收敛半径的求法

收敛半径的求法

-倒贴皮

2023年2月15日发(作者：植物图片)

1

《高等数学（下）》自学、复习参考资料Ⅲ

——使用前请详细阅读后面所附的“使用指南”

授课教师：杨峰（省函授总站高级讲师）

强烈建议同志们以《综合练习》为纲，仔细掌握其中的所有习题内容！

各章复习范围：

第一部分《矢量代数与空间解析几何》

————第八章第一至六节、第八节（即是除了第七节之外都要复习）

第二部分《多元函数微积分》

————第九章第一至五节（其中第四节只要求“全微分”）

————第十章第一至三节、第五节（即是第四、六节暂不作要求）

第三部分《级数论》

————第十一章都要复习

敬告学员——本门课程复习资料我们是根据听课和教研的基本情况结合自己的理解、加工，

尽量全面、系统地整理出来，但是也只能供大家参考使用而已，并不能代表考试的任何信息，特此

说明。不便之处，敬请原谅！

另外，以后象这样的数理学科，众所周知，其难度较大，数字稍作变化，许多同志未必能做出

来。因此，这些科目的面授课建议大家都能克服困难，积极地参加，以获取准确的知识和复习信息，

否则光是依赖网上复习参考资料，随时有不能一次通过的危险。

2

第十一章级数

一、常数项级数的概念与性质（了解）

1、无穷级数的概念

设有无穷数列

则式子

称为无穷级数，简称级数。记作



1n

n

u

。即

其中

,,,,,

21



n

uuu

叫做级数的项，而n

u

叫做级数的一般项或通项，各

项都是常数的级数称为常数级数。

例如

n321

，



n3

1

3

1

3

1

3

1

32。

就是常数项级数。

2、级数的收敛与发散

定义设级数

,

21



n

uuu

当n无限增大时，如果部分和数列

n

s

有极限

s

，即

ss

n

n





lim

，

则称该无穷级数是收敛的，这时极限

s

叫做级数的和，并写成

如果数列n

s

的极限不存在，则称该无穷级数发散，这时级数没有和。

3、级数的基本性质

3

性质1级数各项同乘以一个不为零的常数后，其敛散性不变。

性质2收敛级数可以逐项相加或相减。

即设有两个收敛级数

则级数

svuvuvu

nn

)()()(

2211

。

性质3在级数前面加上（或去掉）有限项，其敛散性不变。

（因此我们分析级数的敛散性时可忽略前面的一些项。）

性质4收敛级数加括号后所成的级数仍然收敛，且和不变。

4、级数收敛的必要条件

重要定理若级数



1n

n

u

收敛，则当n时，一般项n

u

趋于零，即

0lim



n

n

u。

所以一般项趋于零是级数收敛的必要条件。换言之，若0lim



n

n

u，则级数



1n

n

u

发散。（这是判断一个级数发散常用的方法之一）

二、正项级数及其判敛法

如果级数

,

21



n

uuu

的各项都是非负数（即

0

n

u

，n=1，2，…），则称这个级数为正项级数。

1、比较判别法（会用）

设两个正项级数



1n

n

u

和



1n

n

v

，如果级数



1n

n

v

收敛，且

),,2,1(nvu

nn则级数



1n

n

u

也收敛；如果级数



1n

n

v

发散，且

4

),,2,1(nvu

nn

则级数



1n

n

u

也发散。

应熟记的几个级数的敛散性：

（1）等比级数（几何级数）

当

1q

时，等比级数





1

1

n

naq

收敛，且和为

q

a

1

；当

1q

时，等比级数







1

1

n

