等腰三角形的周长

等腰三角形的周长

-切应变

2023年2月16日发(作者：医药行业)

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初中数学等腰三角形的分类讨论

等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在具体处理问题

时往往又会出现错误，因此，在求解有关等腰三角形的问题时一定要注意分类讨论。那么在

什么情况下应该分类讨论呢？本文分以下几种情形讲述。

一.遇角需讨论

例1.已知等腰三角形的一个角为75°则其顶角为（）

A.30°B.75°C.105°D.30°或75°

二.遇边需讨论

例2.已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________。

三.遇中线需讨论

例3.若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的

底和腰的长。

四.遇高需讨论

例4.等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，求这个等腰三角形的顶角的

度数。简析：依题意可画出图1和图2两种情形。图1中顶角为45°，图2中顶角为135°。

例5.为美化环境，计划在某小区用230m的草皮铺设一块一边长为10m的等腰三角形

绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。

五.遇中垂线需讨论

例6.在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角

∠B=____________。

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六.和方程问题的

综合讨论

例7.已知ΔABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程

023)32(22kkxkx的两个实数根，第三边BC长为5。

（1）

k

为何值时，ΔABC是以BC为斜边的直角三角形？

（2）

k

为何值时，ΔABC是等腰三角形，并求ΔABC的周长。

七、找点构造等腰三角形需讨论

例8在直角坐标系中，O为坐标原点，A（1,1）；在坐标轴上确定一点P，使ΔAOP为等腰

三角形，则符合条件的点P共有（）

A、4个B、6个C、8个D、1个

等腰三角形中的分类讨论

1．三角形中常见的分类问题I

（1）等腰三角形两个角的度数之比为1:2，这个等腰三角形底角的度数为

_____________；

（2）等腰△ABC的周长为13，AB=5，则BC=________________；

（3）等腰△ABC的周长为16，AB=4，则BC=________________.

2．三角形中常见的分类问题II

（1）等腰三角形一腰上的高等于某条边的一半，则它的顶角是___________度；

（2）等腰三角形一边上的高等于底边的一半，则它的顶角是___________度；

（3）一个等腰三角形的一条高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角的度

数是_______________.

3．三角形的剖分

（1）已知等腰三角形ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，连结AD，若△ACD和

△ABD都是等腰三角形，则∠C的度数是______________；

（2）有一个等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个等腰

三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角为________________；

（3）△ABC中，AB=AC，过△ABC某一顶点的直线可将△ABC分成两个等腰三角

形，试求△ABC各角的度数。

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（4）一个三角形可被剖分成两个等腰三角形，原三角形的一个角为36°，求原

三角形最大角的所有可能值。

4、分类讨论题练习

5、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为20，则它的底角为，当腰上的高与

底的夹角为60时，则它的底角为；若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为

50，它的底角为．

6、等腰三角形周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边长为

7、等腰三角形ABC的腰AC上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和21cm两

部分，则底边BC．

8．已知△ABC中，ABAC，DC是AB上的高，且△ACD恰好为等腰三角形，

则BCD．

9．已知E，F是Rt△ABC斜边AB上的两点，且AFAC，BEBC，则

ECF．

等腰三角形中的分类讨论

（一）复习回顾

1、定义：有____边相等的三角形叫做等腰三角形。

2、性质：从边来看，等腰三角形两条腰________；从角来看，等腰三角形的两

个底角________

从部的线来看，等腰三角形的顶角________，底边上的______，底边上的________

互相重合(简称“三线合一”)；

从对称性来看，等腰三角形是轴对称图形，有________条对称轴．

A、1条B、2条C、3条D、1或3条

3、三角形的高分为形高和形外高；

锐角三角形的三条高线的交点在三角形的部；直角三角形的三条高线的交点是直

角顶点；

钝角三角形的三条高线所在直线的交点在三角形的外部。

（二）交流展示

1、遇角分类

（1）已知等腰三角形的顶角是70°，则底角的度数是_______

（2）已知等腰三角形的一角是70°，则底角的度数是_____

（3）已知等腰三角形的一角是100°，则底角的度数是_____

（4）已知等腰三角形的一个外角为40°，则其顶角为。

（5）已知等腰三角形的一个外角为100°，则其顶角为。

（6）等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，求它的各个角的度数。

等腰三角形中涉与到角的问题时，可以按顶角、底角分类讨论。

（但要利用三角形角和判断三角形是否存在。）

2、遇边分类

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例：（1）一个等腰三角形两边长分别为4和5，则它的周长等于

