复数概念
谨慎反义词-漂流木帆布包
2023年2月21日发(作者：党章学习ppt)全国名校高考数学优质学案经典专题寒暑假自学辅导学案汇编（附详解）
第84课时课题：复数的有关概念1
第84课时课题：复数的有关概念
一．教学目标：
1．使学生了解扩充实数集的必要性，正确理解复数的有关概念．掌握复
数的代数、几何、三角表示及其转换；
2．掌握复数的运算法则，能正确地进行复数的运算，并理解复数运算的
几何意义；
3．掌握在复数集中解实数系数一元二次方程和二项方程的方法．
4．通过内容的阐述，带综合性的例题和习题的训练，继续提高学生灵活
运用数学知识解题的能力．
5．通过数的概念的发展，复数、复平面内的点及位置向量三者之间的联
系与转换的复习教学，继续对学生进行辩证观点的教育．
二．教学重点：复数三角形式表示法及复数的运算法则，复数与实数的区
别和联系。
三．教学过程：
（一）主要知识：
1.数的概念的发展，复数的有关概念（实数、虚数、纯虚数、复数相
等、共轭复数、模）；
2.复数的代数表示与向量表示；
3.复数的加法与减法，复数的乘法与除法，复数的三角形式，复数三
角形式的乘法与乘方，复数三角形式的除法与开方；
4.复数集中解实系数方程（包括一元二次方程、二项方程）。
复数在过去几年里是代数的重要内容之一，涉及的知识面广，对能力
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要求较高，是高考热点之一。但随着新教材对复数知识的淡化，高考试题
比例下降，因此考生要把握好复习的尺度。
从近几年的高考试题上看：复数部分考查的重点是基础知识题型和运
算能力题型。基础知识部分重点是复数的有关概念、复数的代数形式、三
角形式、两复数相等的充要条件及其应用，复平面内复数的几何表示及复
向量的运算。主要考点为复数的模与辐角主值，共轭复数的概念和应用。
若只涉及到一、二个知识点的试题大都集中在选择题和填空题；若涉及几
个知识点的试题，往往是中、高档题目，解答此类问题一般要抓住相应的
概念进行正确的变换，对有些题目，往往用数形结合可获得简捷的解法。
有关复数n次乘方、求辐角（主值）等问题，涉及到复数的三角形式，首
先要将所给复数转化为三角形式后再进行变换。
复数的运算是高考中复数部分的热点问题。主要考查复数的代数和三
角形式的运算，复数模及辐角主值的求解及复向量运算等问题。
基于上述情况，我们在学习“复数”一章内容时，要注意以下几点：
（1）复数的概念几乎都是解题的手段。因此在学习复数时要在深入理
解、熟练掌握复数概念上下功夫。除去复数相等、模、辐角、共轭
复数的三角形式和代数式，提供了将“复数问题实数化”的手段。
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复数的几何意义也是解题的一个重要手段。
（2）对于涉及知识点多，与方程、三角、解析几何等知识综合运用的
思想方法较多的题型，以及复数本身的综合题，一直成为学生的难点，应
掌握规律及典型题型的技巧解法，并加以强化训练以突破此难点；
(3)重视以下知识盲点：
①不能正确理解复数的几何意义，常常搞错向量旋转的方向；
②忽视方程的虚根成对出现的条件是实系数；
③盲目地将实数范围内数与形的一些结论，不加怀疑地引用到复数范
围中来；
④容易混淆复数的有关概念，如纯虚数与虚数的区别问题，实轴与虚
轴的交集问题，复数辐角主值的范围问题等。
（二）知识点详析
1．知识体系表解
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2．复数的有关概念和性质：
(1)i称为虚数单位，规定21i，形如a+bi的数称为复数，其中a，b
∈R．
(2)复数的分类(下面的a，b均为实数)
(3)复数的相等设复数
1112221122
,(,,,)zabizabiababR，那么
12
zz的
充要条件是：
1122
abab且．
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(4)复数的几何表示复数z=a+bi（a，b∈R）可用平面直角坐标系内点
Z(a，b)来表示．这时称此平面为复平面，x轴称为实轴，y轴除去原点称
