,ttee(1.2)

如果

(1,2)

i

i

均为实数，则

(1.2)

是方程

(1)

的

2

个线性无关的实值解，而方程

(1)

的通解可表示为

12

12

ttxcece

如果方程有复根，则因方程的系数是实系数，复根将成对共轭出现。设

i

是一特征根，则

i

也是特征根，因而与这对共轭复根对应，方程

(1)

有两

个复值解

(i)t(costsin),teeit

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(i)t(costsin).teeit

它们的实部和虚部也是方程的解。这样一来，对应于特征方程的一对共轭复根

i

，我们可求得方程

(1)

的两个实值解

cos,

（2）特征根有重跟的情形

若1

0

特征方程的

k

重零根，对应于方程

(1)

的

k

个线性无关的解211,t,t,kt

。

若这个

k

重零根1

0,

设特征根为12

,,,,

m



其重数为

1212

,,,k(k2)

mm

kkkk

。方程

(1)

的解为

11112222

1

11,t,t;,t,t;;,t,t;mmmm

ttkt

ttktttkteeeeeeeee





对于特征方程有复重根的情况，譬如假设

i

是

k

重特征根，则

i

也是

k

重特征根，可以得到方程

(1)

的

2k

个实值解

21

21

cos,cos,cos,,cos,

sin,sin,sin,,sin.

tttkt

tttkt

ettettettet

ettettettet













例1求方程

2

2

0

dx

x

dt



的通解。

解特征方程

210

的根为12

1,1

有两个实根，均是单根，故方程的通

解为

12

,ttxcece

这里12

,cc

是任意常数。

例2求解方程

2

2

0

dx

x

dt



的通解。

解特征方程

210

的根为12

,ii

有两个复根，均是单根，故方程的通解

为

12

sincos,xctct

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这里12

,cc

是任意常数。

某些变系数线性齐次微分方程的解法

（一）化为常系数

1.在自变量变换下，可化为常系数的方程

一类典型的方程是欧拉方程

2

2

12

2

0

dydy

xaxay

dxdx



(2)

12

(0),

.

aya这里为常数，它的特点是的k阶导数（k=0,1,2,规定y=y）的系数是x的k

次方乘以常数

我们想找一个变换，使方程

(2)

的线性及齐次性保持不变，且把变系数化为常系

数。根据方程

x

本身的特点，我们选取自变量的变换

(t)x

，并取

(t)et

，即

变换

e(tln)txx

(2.1)

就可以达到上述目的（这里设

0x

，当

0x

时，取txe

，以后为确定起见，

认为

0x

）。

事实上，因为

t

dydydtdy

e

dxdtdxdt



22

2

22

()()tt

dyddydtdydy

ee

dxdtdtdxdxdt



代入方程

(2)

，则原方程变为

2

12

2

(1)

dydy

aayo

dtdt



(2.2)

方程

(2.2)

常系数二阶线性微分方程，由上可求得方程的通解。再变换

(2.1)

，

代回原来的变量，就得到原方程

(2)

的通解。

例求方程

2

2

2

540

dydy

xxy

dxdx



的通解

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解此方程为欧拉方程，令

etx

，则由

(2.2)

知，原方程化为

2

2

44

dydy

yo

dtdt



(2.3)

其特征方程为

2440

特征根为12

2

，故方程

(2.3)

的通解为

2

12

(cct)ety

换回原自变量

x

，则原方程的通解为

2

12

(ccln)yxx

2.在未知函数的线性齐次变换下，可化为常系数的方程

现在考虑二阶变异系数线性方程

2

12

2

()()0

dydy

PxPxy

dxdx



(2.4)

的系数函数

12

(),()PxPx

满足什么条件时，可经适当的线性齐次变换

()zyax(2.5)

化为常系数方程。这里

()ax

是待定函数。

为此，把

(2.5)

代入方程

(2.4)

，可得到

'''''''

112

()z[2P()()][()P()()P()()]0axaxxaxzaxxaxxaxz(2.6)

欲使(2.6)

为常系数线性齐次方程，必须选取

()ax

使得

'''zz、

及

z

的系数均为常

数。特别地，令'z

的系数为零，即

'

