函数题

函数题

锅炉汽包-hyclone

2023年2月21日发(作者：个人书面检查范文)

函数专题练习

1.函数1()xyexR的反函数是()

A．1ln(0)yxxB．1ln(0)yxx

C．1ln(0)yxxD．1ln(0)yxx

2.已知

(31)4,1

()

log,1

a

axax

fx

xx













是(,)上的减函数，那么

a

的取值范围是

(A)(0,1)(B)

1

(0,)

3

(C)

11

[,)

73

(D)

1

[,1)

7

3.在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意

1212

,()xxxx，

1221

|()()|||fxfxxx恒成立”的只有

(A)

1

()fx

x

(B)||fxx(C)()2xfx(D)2()fxx

4.已知()fx是周期为2的奇函数，当01x时，()设

63

(),(),

52

afbf

5

(),

2

cf则

(A)abc(B)bac(C)cba(D)cab

5.函数

23

()lg(31)

1

x

fxx

x





的定义域是

A.

1

(,)

3

B.

1

(,1)

3

C.

11

(,)

33

D.

1

(,)

3



6、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是

A.3,yxxR

,yxxRC.,yxxRD.x

1

(),

2

yxR

7、函数()yfx的反函数1()yfx

的图像与y轴交于点

(0,2)P(如右图所示)，则方程()0fx在[1,4]上的根是x

A.4B.3C.2D.1

8、设()fx是R上的任意函数，则下列叙述正确的是

(A)()()fxfx是奇函数(B)()()fxfx是奇函数

(C)()()fxfx是偶函数(D)()()fxfx是偶函数

9、已知函数xye的图象与函数yfx的图象关于直线yx对称，则

A．22()xfxexRB．2ln2ln(0)fxxx

x

y

1

2

4

3

1()yfx

O

C．22()xfxexRD．2lnln2(0)fxxx

10、设

1

2

3

2,2

()((2))

log(1)2.

xex

fxff

xx















＜，

则的值为

，

(A)0(B)1(C)2(D)3

11、对a，bR，记max{a，b}＝









bab

baa

＜,

,

，函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(xR)的最小值

是

(A)0(B)

1

2

(C)

3

2

(D)3

12、关于x的方程222(1)10xxk，给出下列四个命题：

①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；

②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；

③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；

④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根；

其中假

．

命题的个数是

A．0B．1C．2D．3

（一）填空题(4个)

1.函数fx对于任意实数

x

满足条件



1

2fx

fx



，若15,f则

5ff_______________。

2设

,0.

()

,0.

xex

gx

lnxx













则

1

(())

2

gg__________

3.已知函数

1

,

21x

fxa



，若fx为奇函数，则

a

________。

4.设0,1aa，函数2()log(23)

a

fxxx有最小值，则不等式log(1)0

a

x的解

集为。

（二）解答题(6个)

1.设函数54)(2xxxf.

(1)在区间]6,2[上画出函数)(xf的图像；

(2)设集合),6[]4,0[]2,(,5)(BxfxA

.试判断集合A和B之间

的关系，并给出证明；

(3)当2k时，求证：在区间]5,1[上，3ykxk的图像位于函数)(xf图像的上方.

2、设f(x)＝3ax0.2cbacbxb若，f(0)＞0，f(1)＞0，求证：

(Ⅰ)a＞0且－2＜

b

a

＜－1；

(Ⅱ)方程f(x)＝0在(0，1)内有两个实根.

3.已知定义域为R的函数

1

2

()

2

x

x

b

fx

a







是奇函数。

(Ⅰ)求,ab的值；

(Ⅱ)若对任意的tR，不等式22(2)(2)0fttftk恒成立，求k的取值范围；

4.设函数f(x)＝,

2

2

aaxx

c



其中a为实数.

(Ⅰ)若f(x)的定义域为R，求a的取值范围;

(Ⅱ)当f(x)的定义域为R时，求f(x)的单减区间.

5.已知定义在正实数集上的函数2

1

()2

2

fxxax，2()3lngxaxb，其中0a．设

两曲线()yfx，()ygx有公共点，且在该点处的切线相同．

(I)用

a

表示b，并求b的最大值；

(II)求证：()()fxgx≥(0x)．

6.已知函数2()1fxxx，

,是方程f(x)＝0的两个根

()

，

'()fx

是f(x)的导数；设

1

1a，

1

()

'()

n

nn

n

fa

aa

fa

(n＝1，2，……)

(1)求

,

的值；

(2)证明：对任意的正整数n，都有

n

a＞a；

(3)记lnn

n

n

a

b

aa







(n＝1，2，……)，求数列{b

n

}的前n项和S

n

。

解答：

一、选择题

1解：由1xye得：1ln,xy即x=-1+lny，所以1ln(0)yxx为所求，故选D。

２解：依题意，有0a1且3a－10，解得0a

1

3

，又当x1时，(3a－1)x＋4a7a－1，

当x1时，log

a

x0，所以7a－10解得x

1

7

故选C

３解：21

12

121212

xx

111

|||||xx

xxxx|xx|

－

－＝＝－|

12

xx12，（，）

12

xx1

12

1

xx

1

12

11

|

xx

－||x

1

－x

2

|故选A

４解：已知()fx是周期为2的奇函数，当01x时，()设

644

()()()

555

afff，

311

()()()

222

bfff，

51

()()

22

cff＜0，∴

cab，选D.