naq

发散。

（2）调和级数

1

1

n

n

是发散的。

（3）P—级数

当1P时，P级数

1

1

n

Pn

发散；当1P时，P级数

1

1

n

Pn

收敛。

2、比值判敛法（掌握）

定理设正项级数



1n

n

u

有

则当

1

时，级数收敛；当

1

时，级数发散；当

1

时级数可能收敛，也

可能发散。

三、交错级数及其判敛法

1、级数

其中

0

n

u

（n=1，2，…）称为交错级数。

2、交错级数判敛法（莱布尼兹判敛法）

如果交错级数

),2,1,,0()1(

1

1



nuu

n

n

n

n

满足下列条件：

（1）

),2,1(

1





nuu

nn

；

（2）

0lim



n

n

u

。

5

则交错级数

),2,1,,0()1(

1

1



nuu

n

n

n

n

收敛，

且它的和

1

us

，其余项

n

r的绝对值

1



nn

ur

四、任意项级数、绝对收敛和条件收敛（了解）

既有正项，又有负项的级数

称为任意项级数。

定理2如果正项级数

1n

n

u收敛，则任意项级数



1n

n

u

也收敛。

定义若正项级数

1n

n

u收敛，则称任意项级数



1n

n

u

为绝对收敛；若任意

项级数



1n

n

u

收敛，而正项级数

1n

n

u发散，则称任意项级数



1n

n

u

为条件收敛。

注意：

（1）交错级数是任意项级数；

（2）绝对收敛和条件收敛是对任意项级数来说的；

（3）正项级数不存在绝对收敛和条件收敛。

判定数项级数敛散性的方法：

方法一：级数



1n

n

u

的前n项和n

s

的极限，即n

n

s



lim

存在，则级数



1n

n

u

收

敛，否则级数发散。

如：（1）







1

)1(

1

n

nn

∴该级数收敛且和S=1。

6

（2）







1

)

1

1ln(

n

n

∴该级数发散。

方法二：（步骤）

（一）、首先考察

n

u

，如果

0

1



n

n

u

，则级数发散；

（二）、如果

0

1



n

n

u

，则级数敛散性不定，根据级数的不同类型，采用不同

的判敛方法；

1、正项级数：比值法、比较法；

2、交错级数：用莱布尼兹判敛法；

3、任意项级数：先判定由它的各项取绝对值后所得的正项级数的敛散性。如果正项

级数是收敛的，则原任意项级数绝对收敛；如果正项级数发散，则原任意项级数可

能是条件收敛，也可能发散。

方法三：用级数的定义和性质判定级数的敛散性。

例1判定下列级数的敛散性：

（1）



11

4

8

3

5

2

2

1

解：级数的通项为：

∴该级数发散。

（2）







1

2)12(

1

n

nn

解：此级数为正项级数。

7

∵

1

2

1

12

12

lim

2

1

1

2)12(

2)12(

1

limlim

1

1



























n

n

n

nu

u

n

n

n

n

n

n

n

∴该级数收敛。

（3）



1

!

2

n

n

n

解：此级数为正项级数。

∵

10

1

2

lim

2

!

)!1(

2

limlim

1

1























n

n

nu

u

n

n

n

n

n

n

n

∴该级数收敛。

（4）



1

!