1

2()0aPxa

可求得

1

1

()d

2()ePxxax



再代入

(2.6)

，整理之，得到

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''2'

211

11

[P()()()]0

42

zxPxPxz(2.7)

由此可见，方程

(2.4)

可经线性齐次变换

1

1

()dx

2

pxyez



(2.8)

化为关于

z

的不含一阶导数项的线性齐次方程

(2.7)

，且当

z

的系数

2'

211

11

()P()()()

42

IxxPxPx

为常数时，方程

(2.7)

为常系数方程。

因方程

(2.4)

在形如

(2.8)

的变换下，函数

()Ix

的值不会改变，故称

()Ix

为方程

(2.4)

的不变式。因此，当不变式

()Ix

为常数时，方程

(2.4)

可经变换

(2.8)

化为常

系数线性齐次方程。

例求方程

2'''2

1

()0

4

xyxyxy

的通解

解这里

12

2

11

(),()1

4

PxPx

xx



，因

2

22

11111

()1()()1

442

Ix

xxx



故令

11

2

dx

x

z

yez

x





就可把原方程化为常系数方程

''0zz

可求得其通解为

12

cossinzcxcx

代回原变量

y

，则得原来方程的通解为

12

cossinxx

ycc

xx



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（二）降阶的方法处理一般高阶微分方程的基本原则是降

阶，即利用适当的变换把高阶方程的求解问题转化为较低阶方程的求解问题。具

体参考常微分方程的思想与方法，这里只讨论二阶的。

已知

2

2

(t)(t)0

dxdx

pqx

dtdt



的一个特解1

0x

，试求该方程的通解

解作变换1

xxydt

，则原方程可化为一阶线性微分方程

'

111

2(t)0,

dy

xxpxy

dx







求解，得

(t)dt

1

2

1

1

,pyce

x





所以原方程的通解为

(t)dt

121

2

1

1

.pxxccedt

x













法二

设

2

x

是方程的任一解，则有刘维尔公式得

()

12

''

12

ptdtxx

ce

xx





其中常数

0c

，亦即

()

''

1212

.ptdtxxxxce



以积分因子2

1

1

x

乘上式两端，就可推出

(t)dt

2

2

11

(),px

dc

e

dtxx





积分上式可得到

(t)dt

121

2

1

1

.pxxccedt

x













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例求方程'''0xyxyy

的通解

解由观察知方程有一特解1

()yxx

，令

yxz

则

''''''',2yzxzyzxz

，代入方程，得

2''2'(2)0xzxxz

再令

'zu

，得一阶线性齐次方程

2'(2)0xuxxu

从而可得

112

22

,

xxee

uczcdxc

xx



取

12

1,0,cc

便得原方程的另一解

2

2

xe

yxdx

x



显然，解

12

,yy

线性无关，故方程的通解为

12

2

xe

ycxcxdx

x



幂级数法

考虑二阶线性微分方程

2

2

(x)(x)y0(1)

dydy

pq

dxdx



及初值

00

(x)yy

及

''

00

(x)yy

的情况

可设一般性，可设0

0x

，否则，我们引进新变量0

txx

，经此变换，方程的

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形式不变，但这时对应于0

xx

的就是0

0t

了.因此总认为0

0x

.

定理若方程

(1)

中的系数

()px

和

()qx

都能展成

x

的幂级数，且收敛区间为

xR

,

则方程

(1)

有形如

0

n

n

n

yax







的特解，也以

xR

为级数的收敛区间.

定理若方程

(1)

中的系数

()px

和

()qx

都能展成

x

的幂级数，且收敛区间为

xR

,

则方程

(1)

有形如

0

n

n

n

yax







的特解，也以

xR

为级数的收敛区间.

定理若方程

(1)

中的系数

()px

和

()qx

具有这样的性质，即

()xpx

和

2()xqx

都能展

成

x

的幂级数，且收敛区间为

xR

,若0

0a

，

则方程

(1)

有形如

0

(1.1)n

n

n

yxax







的特解，



是一个待定的常数.级数

(1.1)

也以

xR

为级数的收敛区间.