５解：由1

3

1

013

01













x

x

x

，故选B.

６解：B在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义域内既是奇函数又是增函数;D在

其定义域内不是奇函数，是减函数;故选A.

７解：0)(xf的根是

x

2，故选C

８解：A中()()()Fxfxfx则()()()()FxfxfxFx，

即函数()()()Fxfxfx为偶函数，B中()()()Fxfxfx，()()()Fxfxfx此

时()Fx与()Fx的关系不能确定，即函数()()()Fxfxfx的奇偶性不确定，

C中()()()Fxfxfx，()()()()FxfxfxFx，即函数()()()Fxfxfx为

奇函数，D中()()()Fxfxfx，()()()()FxfxfxFx，即函数

()()()Fxfxfx为偶函数，故选择答案D。

９解：函数xye的图象与函数yfx的图象关于直线yx对称，所以()fx是xye

的反函数，即()fx＝lnx，∴2ln2lnln2(0)fxxxx，选D.

１０解：f(f(2))＝f(1)＝2，选C

１１解：当x－1时，|x＋1|＝－x－1，|x－2|＝2－x，因为(－x－1)－(2－x)＝－30，所以

2－x－x－1；当－1x

1

2

时，|x＋1|＝x＋1，|x－2|＝2－x，因为(x＋1)－(2－x)＝2x－10，

x＋12－x；当

1

2

x2时，x＋12－x；当x2时，|x＋1|＝x＋1，|x－2|＝x－2，显然x＋1x

－2；

故

2((,1)

1

2([1,))

2

()

1

1([,2))

2

1([2,))

xx

xx

fx

xx

xx





























据此求得最小值为

3

2

。选C

１２解：关于x的方程0112

2

2kxx可化为2

2211011xxkxx（－）（或－）…(1)

或2

22110xxk＋（－）(－1x1)…………(2)

①当k＝－2时，方程(1)的解为

3

，方程(2)无解，原方程恰有2个不同的实根

②当k＝

1

4

时，方程(1)有两个不同的实根

6

2

，方程(2)有两个不同的实根

2

2

，即原方

程恰有4个不同的实根

③当k＝0时，方程(1)的解为－1，＋1，2，方程(2)的解为x＝0，原方程恰有5个不同

的实根

④当k＝

2

9

时，方程(1)的解为

15

3

，

23

3

，方程(2)的解为

3

3

，

6

3

，即原方程恰

有8个不同的实根

选A

二、填空题。

１解：由



1

2fx

fx



得



1

4()

2

fxfx

fx





，所以(5)(1)5ff，则

11

5(5)(1)

(12)5

ffff

f





。

２解：

1

ln

2

111

(())(ln)

222

ggge.

３解：函数

1

().

21x

fxa



若()fx为奇函数，则(0)0f，即

0

1

0

21

a



，a＝

2

1

.

４解：由0,1aa，函数2()log(23)

a

fxxx有最小值可知a1，所以不等式

log(1)0

a

x可化为x－11，即x2.

三、解答题

１解：(1)

(2)方程5)(xf的解分别是

4,0,142

和142，由于)(xf在]1,(和

]5,2[上单调递减，在]2,1[和),5[上单调递增，因此

,142]4,0[142,A

.

由于

AB,2142,6142

.

(3)[解法一]当]5,1[x时，

54)(2xxxf

.

)54()3()(2xxxkxg

)53()4(2kxkx

4

3620

2

42

2



















kkk

x

，

,2k

1

2

4



k

.又51x，

①当1

2

4

1





k

，即62k时，取

2

4k

x



，

min

)(xg6410

4

1

4

3620

2

2





k

kk

.

064)10(,64)10(1622kk

，

则0)(

min

xg.

②当1

2

4



k

，即6k时，取1x，

min

)(xg＝02k.

由①、②可知，当2k时，0)(xg，]5,1[x.

因此，在区间]5,1[上，)3(xky的图像位于函数)(xf图像的上方.

[解法二]当]5,1[x时，

54)(2xxxf

.

由











,54

),3(

2xxy

xky

得

0)53()4(2kxkx

，

令

0)53(4)4(2kk

，解得2k或18k，

在区间]5,1[上，当2k时，)3(2xy的图像与函数)(xf的图像只交于一点

)8,1(；当18k时，)3(18xy的图像与函数)(xf的图像没有交点.

如图可知，由于直线)3(xky过点)0,3(，当2k时，直线)3(xky是由直

线)3(2xy绕点)0,3(逆时针方向旋转得到.因此，在区间]5,1[上，)3(xky的

图像位于函数)(xf图像的上方.