n

n

n

na

n

（

0a

，ea）

解：此级数为正项级数。

∴

1）当

1

a

e

，即

ea

时，级数收敛；

2）当

1

a

e

，即

ea

时，级数发散。

（5）







1

1

1

n

nn

解：此级数为正项级数。

分析：因为

8

∵

1

1

2)1(

1

limlim1















nn

nn

u

u

n

n

n

n

∴不能用比值法判敛。

但∵

又∵P级数



1

2

3

1

n

n

是收敛的，

∴







1

1

1

n

nn

收敛。

（6）









1

21

1

n

n

n

解：

∵

nnn

n

n

n

u

n















1

1

21

1

1

1

22

又









4

1

3

1

2

1

1

1

1n

n

是少了第一项的调和级数，所以是发散的，

∴原级数









1

21

1

n

n

n

是发散的。

例2讨论级数







1

1

1

)1(

n

p

n

n

（P>0）的敛散性。

解：∵

当

1p

时，



1

1

n

pn

收敛，

9

∴级数







1

1

1

)1(

n

p

n

n

绝对收敛；

而当

10p

时，



1

1

n

pn

发散，

又







1

1

1

)1(

n

p

n

n

是交错级数，

用布莱尼兹判别法：

∵1）1)1(

11









n

pp

n

u

nn

u

；

2）

0

1

limlim



p

n

n

nn

u

。

∴







1

1

1

)1(

n

p

n

n

收敛。

综上所述，级数







1

1

1

)1(

n

p

n

n

（P>0）

1）当

1p

时，绝对收敛；

2）当

10p

时，条件收敛。

重要说明：级数







1

1

1

)1(

n

p

n

n

的敛散性大家要熟记，正项级数的判敛法是重要的考

试内容。

五、幂级数（掌握）

1、如果级数

的各项都有是定义在某区间上的函数，则称该级数为函数项级数。

函数项级数的全体收敛点称为它的收敛域。

10

2、形如

称为x的幂级数。

3、幂级数的敛散性

（1）根据等比级数可得幂级数



0n

nx

的收敛域是（-1，1）。

（2）幂级数收敛半径的求法；

设幂级数

如果相邻两项的系数1

,

nn

aa

有

则

1）当

0

时，幂级数在

)

1

,

1

(





内绝对收敛，在端点



1

x

处的敛散性需

另行判定。



1

称为收敛半径，记为R，即



1

R。

2）当

0

时，幂级数在

),(

内收敛。收敛半径R。

3）当



时，幂级数仅在

0x

处收敛。收敛半径

0R

。

4、收敛域为收敛区间（—R，R）加上收敛的区间端点。

5、幂级数的运算

设幂级数

（—R1，R1）

（—R2，R2）

其中

)(),(xgxf

分别是它们的和函数，R1，R2分别是它们的收敛半径。则

在（—R，R）内（R=min（R1，R2）），上述二收敛的幂级数可逐项相加或相减，即

（—R，R）

6、幂级数的分析运算（重点掌握）

设幂级数

11

,2

210

0





n

n

n

n

n

xaxaxaaxa

在（—R，R）

内收敛于s（x）。

（1）幂级数的和函数s（x）在收敛区间（—R，R）内是连续的。

（2）幂级数在其收敛区间内可逐项求导。

逐项求导后所得的幂级数与原级数的收敛半径相同。

（3）幂级数在其收敛区间内可逐项积分。

,

12

)()()(

12

1

0

0

0

0

00



























n

n

n

x

n

n

n

n

n

xx

x

n

a

x

a

xa

dxxadxxadxxf

逐项积分后所

得的幂级数与原级数的收敛半径相同。

例1求下列幂级数的收敛域

（1）







1

)1(2

n

n

nn

x

解：

∴收敛半径为R=1，收敛区间为（—1，1）。

当x=—1时，级数为









1

)1(2

)1(

n

n

nn

，收敛，

当x=1时，级数为







1

)1(2

1

n

nn

，收敛。

∴收敛域为[—1，1]。

重要说明：求收敛半径不用讨论端点的敛散性，求收敛域时要讨论端点的敛散性。

12

（重点例题）例2求幂函数







1

1

n

nnx

的收敛区间及和函数。

解：

∴收敛半径为R=1，收敛区间为（—1，1）。

和函数

（这里利用了级数和



nxxx

x

21

1

1

，这是非常重要的级数和，大

家一定要熟记它）

（重点例题）例3求级数



1n

n

n

x

在（—1，1）内的和函数。

解：设

两边对x求导，

两边积分

即xxxxs

00

|)1ln(|)(

即

)01ln()1ln()0()(xsxs

∴

)1ln()(xxs

。

六、函数展开成幂级数

1、设函数在含有x0的某个区间（a，b）上有直到n+1阶导数，则对于区间（a，

b）内的任一点x，级数

叫做函数f（x）的台劳级数。

级数

叫做函数f（x）的麦克劳林级数。

2、函数展开成幂级数的方法

只要求下述的间接展开法：就是利用几个常用函数的幂级数展开式以及幂级数的四

13

则运算、分析运算，函数的复合，变量代换等，将所给函数展开成幂函数。

几个常用函数的幂级数展开式：

（—1，1）









1

)1(

432

)1ln(

1432

n

xxxx

xx

n

n

（—1，1）

（重要）例1将下列函数展为x的幂级数（麦克劳林级数）

（1）

)(

2

1

xxeeshxy

解：

∴)

