成都9中

成都9中

-

2023年2月13日发(作者：)

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项

1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．

4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．

5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若等差数列

n

a

的前

n

项和为

n

S

，且

13

0S

，

34

21aa

，则

7

S

的值为（）．

A

．

21B

．

63C

．

13D

．

84

2．已知锐角



满足

2sin21cos2,

则

tan

（）

A

．

1

2

B

．1C

．2D

．4

3．复数2aii

的实部与虚部相等，其中i为虚部单位，则实数

a

()

A

．

3B

．

1

3

C

．

1

2

D

．1

4．若x

表示不超过

x

的最大整数

(

如

2.52

，

44

，

2.53

)

，已知

2

10

7

n

n

a









，

11

ba

，

*

1

10,2

nnn

baann



N

，则

2019

b

（）

A

．

2B

．

5C

．

7D

．

8

5．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为3

2222xyxy.

给出下

列四个结论：

①曲线C有四条对称轴；

②曲线C上的点到原点的最大距离为

1

4

；

③曲线C第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为

1

8

；

④四叶草面积小于

4



.

其中，所有正确结论的序号是（）

A

．①②

B

．①③

C

．①③④

D

．①②④

6．对于定义在R上的函数yfx

，若下列说法中有且仅有一个是错误的，则错误

．．

的一个是（）

A

．fx

在,0

上是减函数

B

．fx

在0,

上是增函数

C

．fx

不是函数的最小值

D

．对于xR，都有11fxfx

7．若i为虚数单位，则复数

22

sincos

33

zi





的共轭复数z在复平面内对应的点位于（）

A

．第一象限

B

．第二象限

C

．第三象限

D

．第四象限

8．

“

完全数

”

是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身

.

古希腊数学家毕

达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个

“

完全数

”6

和

28

，进一步研究发现后续三个完全数

”

分别为

496

，

8128

，

33550336

，现将这五个

“

完全数

”

随机分为两组，一组

2

个，另一组

3

个，则

6

和

28

不在同一组的概率为（）

A

．

1

5

B

．

2

5

C

．

3

5

D

．

4

5

9．已知定义在R上的奇函数fx

满足11fxfx

，且当0,1x

时，2xfxm

，则2019f

（）

A

．

1B

．

-1C

．

2D

．

-2

10．设0.3

80.3

log0.2,log4,4abc

，则（）

A

．cbaB

．abcC

．

acbD

．bac

11．设

1

F，

2

F分别为双曲线

22

22

1

xy

ab

（

a

＞

0

，

b

＞

0

）的左、右焦点，过点

1

F作圆222xyb的切线与双曲线的

左支交于点

P

，若

21

2PFPF

，则双曲线的离心率为（）

A

．2B

．3C

．5D

．6

12．如图

1

，《九章算术》中记载了一个

“

折竹抵地

”

问题

:

今有竹高一丈

,

末折抵地

,

去本三尺，问折者高几何

?

意思是

:

有一根竹子

,

原高一丈（

1

丈

=10

尺）

,

现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为

（）尺

.

A

．5.45B

．

4.55C

．

4.2D

．5.8

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若函数2()ln()fxxxax为偶函数，则

a

．

14．已知向量1,1a

，2,bm，若2//abb

，则实数

m

______.

15．

“

今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月共织九匹三丈．

”

其白话意译为：

“

现有一善织布的女子，从第

2

天开始，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织了

5

尺布，现在一个月（按

30

天计算）共织布

390

尺．

”

则每天

增加的数量为

____

尺，设该女子一个月中第

n

天所织布的尺数为

n

a

，则

14151617

aaaa

______

．

16．二项式

1

2

n

x

x









的展开式中所有项的二项式系数之和是

64

，则展开式中的常数项为

______.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）若数列

n

a

前

n

项和为

n

S

，且满足2

1nn

t

Sa

t





（

t

为常数，且

0,1tt

）

（

1

）求数列

n

a

的通项公式：

（

2

）设

1

nn

bS，且数列

n

b

为等比数列，令

3

log

nnn

cab

，

.

求证：

12

3

2n

ccc.

18．（12分）如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形，且垂直于底面ABCD，

19045ABBCBADABCADC，，，

,MN

分别是ADPD，的中点

.