为虚轴．这样，全体复数集C与复平面上全体点集是一一对应的．
复数z=a+bi,abR
．在复平面内还可以用以原点O为起点，以点Z(a，
b)
向量所成的集合也是一一对应的(例外的是复数0对应点O，看成零向
量)．
(7)复数与实数不同处
①任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实
数时就不能比较大小．
②实数对于四则运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次
方．而复数对四则运算和开方均通行无阻．
3．有关计算：
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⑴ni*nN怎样计算？（先求n被4除所得的余数，
rrkii4*,kNrN）
⑵ii
2
3
2
1
2
3
2
1
21
、是1的两个虚立方根，并且：
13
2
3
1
2
2
1
1
2
2
2
1
1
1
2
1
21
12
1
21
⑶复数集内的三角形不等式是：
212121
zzzzzz，其中左边在
复数z
1
、z
2
对应的向量共线且反向（同向）时取等号，右边在复数
z
1
、z
2
对应的向量共线且同向（反向）时取等号。
⑷棣莫佛定理是：))(sin(cos)sin(cosZnninrirn
n
⑸若非零复数)sin(cosirz，则z的n次方根有n个，即：
)1210)(
2
sin
2
(cos
nk
n
k
i
n
k
rzn
k
，，，，
它们在复平面内对应的点在分布上有什么特殊关系？
都位于圆心在原点，半径为nr的圆上，并且把这个圆n等分。
⑹若
121
)
3
sin
3
(cos32zizz
，，复数z
1
、z
2
对应的点分别是A、B，
则△AOB（O为坐标原点）的面积是33
3
sin62
2
1
。
⑺zz=2z。
⑻复平面内复数z对应的点的几个基本轨迹：
①)(arg为实常数z轨迹为一条射线。
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第84课时课题：复数的有关概念7
②是实常数）是复常数，
00
()arg(zzz轨迹为一条射线。
③
是正的常数）rrzz(
0
轨迹是一个圆。
④
)(
2121
是复常数、zzzzzz
轨迹是一条直线。
⑤
是正的常数）是复常数，、azzazzzz
2121
(2轨迹有三种可能情
形：a)当
21
2zza时，轨迹为椭圆；b)当
21
2zza时，轨迹为一条线
段；c)当
21
2zza时，轨迹不存在。
⑥)(2
21
是正的常数aazzzz轨迹有三种可能情形：a)当
21
2zza时，轨迹为双曲线；b)当
21
2zza时，轨迹为两条射线；c)
当
21
2zza时，轨迹不存在。
4．学习目标
(1)联系实数的性质与运算等内容，加强对复数概念的认识；
(2)理顺复数的三种表示形式及相互转换：z=r(cosθ+isinθ)OZ
→
(Z(a,b))z=a+bi
(3)正确区分复数的有关概念；
(4)掌握复数几何意义,注意复数与三角、解几等
内容的综合；
(5)正确掌握复数的运算：复数代数形式的加、减、乘、除；三角形式
的乘、除、乘方、开方及几何意义；虚数单位i及1的立方虚根ω的性质；
模及共轭复数的性质；
(6)掌握化归思想——将复数问题实数化（三角化、几何化）；
复
数
集
纯虚数集
虚
数
集
实数集
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第84课时课题：复数的有关概念8
(7)掌握方程思想——利用复数及其相等的有关充要条件，建立相应的
方程，转化复数问题。
（三）例题分析：
Ⅰ.2004年高考数学题选
1.(2004年四川卷理3)设复数ω＝－
2
1
＋
2
3
i，则1＋ω＝
A.–ωB.ω2C.
1
D.
2
1
2．(2004重庆卷2）)设复数zziz2,212则,则22ZZ（）
A．–3B．3C．－3i
D．3i
3.（2004高考数学试题广东B卷14）已知复数z与(z+2)2-8i均是纯虚
数,则z=.
Ⅱ.范例分析
①实数？②虚数？③纯虚数？
①复数z是实数的充要条件是：
∴当m＝2时复数z为实数．
②复数z是虚数的充要条件：