_________。

（2）一个等腰三角形两边长分别为3和7，则它的周长等于。

变式训练：

（1）如果一个等腰三角形的周长为24，一边长为10，则另两边长为。

（2）如果一个等腰三角形的周长为24，一边长为6，则另两边长为。

等腰三角形中涉与到边的问题时，可以按照腰、底边来分类讨论。

（但要利用三角形三边关系来判断三角形是否存在。）

。例：若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，则这个等腰三

角形的底边长。

变式训练：（1）若一个等腰三角形的底边为5，一腰上的中线把其周长分为两部

分的差为3，则这个等腰三角形的腰长为。

（2）若一个平行四边形一个角的平分线分对边为4和5两部分，则这个平行四

边形的周长为。

3、遇高分类

例4.等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，求这个等腰三角形的

顶角的度数。

下面是两位学生的探讨过程：学习了等腰三角形容后，老师布置了一道题：等腰

三角形上的高与另一腰的夹角为30°，求顶角的度数．

小王说：“顶角的度数应为60°”；小说：“应该等于120°吧”．这时许多同学一

起来议论…

（1）假如你也参加了讨论，你的意见如何？为什么？

（2）通过上面问题的讨论，结合平时的学习，写写自己的想法．（用一句话表示）

变式训练：

1、等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，求此三角形的顶角的度数

_______________

2、等腰三角形的一个角为40°，则一腰上的高与底边的夹角为。

等腰三角形中涉与到高的问题时，可以按照三角形类型来分类讨论。

说明：三角形的高是由三角形的形状决定的，对于等腰三角形，当顶角是锐角时，

腰上的高在三角形；当顶角是钝角时，腰上的高在三角形外。

4、遇垂直平分线分类

在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底

角∠B=_________。

：线段AB的垂直平分线上有两点C、D，若∠CAB=50°，∠DAB=80°，则∠CAD=。

5、能力提升

当等腰三角形被一条直线分割成两个较小的三角形也是等腰三角形时，原等腰三

角形的顶角度数是多少？这条直线怎样画？（讨论所有可能的解，并逐一画图表

示）

直线经过底角顶点时为36、180/7；直线经过顶点时为90、108

如图，在

ABC

中，,ABAC，点

D

在线段

BC

上运动（D不与B、C重合），连

接AD，作

ADEB

，

DE

交线段

AC

于

E

。在点D的运动过程中，

ADE

的形

状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出

BDA

的度数，并说明理由。

A

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如图，在直线l上找一点C使得

ABC

为等腰三角形，这样的点C有个。

（四）课堂检测

1、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为55°，求这个等腰三角形的顶

角的度数。

2、已知等腰三角形的一个角为75°，则其顶角为（）

A.30°B.75°C.105°D.30°或75°

3、已知等腰三角形的一个外角等于150°，求它的各个角的度数

4、若一个等腰三角形的一个角为105°，则另两个角的度数为。

5、已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm，则它的周长为________

6、已知等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，则它的周长为________

7、等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么它的底边长为___

8、等腰三角形底边为5cm，一腰上的中线把周长分为两部分的差为3cm.求腰长

在ΔABC中，AB=AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为

40°，求∠B的度数

关于等腰三角形中分类讨论问题的探讨

一、当腰长或底边长不能确定时，必须进行分类讨论

例1、（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm，求周长。

（2）等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，求周长。

二、当顶角或底角不能确定时，必须进行分类讨论

例2、等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，求它的各个角的度数；

例3、已知等腰三角形的一个外角等于1500，求它的各个角。

三、当高的位置关系不确定时，必须分类讨论

例4、等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为250，求这个三角形的各个角的

度数。

四、由腰的垂直平分线所引起的分类讨论图3

例5、在三角形ABC中，AB=AC，AB边上的垂直

平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为400，

45

D

°

A

B

C

°

E

A

BC

400E

D

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求底角B的度数。

分析：题目中AB边上的垂直平分线与直线AC

相交有两种情形；图4解：（

。

（2）如图5，AB边的垂直

（3）五、由腰上的中线引起的分类讨论

例6、等腰三角形底边为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，

求腰长。

六、几何图形之间的位置关系不明确而需分类讨论的问题

例7、已知C、D两点在线段AB的中垂线上，且∠ACB=500，∠ADB=800，求∠CAD

的度数。

AB

C

D

E

AB

C

D

E

CB

A

例8、如图9，已知△ABC中，BC>AB>AC，∠ACB=400，

如果D、E是直线AB上的两点，且AD=AC，BE=BC，

求∠DCE的度数。图9

解：（1）当点D、E在点A的同侧，且都在BA的延长线上时，如图10，

图10图11

（2）当点D、E在点A的同侧，且点D在D’的位置，E在E’的为时，如图11，

（3）当点D、E在点A的两侧，且E点在E’的位置时，如图12，

A

BC

D

CB

A

D

E

CB

A

D’

E’

40

A

D

E

0

BC

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图12图13

CB

A

D

E’

D

CB

A

’

E