（

1

）证明：平面//CMN平面PAB；

（

2

）已知点E在棱PC上且

2

3

CECP

，求直线NE与平面PAB所成角的余弦值

.

19．（12分）在锐角ABC中，

a

，b，

c

分别是角A，B，C所对的边，ABC的面积2S，且满足

cos(1cos)aBbA

，则

()()cabcba

的取值范围是（）

A

．828,8

B

．

(0,8)

C

．

838

,83

3











D

．

838

,8

3











20．（12分）已知数列

n

a

满足对任意*nN都有

12

2

nnn

aaa



＝

，其前

n

项和为

n

S

，且

73

49,Sa＝

是

1

a

与

13

a

的等

比中项，

12

aa＜

．

（

1

）求数列

n

a

的通项公式

n

a

；

（

2

）已知数列

n

b

满足12n

a

n

b

，

nnn

cab＝

，设数列

n

c

的前

n

项和为

n

T

，求

920

65

n

T

n





大于1000的最小的正整数

n

的值．

21．（12分）已知抛物线2:2(0)Cypxp的焦点为F，直线l交C于

,AB

两点（异于坐标原点

O

）

.

（

1

）若直线l过点F,12OAOB，求C的方程；

（

2

）当0OAOB时，判断直线l是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由

.

22．（10分）已知数列

n

a

为公差不为零的等差数列，

n

S

是数列

n

a

的前

n

项和，且

1

a

、

2

a

、

5

a

成等比数列，

7

49S

.

设数列

n

b

的前

n

项和为

n

T

，且满足

21

log2

nn

TS



.

（

1

）求数列

n

a

、

n

b

的通项公式；

（

2

）令*

n

n

n

a

cnN

b



，证明：

12

3

n

ccc

.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．

B

【解析】

由已知结合等差数列的通项公式及求和公式可求d，

1

a，然后结合等差数列的求和公式即可求解．

【详解】

解：因为

13

0S

，

34

21aa，

所以

1

1

131360

2521

ad

ad











，解可得，3d，

1

18a

，

则

7

1

71876(3)63

2

S

．

故选：

B

．

【点睛】

本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础题．

2．

C

【解析】

利用

sin22sincos,2cos212sin代入计算即可

.

【详解】

由已知，24sincos2sin，因



为锐角，所以sin0，2cossin，

即

tan

2.

故选：

C.

【点睛】

本题考查二倍角的正弦、余弦公式的应用，考查学生的运算能力，是一道基础题

.

3．

B

【解析】

利用乘法运算化简复数2aii

即可得到答案

.

【详解】

由已知，221(2)aiiaai

，所以212aa，解得

1

3

a.

故选：

B

【点睛】

本题考查复数的概念及复数的乘法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题

.

4．

B

【解析】

求出

1

b

，

2

b

，

3

b

，

4

b，

5

b

，

6

b，判断出

{}

n

b是一个以周期为

6

的周期数列，求出即可．

【详解】

解：

2

10

7

n

n

a









.*

111

(102)

nnn

babaann



N＝，＝，

，

∴

11

20

2

7

[]ab＝＝＝

，

2

200

[28

7

]a＝＝

，

2

281028b＝＝

，

同理可得：

33

2855ab＝，＝

；

44

28577ab＝，＝

；

55

285711ab＝，＝

.

66

2857144ab＝，＝

；

7

2857142a＝

，

7

2b＝

，

…….

∴

6nn

bb



＝

.

故

n

b

是一个以周期为

6

的周期数列，

则

2019633633

5bbb



＝＝＝

.

故选：

B.

【点睛】

本题考查周期数列的判断和取整函数的应用．

5．

C

【解析】

①利用

,xy

之间的代换判断出对称轴的条数；②利用基本不等式求解出到原点的距离最大值；③将面积转化为

,xy

的

关系式，然后根据基本不等式求解出最大值；④根据

,xy

满足的不等式判断出四叶草与对应圆的关系，从而判断出面

积是否小于

4



.