例求方程'''240yxyy

的满足初值条件

(0)0y

及

'(0)1y

的解

解设

2

012

n

n

yaaxaxax

(1.2)

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为方程的解.利用初值条件，可以得到

01

0,1,aa

因而

2

2

n

n

yxaxax

'21

23

123n

n

yaxaxnax

''2

23

232(n1)n

n

yaaxnax

将

''',,yyy

的表达式代入原方程，合并

x

的同次幂的项，并令各项系数等于零，得

到

2342

2

0,1,0,,

1nn

aaaaa

n





因而

56789

1111

,0,,0,,

2!63!4!

aaaaa

最后得

212

111

,0,

(k1)!!kk

aa

kk





对一切正整数

k

成立.

将

(i0,1,2,)

i

a

的值代回

(1.2)

就得到、

2

521

3

42

2

2!!

(1)

2!!

=e,

k

k

x

xx

yxx

k

xx

xx

k

x







这就是方程满足所给初值条件的解.

例用幂级数解法求解方程'''0yxyy

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解因为012

()1,p(),()1pxxxpx

，所以在0

0x

的邻域内有形如0

0

n

n

n

yax







的

幂级数解.将

'''

000

,,yyy

代入原方程，得

2

202

3

(2)[n(n1)(n1)]0.n

nn

n

aaaax











比较

x

的同次幂的系数，得

2031

20,620,aaaa

2

(n1)(n1)0(n4).

nn

nana





解得

0

1

2320,

1

,,(1)

232!

n

n

n

a

a

aaaa

n



1

21

(1)

.

13(2n1)

n

n

a

a









所以，原方程的通解为

2

21

01

00

1(1)

(),

!213(2n1)

n

nn

nn

x

yaax

n















即

2

21

2

01

0

(1)

.

13(2n1)

x

n

n

n

yaeax

















方程组的消元法在某些情形下，类似于代数方程组的消元，我们可以把多个未

知函数的线性方程组化为某一个未知函数的高阶微分方程来求解

例求解线性微分方程组

5,

2.

dx

xy

dt

dy

xy

dx



















解从第一个方程可得

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1

(),

5

dy

yx

dx

(1.2)

把它代入第二个方程，就得到关于

x

的二阶方程式

2

2

90.

dx

x

dt



不难求出它的一个基本解组为

12

cos3,sin3,xtxt

把1

x

和2

x

分别代入

(1.2)

式，得出

y

的两个相应的解为

12

11

(cos33sin3),(sin33cos3).

55

yttytt

由此得到原来微分方程组的通解为

12

5cos35sin3

,

cos33sin3sin33cos3

xtt

cc

ytttt











其中

1

c

和2

c

为任意常数

二阶非齐次线性微分方程

待定系数法

常用于解决常系数非齐次线性微分方程

2

12

2

,(2)

dxdx

Lxaaxft

dtdt





12

,aaft这里是常数，为连续函数

类型一





1

011

()e,(i0,1,m)

1

mmt

mmi

ftbtbtbtbb



设其中及为实常数，

那么方程有形如

1

011

(B)kmmt

mm

xttBtBtBe





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的特解，其中

k

为特征方程

=0F

的根



的重数(单根相当于

1k

；当



不是

特征根时，取

0k

),而01

,,

m

BBB是待定常数，可以通过比较系数来确定

.

类型二





costsint,

2

atftAtBttt

m







设e其中是常数,而A,B是带实系数的t

的多项式，其中一个的次数为m,而另一个的次数不超过,那么我们有如下结论：

方程有形如

costsintkatxtPtQt





e

的特解，其中

k

为特征方程

=0F

的根

ai

的重数，而

,PtQt

均为待定

的带实系数的次数不高于

m

的

t

的多项式，

可以通过比较系数来确定

.

求方程

2

2

2331

dxdx

xt

dtdt



的通解

解先求对应的齐次线性微分方程

2

2

230

dxdx

x

dtdt



的通解.这里特征方程

2230

有两个根12

3,1

.

因此，通解为

3

12

ttxcece

，其中12

,cc

为任意常数.再求非齐次线性微分方程的

一个特解.这里

31,0,ftt

又因为

0

不是特征根，故可取特解形如

xABt,其中

,AB

待定常数.为了确定A,B,将

xABt

代入原方程，得到

23331BABtt

，

比较系数得

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33,

231,

B

BA





由此得

1

1,,

3

BA

从而

1

,

3

xt

因此，原方程的通解为

3

12

1

et.

