球面距离公式

球面距离公式

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球面距离与球体积公式探究

一、球面距离

《立体几何》课本定义球面距离为：“在球面上，两点间的最短距离，就是经过这两点

的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做这两点的球面距离。”学生问两

点的球面距离为何最短，课本并没有说明。

下面是一个老师设计的实验教学方案中的一个片断：

背景：1993年4月，上海东方航空公司的一架班机在从上海飞往美国洛杉矶的途中突

遇强气流，使飞机上下颠簸造成部分乘客受伤，飞机被迫在阿拉斯加紧急迫降。请问这种做

法科学吗？

（教师挂出世界地图，并画出飞机的飞行路线图）

1

S：不科学。因为上海和洛杉矶都在北纬30°稍北的位置，似乎沿北纬30°圆弧飞行

距离最近。若由上海到阿拉斯加再到洛杉矶，岂不是飞机在绕远道？

学生开始激烈争论，但基本上有一个共识：寻求地球上从上海到洛杉矶最短弧长。

T：怎样的圆弧最短呢？

教师拿出了地球仪、橡皮筋。然后告诉同学们：我们来实验一下。

学生顿时沸腾起来，纷纷要求上讲台拉一拉橡皮筋。

【实验一】两位学生上台，一位同学将橡皮筋的两端固定在上海和洛杉矶，另一位同学

将橡皮筋沿纬线圆放置，橡皮筋却跑到了经阿拉斯加位置。通过这一现象，学生们达到了感

性共识：沿大圆运行，弧长较短。

T：同学们的这种认识应是合理的，但是否正确呢？让我们再次实践。

【实验二】教师拿出了一个大白萝卜（事先已将它削成球），在其上选了两点分别代表

上海和洛杉矶，让一位学生上台用刀经过上海和洛杉矶截出两个圆（一个大圆,一个小圆），

然后让全班同学参观弧长，进一步检验了“大圆弧最短”结论。

【实验三】理论探究

在下图4-1(1)中取个大圆O，在此圆上取两点A，B，联接AB，则AB是大圆的弦。在

球面上，以AB为弦的小圆有多少个呢？

以地球仪为实验对象进行观察：以AB为弦的最小的圆应该是以AB为直径的圆，记为⊙

Omin，其他比⊙Omin大而比大圆小的圆还有无数多个，如以AB为弦的纬线圆就是比⊙Omin大

而比大圆小的圆。这些圆以AB为弦但都不在同一平面内。将这些圆绕弦AB旋转到与大圆处

于同一平面内，可以清楚地观察到(图4-1(2))：小圆O1上的劣弧ADB比大圆O上的劣弧

ACB要长。亦即有：若半径不等的两圆有等弦，则半径越小，该弦所对的劣弧越长。从而，

球面距离就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，它是球面上两点间的最短距

离。

(1)(2)

图4-1

从地图上看，中国首都北京与美国首都华盛顿基本上在同一纬度线上，但从北京飞华盛

顿时飞机会从美国的阿拉斯加上空飞过去，同样，轮船航行也会尽量以大圆劣弧为航线，其

原因都是一样的。

点评教材只给出了球面距离的定义，没有说明为什么这样定义得到的就是球面上两点

间的最短距离，更没有去证明为什么，就是因为，这个概念本身不难，但却有老师没有想到

用这一个简单实验来解决问题。

二球体积公式探究

球体体积公式是高中立体几何中的一个学习内容，这一内容的学习可采用如下两步实验

教学方案进行探究。

【实验一】演示实验：根据教材提供的思路，准备如图4-2所示的三个实验模型(等底

面积等高的半球、圆柱、圆锥各一个)及一些细砂。

甲乙丙

图4-2

实验中用圆锥装满细砂分别倒入图4-2所示的甲、乙容器中，可见半球形容器能装2

个圆锥容量的细砂，而圆柱形容器能装3个圆锥容量的细砂。

于是猜想：半球体积是圆柱体积的三分之二。

这里虽已作了实验，但对于一些同学来讲，似乎更希望知道教材的编写者或者前人是怎

样找到这一方法的，因为前人并不能一下子就有球体积公式。是的，当你也有这种想法时，

特别你在处理任何数学问题时产生了这类想法，你都应该继续这样质疑下去，这对你的数学

学习很有帮助。下面进入实验二，继续探究。

【实验二】追根究底一般来说，教材为了叙述上严谨、简洁的缘故，很多知识都是以

定论的方式直接呈现给学习者的。球体体积公式的处理也是这样：将与球等体积的几何辅助

体直接给出。但我们想知道的是：教材为什么要这样推呢？编教材的老师又是怎样找到这一

方法的？这些困惑得不到解决，学生在学习上是不会感到满意的。

甲乙丙

图4-3

试作如下探讨：先从半球出发，将半球作为一个几何体放在一个平面上，其底面为一个大圆，

高为半球的半径R。根据祖暅原理1，要讨论体积，需要找到这样一个相应的几何体：①能根

据以前的公式求出这一几何体的体积；②与半球等底面等高；③用平行于底面的平面去截半

球和相应的几何体，截面各面积应相等。根据③，设半球上截面圆到底面的距离为d(0≤d

≤R)（图4-3甲所示），那么截面圆半径为22dR，截面圆面积为π(R2-d2)，它可看作

两个圆的面积之差，即一个圆环的面积。于是可想象相应几何体的截面是一个圆环（图4-3

乙所示），到底面的距离仍为d。当d从0变到R时，想象一下这样的圆环堆积起来是什么

形状的几何体？结果我们很容易就想到了这个几何体可看作是一个圆柱里挖去一个圆锥而

得到，这个圆柱的底面圆半径为R，高为R(如图4-3丙)。

1祖暅原理：夹在两平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截

面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。