【详解】

①：当

x

变为

x

时，3

2222xyxy不变，所以四叶草图象关于

y

轴对称；

当

y

变为

y

时，3

2222xyxy不变，所以四叶草图象关于

x

轴对称；

当

y

变为

x

时，3

2222xyxy不变，所以四叶草图象关于

yx

轴对称；

当

y

变为

x

时，3

2222xyxy不变，所以四叶草图象关于

yx

轴对称；

综上可知：有四条对称轴，故正确；

②：因为3

2222xyxy，所以2

22

3

2222

2

xy

xyxy











，

所以22

1

4

xy

，所以22

1

2

xy

，取等号时22

1

8

xy

，

所以最大距离为

1

2

，故错误；

③：设任意一点,Pxy

，所以围成的矩形面积为

xy

，

因为3

2222xyxy，所以3

3

22222xyxyxy，所以

1

8

xy，

取等号时

2

4

xy，所以围成矩形面积的最大值为

1

8

，故正确；

④：由②可知22

1

4

xy

，所以四叶草包含在圆22

1

4

xy

的内部，

因为圆的面积为：

1

44

S





，所以四叶草的面积小于

4



，故正确

.

故选：

C.

【点睛】

本题考查曲线与方程的综合运用，其中涉及到曲线的对称性分析以及基本不等式的运用，难度较难

.

分析方程所表示曲

线的对称性，可通过替换方程中

,xy

去分析证明

.

6．

B

【解析】

根据函数对称性和单调性的关系，进行判断即可．

【详解】

由

(1)(1)fxfx

得

()fx

关于1x对称，

若关于1x对称，则函数

()fx

在

(0,)

上不可能是单调的，

故错误的可能是B或者是D，

若D错误，

则

()fx

在

(

，

0]

上是减函数，在

()fx

在

(0,)

上是增函数，则

(0)f

为函数的最小值，与C矛盾，此时C也错误，

不满足条件．

故错误的是B，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查函数性质的综合应用，结合对称性和单调性的关系是解决本题的关键．

7．

B

【解析】

由共轭复数的定义得到z，通过三角函数值的正负，以及复数的几何意义即得解

【详解】

由题意得

22

sincos

33

zi





，

因为

23

sin0

32



，

21

cos0

32



，

所以z在复平面内对应的点位于第二象限．

故选：

B

【点睛】

本题考查了共轭复数的概念及复数的几何意义，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础题

.

8．

C

【解析】

先求出五个

“

完全数

”

随机分为两组，一组

2

个，另一组

3

个的基本事件总数为2

5

10C

，再求出

6

和

28

恰好在同一组

包含的基本事件个数，根据即可求出

6

和

28

不在同一组的概率

.

【详解】

解：根据题意，将五个

“

完全数

”

随机分为两组，一组

2

个，另一组

3

个，

则基本事件总数为2

5

10C

，

则

6

和

28

恰好在同一组包含的基本事件个数21

23

4CC

，

∴6

和

28

不在同一组的概率

1043

105

P



.

故选：

C.

【点睛】

本题考查古典概型的概率的求法，涉及实际问题中组合数的应用

.

9．

B

【解析】

根据

f

（

x

）是

R

上的奇函数，并且

f

（

x

+1

）

=

f

（

1-

x

），便可推出

f

（

x

+4

）

=

f

（

x

），即

f

（

x

）的周期为

4

，而由

x

∈[0

，

1]

时，

f

（

x

）

=2x-

m

及

f

（

x

）是奇函数，即可得出

f

（

0

）

=1-

m

=0

，从而求得

m

=1

，这样便可得出

f

（

2019

）

=

f

（

-1

）

=-

f

（

1

）

=-1

．

【详解】

∵fx

是定义在

R

上的奇函数，且11fxfx

；

∴

(2)()()fxfxfx

；

∴

(4)()fxfx

；

∴fx

的周期为

4

；

∵

[0,1]x

时，()2xfxm；

∴由奇函数性质可得

(0)10fm

；

∴1m；

∴

[0,1]x

时，()21xfx；

∴

(2019)(15054)(1)(1)1ffff

.

故选：

B

.

【点睛】

本题考查利用函数的奇偶性和周期性求值，此类问题一般根据条件先推导出周期，利用函数的周期变换来求解，考查

理解能力和计算能力，属于中等题

.

10．

D

【解析】

结合指数函数及对数函数的单调性

,

可判断出10a,1b,1c,

即可选出答案

.