3

ttxcec

求方程的

2

2

44cos2

dxdx

xt

dtdt



通解.

解特征方程

2440

有重根12

2

，因此，对应的齐次线性微分方程的

通解为

2

12

(cct)e,tx

其中12

,cc

为任意常数.现求非齐次线性微分方程的一个特解.因为

2i

不是特征

根，我们求形如

cos2tBsin2xAt

的特解，将它代入原方程并化简得到

8cos28sin2cos2,BtAtt

比较同类项系数得

1

0,,

8

AB

从而

1

sin2,

8

xt

因此原方程的通解为

2

12

1

(cct)esin2.

8

txt

方法二

由方法一知对应的齐次线性的通解为

2

12

(cct)

为求非齐次线性微分方程的一个特解，我们先求方程

2

2

2

44it

dxdx

xe

dtdt



的特解.这是属于类型一，而

2i

不是特征根，故可设特解为

2

1

cos2tsin2t,

888

it

ii

xe

分出它的实部

1

Resin2t,

8

x

于是原方程的通解为

2

12

1

(cct)esin2t

8

tx

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注：对于











2

2

12

2

12

2

2

12

2

12

12

(3)

(t),,,

(4)

,,

.

dxdx

aaxft

dxdx

dtdt

aaxftgft

dtdt

dxdx

aaxgt

dtdt

gtxx

xxx























可分解为并且

均满足类型一或者类型二.若(3),(4)的特解分别为则原方程的特解为

这是因为

2

11

121

2

dxdx

aaxft

dtdt



，

2

22

122

2

(t)

dxdx

aaxg

dtdt



，



2

2

1212

121212

22

22

1122

121122

22

()()

()

=+

=(t),

dxxdxx

dxdx

aaxaaxx

dtdtdtdt

dxdxdxdx

aaxaax

dtdtdtdt

ftg









（）（）

求'''2441ttxxxee

的通解.

对应的齐次方程的特征方程为

2440,

即得特征根为12

2.

(1)

对应方程

'''44txxxe

，设其特解为

,txAe

代入方程则的

1,A

即方程

'''44txxxe

的一个特解为

.txe

(2)

对应方程

'''244txxxe

，设其特解为22,txBte

代入方程则的

1

,

2

B

即方程

'''244txxxe

有一个特解为22

1

.

2

txte

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(3)

对应方程

'''441xxx

，设其特解为

,xC

代入方程则的

1

,

4

C

即方程

'''244txxxe

有一个特解为

1

.

4

x

所以原方程的通解为

222

12

11

(cct)e,

24

tttxete

这里12

,cc

是任意常数.

升阶的方法

升阶是常微分方程很少提到的一种方法，这是因为随着阶数的升高，一般会使得

求解更为繁琐，但适当运用这种方法，在有些情况下也可以受到事半功倍的效果.

升阶法往往用于求常系数非齐次线性微分方程，具体分析见参考文献【9】

例用升阶法求方程'''2331xxxt

的一个特解

解两边同时逐次求导，直到右边为常数，得

''''''233,xxx

令

'1x

，则'''''0xx

代回原方程，得

2331xt

，解之，有

1xt

，该

表达式几位方程的一个特解.

例用升阶法求方程'''25sin2txxxet

的一个特解

解先求解方程'''(12i)25tyyye

，

令

(12i)t(t)eyu

，代入方程，得

'''41uiu

，

取'

11

44

ui

i



，进一步取

1

4

uit

，则

(12i)tt

11

(cos2tisin2t)

44

11

sin2cos2,

44

tt

yiteite

tetitet





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其虚部函数为原方程的一个特解，即可求得原方程的一个特解为

1

cos2.

