导热微分方程
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2023年3月19日发(作者：成舍我)柱坐标及球坐标下导热微
分方程的推导及分析
Preparedon24November2020
柱坐标及球坐标下导热微分方程的
推导及分析
哈尔滨工业大学市政学院
摘要：运用热力学第一定律，建立温度场，利用微分方程在不同坐
标系的不同形式进行分析问题
关键词：柱坐标球坐标导热微分方程
1.柱坐标系下导热微分方程
假定所研究的物体是各向同性的连续介质，其导热率λ，比热容c和密度ρ
均为已知，并假设物体内具有内热源。用单位体积单位时间内所发出的热量
qv(w/m*3)表示内热源的强度。基于上述各项假定，再从进行导热过程的物体
中分割出一个微元体，如图。根据热力学第一定律，对微元体进行热平衡分
析，那么在dτ时间内导入和导出微元体的净热量，加上内热源的发热量，应
等于微元体热力学能的增加，即
导入与导出微元体的净热量（Ⅰ）＋微元体内热源的发热量（Ⅱ）＝微元体中
热力学能的增加（Ⅲ）
下面分别计算式中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三项：
在dτ时间内，沿r轴方向：
在dτ时间内，沿轴方向：
在dτ时间内，沿z轴方向：
将r、Φ、z三个方向导入和导出微元体的净热量相加得到:
I=○1+○2+○3
在dτ时间内，微元体中内热源的发热量为
Ⅱ=
dzdrrdrdqv
在dτ时间内，微元体中热力学能的增量为
Ⅲ=
dzdrdrd
t
c
联立I，III，II可得导热微分方程在圆柱坐标下的公式：
2.球坐标系下导热微分方程
在球坐标系中，从进行导热过程的物体中分割出一个微元体。
在dτ时间内，沿r方向导入和导出微元体的净热量：
在dτ时间内，沿方向导入和导出微元体的净热量：
在dτ时间内，沿方向导入和导出微元体的净热量：
将r、、三个方向导入和导出微元体的净热量相加得到:
I=○1+○2+○3
在dτ时间内，微元体中内热源的发热量为
Ⅱ=
dddrdrqvsin2
在dτ时间内，微元体中热力学能的增量为
Ⅲ=
dddrdr
t
csin2
联立I，II，III可得导热微分方程在圆球坐标下的公式：
3.总结
得出当分析同一个问题时，有多种不同的分析方法。使用不同的分析方法会使
我们分析问题的过程不一样，但是不会影响问题分析的结果。遇到不同的情况
就要选择不同的分析方法。就上述问题而言，当分析的对象是一般平面物体，
选择直角坐标系比较方便。但是当所分析的对象为轴对称物体（圆柱，圆筒或
圆球），采用柱坐标系或球坐标系更为方便。
参考文献
1.传热学（第六版）章熙民朱彤中国建筑工业出版社
2.工科数学分析哈尔滨工业大学数学系分析教研室高等教育出版社