【详解】

由

0.30.3

10

log4log1

3



,

即1b,

又

888

1log0.125log0.2log10,

即10a,

0.341,

即1c,

所以bac.

故选

:D.

【点睛】

本题考查了几个数的大小比较

,

考查了指数函数与对数函数的单调性的应用

,

属于基础题

.

11．

C

【解析】

设过点

1

F作圆222xyb的切线的切点为T，根据切线的性质可得

1

OTPF，且

||OTa

，再由

21

2PFPF

和

双曲线的定义可得

12

||2,||4PFaPFa，得出T为

1

FP

中点，则有

2

//OTPF，得到

21

PFPF，即可求解

.

【详解】

设过点

1

F作圆222xyb的切线的切点为T，

22

111

,||||OTPFFTOFba

212121

2,2,4,2PFPFPFPFaPFaPFa，

所以T是

1

FP

中点，

212

//,OTPFPFPF，

2222

1212

||||20||4PFPFaFFc，

2

2

5,5

c

e

a

.

故选

:C.

【点睛】

本题考查双曲线的性质、双曲线定义、圆的切线性质，意在考查直观想象、逻辑推理和数学计算能力，属于中档题

.

12．

B

【解析】

如图，已知10ACAB，3BC，2229ABACBC

∴

()()9ABACABAC

，解得0.9ABAC，

∴

10

0.9

ABAC

ABAC











，解得

5.45

4.55

AB

AC











.

∴折断后的竹干高为4.55

尺

故选

B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．

1

【解析】

试题分析：由函数2()ln()fxxxax为偶函数



函数2()ln()gxxax为奇函数，

(0)ln01gaa

．

考点：函数的奇偶性．

【方法点晴】本题考查导函数的奇偶性以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思想、数形结

合思想与转化思想，具有一定的综合性和灵活性，属于较难题型．首先利用转化思想，将函数2()ln()fxxxax

为偶函数转化为函数2()ln()gxxax为奇函数，然后再利用特殊与一般思想，取

(0)ln01gaa

．

14．

-2

【解析】

根据向量坐标运算可求得24,2abm，根据平行关系可构造方程求得结果

.

【详解】

由题意得：24,2abm

2//abb422mm

，解得：2m

本题正确结果：2

【点睛】

本题考查向量的坐标运算，关键是能够利用平行关系构造出方程

.

15．

16

29

52

【解析】

设从第

2

天开始

,

每天比前一天多织d尺布

,

由等差数列前

n

项和公式求出

16

29

d,

由此利用等差数列通项公式能求出

14151617

aaaa

.

【详解】

设从第

2

天开始

,

每天比前一天多织

d

尺布

,

则

30

3029

305390

2

Sd



,

解得

16

29

d,

即每天增加的数量为

16

29

，

1

13141516aaaaadadadad

1

458ad

16

455852

29



，故答案为

16

29

，

52.

【点睛】

本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的求和公式，意在考查利用所学知识解决问题的能力，属于中档题

.

16．

15

4

【解析】

由二项式系数性质求出

n

，由二项展开式通项公式得出常数项的项数，从而得常数项．

【详解】

由题意264n，6n．

展开式通项为

3

3

6

2

166

11

()()()

22

r

rrrrr

r

TCxCx

x







，由

3

30

2

r



得2r，

∴常数项为22

36

115

()

24

TC

．

故答案为：

15

4

．

【点睛】

本题考查二项式定理，考查二项式系数的性质，掌握二项展开式通项公式是解题关键．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（

1

）

2n

n

at

（

2

）详见解析

【解析】

（

1

）利用

1nnn

aSS





可得

n

a

的递推关系，从而可求其通项

.

（

2

）由

n

b

为等比数列可得

1

3

t

，从而可得

n

c

的通项，利用错位相减法可得

n

c

的前

n

项和，利用不等式的性质

可证

12

3

2n

ccc.

【详解】

（

1

）由题意，得：2

1nn

t

Sa

t





（

t

为常数，且

0,1tt

），

当1n时，得

11

2

1

t

Sa

t





，得

1

2at

.

由





11

2

1

2(2)

1

nn

nn

t

Sa

t

t

San

t























，

故

111nnnnn

t

SSaaa

t





，

1

(2)

nn

atan





，故

2n

n

at

.