2(I)证明：因为(0)0,(1)0ff，所以0,320cabc.

由条件0abc，消去b，得0ac；

由条件0abc，消去

c

，得0ab，20ab.

故21

b

a

.

(II)抛物线2()32fxaxbxc的顶点坐标为

23

(,)

33

bacb

aa



，

在21

b

a

的两边乘以

1

3

，得

12

333

b

a

.

又因为(0)0,(1)0,ff而

22

()0,

33

bacac

f

aa





所以方程()0fx在区间(0,)

3

b

a

与(,1)

3

b

a

内分别有一实根。

故方程()0fx在(0,1)内有两个实根.

3解：(Ⅰ)因为()fx是奇函数，所以(0)f＝0，即

1

112

01()

22

x

x

b

bfx

aa







又由f(1)＝－f(－1)知

1

1

12

2

2.

41

a

aa









(Ⅱ)解法一：由(Ⅰ)知

1

1211

()

22221

x

xx

fx









，易知()fx在(,)上

为减函数。又因()fx是奇函数，从而不等式：22(2)(2)0fttftk

等价于222(2)(2)(2)fttftkfkt，因()fx为减函数，由上式推得：

2222ttkt．即对一切tR有：2320ttk，

从而判别式

1

4120.

3

kk

解法二：由(Ⅰ)知

1

12

()

22

x

x

fx









．又由题设条件得：

22

22

22

2121

1212

0

2222

tttk

tttk











，

即：2222212212(22)(12)(22)(12)0tktttttk，

整理得23221,ttk因底数2>1,故:2320ttk

上式对一切tR均成立，从而判别式

1

4120.

3

kk

4解：(Ⅰ)()fx的定义域为R，20xaxa恒成立，240aa，

04a，即当04a时()fx的定义域为R．

(Ⅱ)

22

(2)e

()

()

xxxa

fx

xaxa









，令()0fx



≤，得(2)0xxa≤．

由()0fx



，得0x或2xa，又04a，

02a时，由()0fx



得02xa；

当2a时，()0fx



≥；当24a时，由()0fx



得20ax，

即当02a时，()fx的单调减区间为(02)a，；

当24a时，()fx的单调减区间为(20)a，．

5解：(Ⅰ)设()yfx与()(0)ygxx在公共点

00

()xy，处的切线相同．

()2fxxa



∵，

23

()

a

gx

x



，由题意

00

()()fxgx，

00

()()fxgx



．

即

22

000

2

0

0

1

23ln

2

3

2

xaxaxb

a

xa

x



















，

，

由

2

0

0

3

2

a

xa

x

得：

0

xa，或

0

3xa(舍去)．

即有22222

15

23ln3ln

22

baaaaaaa．

令22

5

()3ln(0)

2

httttt，则()2(13ln)httt



．于是

当(13ln)0tt，即

1

30te时，()0ht



；

当(13ln)0tt，即

1

3te时，()0ht



．

故()ht在

1

30e







，为增函数，在

1

3e









，∞为减函数，

于是()ht在(0)，∞的最大值为

12

33

3

2

hee









．

(Ⅱ)设22

1

()()()23ln(0)

2

Fxfxgxxaxaxbx，

则()Fx



23()(3)

2(0)

axaxa

xax

xx



．

故()Fx在(0)a，为减函数，在()a，∞为增函数，

于是函数()Fx在(0)，∞上的最小值是

000

()()()()0FaFxfxgx．

故当0x时，有()()0fxgx≥，即当0x时，

()()fxgx≥．

6解析：(1)∵2()1fxxx，

,

是方程f(x)＝0的两个根()，

∴

1515

,

22





；

(2)'()21fxx，

2

1

115

(21)(21)

1

244

2121

nnn

nn

nnn

nn

aaa

aa

aaa

aa









＝

5

11

4

(21)

4212n

n

a

a





，∵

1

1a，∴有基本不等式可知

2

51

0

2

a



(当且仅当

1

51

2

a





时取等号)，∴

2

51

0

2

a



同，样

3

51

2

a



，……，

51

2n

a



(n＝1，2，……)，

(3)

1

()()

(1)

2121

nnn

nnn

nn

aaa

aaa

aa













，而

1

，即

1

，

2

1

()

21

n

n

n

a

a

a













，同理

2

1

()

21

n

n

n

a

a

a













，

1

2

nn

bb





，又

1

13535

lnln2ln

12

35

b













35

2(21)ln

2

n

n

S





四、创新试题

１解：依题意，有x

1

＝50＋x

3

－55＝x

3

－5，x

1

x

3

，同理，x

2

＝30＋x

1

－20＝x

1

＋10x

1

x

2

，

同理，x

3

＝30＋x

2

－35＝x

2

－5x

3

x

2

故选C

2解：令c＝π，则对任意的x∈R，都有f(x)＋f(x−c)＝2，于是取

2

1

ba，c＝π，则对任

意的x∈R，af(x)＋bf(x−c)＝1，由此得1

cos



a

cb

。选Ｃ。