4

txtet

常数变易法

定理如果

12

(t),(t),(t),(t)

n

aaaf

是区间

atb

上的连续函数，12

(t),(t),(t)

n

xxx

是区间

atb

上齐次线性微分方程

1

1

(t)(t)0nn

n

xaxax

的基本解组，那么，非齐次线性微分方程

1

1

(t)(t)(t)nn

n

xaxaxf

的满足初值条件

'(n1)

0000

()0,()0,()0,t[a,b]ttt

的解有下面公式给出

0

12

1

12

[(s),(s),,(s)]

(t)(t)(s)ds,

[(s),(s),,(s)]

t

n

kn

k

k

n

t

Wxxx

xf

Wxxx

















这里

12

[(s),(s),,(s)]

n

Wxxx

是12

(s),(s),,(s)

n

xxx

的朗斯基行列式，

12

[(s),(s),,(s)]

kn

Wxxx

是在12

[(s),(s),,(s)]

n

Wxxx

中的第

k

列代以

(0,0,,0,1)T

后得到的行列式，而且非齐次方程的任一解

(t)u

都具有形式

1122

(t)c(t)c(t)c(t)(t),

nn

uxxx

这里12

,,,

n

ccc

是适当选取的常数.

特别地，当

2n

时'''

1

(t)(t)0

n

xaxax

的特解为

00

112212

12

1212

[(s),(s)][(s),(s)]

(t)(t)(s)ds(t)(s)ds.

[(s),(s)][(s),(s)]

tt

tt

WxxWxx

xfxf

WxxWxx













其中

2

1122

'

2

0()

[(s),(s)](),

1()

xs

Wxxxs

xs



1

2121

'

1

()0

[(s),(s)](),

()1

xs

Wxxxs

xs



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因此，

当

2n

时，常数变易公式变为

0

2112

12

(t)()(t)(s)

(t)(s)ds.

[(),(s)]

t

t

xxsxx

f

Wxsx







而通解就是

1122

(t)(t)(t).xcxcx

法二

设12

(t),(t),,(t)

n

xxx

是方程

1

1

(t)(t)0nn

n

xaxax

的基本解组，当满足以

下条件时，1122

(t)(t)(t)(t)(t)(t)

nn

xcxcxcx

是方程

1

1

(t)(t)(t)nn

n

xaxaxf

的通解

'''

1122

''''''

1122

(n2)'(n2)'(n2)'

1122

(n1)'(n1)'(n1)'

1122

(t)c(t)(t)c(t)(t)c(t)0

(t)c(t)(t)c(t)(t)c(t)0

(t)c(t)(t)c(t)(t)c(t)0

(t)c(t)(t)c(t)(t)c(t)(t)

nn

nn

nn

nn

xxx

xxx

xxx

xxxf































2n特别地，当

，满足条件

''

1122

''''

1122

(t)c(t)(t)c(t)0

(t)c(t)(t)c(t)(t)

xx

xxf











的12

(t),c(t)c

，则1122

(t)(t)(t)(t)xcxcx

为二阶非齐次线性微分方程

'''

12

(t)(t)(t)xaxaxf

的通解

例试求方程

''tanxxt

的一个解

解易知对应的齐次线性微分方程''0xx

的基本解组为

12

(t)cost,(t)

我们直接利用公式

0

2112

12

(t)()(t)(s)

(t)(s)ds.

[(),(s)]

t

t

xxsxx

f

Wxsx







来求方程的一个的一个解。这时

12

cossin

[x(t),x(t)]1

sincos

tt

W

tt





取

0

0t

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0

00

(t)(sintcoscostsins)tans

=sintsinscossinstans

=sint(1-cost)+cost(sint-lnsectan)

=sint-costlnsectan

t

tt

sds

dstds

tt

tt













sint注意，因为

是对应的齐次线性微分方程的一个解，所以函数

coslnsectanttt

也是原方程的一个解。

218页13题

165页6题

参考文献

1王高雄周之铭朱思铭王寿松编高等教育出版社常微分方程第三版

2丁同仁，李承志.常微分方程教程.北京：高等教育出版社

3都长清焦宝聪焦炳照编著北京师范大学出版社

4孙清华李金兰孙昊华中科技大学出版社常微分方程内容、方法与技巧

5.孙肖丽杨艳平著，山东大学出版社116-119页常微分方程的思想与方法

6.李青、徐崇志、胡汉涛，用升阶法求常系数非齐次线性微分方程的特解，塔

里木农垦大学学报，Vol.15,No.1,2003,24-25