（

2

）由2

112211

11

nn

nn

tt

bStt

tt





，

由

n

b

为等比数列可知：2

213

bbb

，又223

123

12,122,1222btbttbttt

，故

2

223122121222tttttt，化简得到3262tt，

所以

1

3

t

或0t（舍）

.

所以，

12

,

33

n

nn

n

ba









，则

3

212

log

333

n

n

nn

n

c











.

设

n

c

的前

n

项和为

n

T

.

则

12

242

333n

n

n

T

231

1242

3333n

n

n

T



，相减可得

12

3233

2232nn

n

n

Tccc







【点睛】

数列的通项

n

a

与前

n

项和

n

S

的关系式1

1

,1

,2n

nn

Sn

a

SSn















，我们常利用这个关系式实现

n

a

与

n

S

之间的相互转

化

.

数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列

与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符

号有规律的出现，则用并项求和法

.

18．（

1

）证明见解析；（

2

）

1

2

.

【解析】

（

1

）由平面几何知识可得出四边形ABCM是平行四边形，可得//CMAB//CM面PAB，再由面面平行的判定

可证得面面平行；

（

2

）由（

1

）可知，

,,MCMDMP

两两垂直，故建立空间直角坐标系，可求得面

PAB

的法向量，再运用线面角的向

量求法，可求得直线NE与平面PAB所成角的余弦值

.

【详解】

（

1

）90BADABC，//ADBC,

又45ADC，1ABBC，2AD,

而M、N分别是AD、PD的中点，

//MNPA

，故//MN面PAB,

又//AMBC且

AMBC

，故四边形ABCM是平行四边形

,//CMAB//CM面PAB,

又MN，CM是面CMN内的两条相交直线

,

故面//CMN面PAB.

（

2

）由（

1

）可知，

,,MCMDMP

两两垂直，故建系如图所示

,

则

13

(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,3),(0,,)

22

ABCDPN，

(100),(013)ABPA，，，，，

2123

,0,

333

CECPE











，

，

113

(,)

326

NE，,

设=,,nxyz

是平面

PAB

的法向量

,

0

30

x

yz

















，

令1z，则(0,3,1)n,

33

26

3

cos,

2

111

2+

9412

NEn







,



直线

NE

与平面PAB所成角的余弦值为

2

31

1

22











.

【点睛】

本题考查空间的面面平行的判定，以及线面角的空间向量的求解方法，属于中档题

.

19．

A

【解析】

由正弦定理化简得

sin()sinABB

，解得

2

2

AB





，进而得到

3(,)

42

CB





，利用正切的倍角公式求得

1tan12

2

C



，根据三角形的面积公式，求得

4

sin

ab

C



，进而化简

()()cabcba

8

(1cos)8tan

sin2

C

C

C



，即可求解

.

【详解】

由题意，在锐角ABC中，满足

cos(1cos)aBbA

，

由正弦定理可得sincossinsincosABBBA，即sincossincossinABBAB，

可得

sin()sinABB

，所以ABB，即

2

2

AB





，

所以

(0,)

4

B





，所以

3

3(,)

24

ABB





，则

3(,)

42

CB





，

所以

2

2tan

2

tan1

1tan

2

C

C

C





，可得

1tan12

2

C



，

又由ABC的面积

1

sin2

2

SabC

，所以

4

sin

ab

C



，

则222()()2cabcbacabab2cos2abCab

2(1cos)abC

21(12sin)

8

2

(1cos)88tan(828,8)

sin2

2sincos

22

C

C

C

CC

C





.

故选：

A.

【点睛】

本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，以及三角形的面积公式和正切的倍角公式的综合应用，着重考查了推理

与运算能力，属于中档试题

.

20．（

1

）

21

n

an

（

2

）

4

【解析】

（

1

）利用

12

2

nnn

aaa



＝

判断

n

a

是等差数列，利用

7

49,S＝

求出

4

7a＝

，利用等比中项建立方程，求出公差可得

.

（

2

）利用

n

a

的通项公式

n

a

,

求出224,214nnn

nn

bcn

，用错位相减法求出1

2065

4

99

n

n

n

T





，最后

建立不等式求出最小的正整数

.