)!12(

1

!5!3

(212

53





nxxx

n

xx

xee

∴

（2）

x

xf





2

1

)(

解：

（—2，2）

(3)

)3ln()(xxf

解：

（—3，3）

(∵1

3

1

x∴33x)

重要说明：求展开式一定要写收敛域

例2、将

x

1展开为（x—2）幂级数。

解：

（0，4）

14

（∵

1

2

2

1





x

∴

222x40x

）

七、富里哀级数

1、函数项级数

称为三角级数，其中),2,1(,,

0

nbaa

nn

都是常数，称为三角级数的系数。

2、一个周期为2π的函数f（x），如果能展开成三角函数，即

那么













dxxfa)(

1

0，













nxdxxfa

n

cos)(

1

，













nxdxxfb

n

sin)(

1

，

以上公式称为尤拉—富里哀公式，),2,1(,,

0

nbaa

nn

叫做函数

f（x）的富里哀系数，简称富氏系数。

由富氏系数所确定的三角级数

称火函数的富里哀级数，简称富氏级数。

3、展开条件

狄里赫来定理设f（x）是周期为2π的函数，如果在区间

],[

上满足下列条件：

（1）f（x）在

],[

上连续或只有有限个第一类间断点；

（2）f（x）在

],[

上只有有限个极值点，则函数f（x）的富氏级数收敛，并且它

的和函数

)(xs

：

15

①当x为f（x）的连续点时，

)(xs

=f（x）；

②当x为f（x）的间断点时，

2

)0()0(

)(





xfxf

xs

；

③

x

或

x

时，

例1设函数

不具体将f（x）展为富氏级数，回答下述问题：

（1）f（x）的富氏级数在

],[

中是否收敛；

（2）f（x）的富氏级数在

1,0,1,

处的和分别等于多少？

解：作出函数f（x）在

],[

的图象，如图

y

0

-π0πx

0-π

∵函数满足狄里赫莱条件，

∴f（x）的富氏级数在

],[

中收敛。

又∵x=—1，1是连续点

∴

)1()1(fs

又∵x=0是间断点

∴

22

0

2

)00()00(

)0(













ff

s

八、将函数展为正弦级数和余弦级数（重点）

1、奇函数与偶函数的富氏级数

如果f（x）是周期为2π的奇函数，则

16













0)(

1

0

dxxfa

，













0cos)(

1

nxdxxfa

n，











0

sin)(

2

sin)(

1

nxdxxfnxdxxfb

n。

因此，奇函数f（x）的富氏级数只含正弦函数项，为

称此级数为正弦级数。

如果f（x）是周期为2π的偶函数，则











0

0

)(

2

)(

1

dxxfdxxfa

，











0

cos)(

2

cos)(

1

nxdxxfnxdxxfa

n，













0sin)(

1

nxdxxfb

n。

因此，偶函数f（x）的富氏级数只含余弦函数项，为

称此级数为余弦级数。

2、函数展为正弦级数和余弦级数（重要）

重点参看书的例题；P293-297例5、例6。

例2将)0(1)(xxxf展为余弦级数。

解：∵展为余弦级数

∴0

n

b

∴

三个部分的自学复习资料至此全部结束，祝考试好运！

17

使用指南——本复习参考资料应当与人手一册的《综合练习册》

配套使用并服从于《综合练习册》。另外，请注意如下几点：

①《综合练习册》是我们复习重点中的重点，请对照答案将所

．

有

．

题目

．．

完整地做一遍（使题目与答案相结合而不要相分离，

以便需要时加快查找的速度和准确度）。

②请将上述做好的

．．．

《综合练习册》随身携带，经常复习、记忆，

为应试作好准备；

考试时请注意审题，碰到实在不会做的大题，如果你发现只是《综合练习

册》上的题目改变了数字，那么请将你能够知道的、原来那个题目的解法

步骤完整地写出来，也能获得该题一部分的分数。对于填空、选择这样的

小题，尽你所能去做，不要留下空白！