【详解】

解：1

任意*nN都有

12

2

nnn

aaa



＝

，



数列

n

a

是等差数列，

744

49,749,7Saa＝＝＝

，

又

3

a

是

1

a与

13

a

的等比中项，

12

aa

，设数列

n

a

的公差为d，且0d，

则277379ddd，解得2d＝，

1

731ad＝＝

，

12121

n

ann

；

2

由题意可知224,214nnn

nn

bcn

，

121434?··214n

n

Tn

①，

23141434?··214n

n

Tn

②，

①﹣②得：231342424?··24214nn

n

Tn

，

1

2065

4

99

n

n

n

T



，

122

920

42

65

nn

n

T

n









，

由

920

65

n

T

n





1000＞得，2221000n，

2210n，

4n，



满足条件的最小的正整数

n

的值为4．

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式和前

n

项和公式及错位相减法求和

.(1)

解决等差数列通项的思路

(1)

在等差数列

n

a

中，

1

ad、

是最基本的两个量，一般可设出

1

a

和d，利用等差数列的通项公式和前

n

项和公式列方程

(

组

)

求解即可

.(2)

错位

相减法求和的方法：如果数列

n

a

是等差数列，

n

b

是等比数列，求数列

nn

ab

的前

n

项和时，可采用错位相减法，

一般是和式两边同乘以等比数列

n

b

的公比，然后作差求解

;

在写

“

n

S

”

与

“

n

qS

”

的表达式时应特别注意将两式

“

错项

对齐

”

以便下一步准确写出

“

nn

SqS

”

的表达式

21．（

1

）28yx（

2

）直线l过定点

(2,0)p

【解析】

设

1122

(,),(,)AxyBxy

.

（

1

）由题意知

(,0)

2

p

F

，

22

12

12

(,),(,)

22

yy

AyBy

pp

.

设直线l的方程为

()

2

p

xtytR

，

由

22

2

ypx

p

xty















得2220yptyp，则222440ptp，

由根与系数的关系可得2

1212

2,yyptyyp

，

所以

22

2

12

12

2

3

44

yy

OAOByyp

p



.

由12OAOB，得2

3

12

4

p

，解得

4p

.

所以抛物线C的方程为28yx.

（

2

）设直线l的方程为

(,0)xnymnmR

，

由

22ypx

xnym











得2220ypnypm

，由根与系数的关系可得

12

2yypm

，

所以

22

2

12

121212

22

(2)

20

44

yy

pm

OAOBxxyyyypm

pp





，解得

2mp

.

所以直线l的方程为

2()xnypnR

，

所以0OAOB时，直线l过定点

(2,0)p

.

22．（

1

）

21

n

an

,2n

n

b

（

2

）证明见解析

【解析】

（

1

）利用首项

1

a

和公差d构成方程组，从而求解出

n

a

的通项公式；由

n

a

的通项公式求解出

n

S

的表达式，根据



21

log2

nn

TS



以及

1

2

nnn

bTTn





，求解出

n

b

的通项公式；

（

2

）利用错位相减法求解出

n

c

的前

n

项和

n

H

，根据不等关系证明即可

.

【详解】

（

1

）设首项为

1

a

，公差为d.

由题意，得

2

215

1

76

749

2

aaa

d

a

















，解得

1

1a

，2d

∴

21

n

an

，



2

1

1211

(1)

2n

nn

Sn







∴

21

log21

nn

TSn



，∴122n

n

T

当2n时，

1

22n

n

T





∴

1

2n

nnn

bTT





，2n.

当1n时，

11

2bT

满足上式

.

∴

2n

n

b

（

2

）

21

2n

n

n

c





，令数列

n

c

的前

n

项和为

n

H

.

123

13521

2222n

n

n

H





2341

11352321

222222n

nn

nn

H







两式相减得

1231

1111121

2

222222n

nn

n

H













1

11

11

1

22

121323

1

2222

1

2

n

nn

nn



























∴

23

33

2n

n

n

H





恒成立，得证

.

【点睛】

本题考查等差数列、等比数列的综合应用，难度一般

.

（

1

）当用

1

2

nnn

aSSn





求解

n

a

的通项公式时，一定

要注意验证1n是否成立；（

2

）当一个数列符合等差乘以等比的形式，优先考虑采用错位相减法进行求和，同时注意

对于错位的理解

.