函数连续的定义

函数连续的定义

-音标单词举例

2023年2月15日发(作者：2021年国家公务员考试职位表)

第八讲函数的连续性

一、函数的连续性

客观世界许多现象都是连续变化的。比如时间的变化是连续的。所谓连续就是

不间断。

1、函数连续的定义

（1）引例：观察函数图像y=x2,y=1

x

,y=

2x,x≤0

x+1,x>0

,y=

1,x≠0

0,x=0

(2)定义：设函数yf(x)在点x

0

的某一个邻域内有定义

若)()(lim

0

0

xfxf

xx







则称函数yf(x)在点x

0

处连续否则称函数f(x)在点x

0

不连续，点x

0

为函数f(x)的不

连续点或间断点

注①

0lim

0





y

x

)()(lim

0

0

xfxf

xx







②函数在点x

0

连续的几何意义：函数的图形在x

0

不断开；连续的实质是当自变量变

化不大时，函数值变化也不大。

2、左右连续性

如果

)()(lim

0

0

xfxf

xx





则称yf(x)在点

0

x处左连续

如果

)()(lim

0

0

xfxf

xx





则称yf(x)在点

0

x处右连续

左右连续与连续的关系

函数yf(x)在点x

0

处连续函数yf(x)在点x

0

处左连续且右连续

3、函数在区间上的连续性

在区间上每一点都连续的函数叫做在该区间上的连续函数如果区间包括端点那么

函数在右端点连续是指左连续在左端点连续是指右连续

连续函数举例

1如果f(x)是多项式函数则函数f(x)在区间()内是连续的

2函数ysinx在区间()内是连续的

二、函数的间断点的分类

通常把间断点分成两类如果x

0

是函数f(x)的间断点

左极限f(x

0

0)及右极限f(x

0

0)都存在那么x

0

称为函数f(x)的第一类间断点

其中左、右极限相等者称为可去间断点不相等者称为跳跃间断点

不是第一类间断点的任何间断点称为第二类间断点

例1正切函数ytanx在

2



x

处没有定义点

2



x

是函数tanx的无穷间断点

例2函数

x

y

1

sin

在点x0没有定义所以点x0是函数

x

1

sin

的振荡间断点

例3函数

1

12







x

x

y在x1没有定义点x1是函数的可去间断点

例4设函数



















01

00

01

)(

xx

x

xx

xf

函数f(x)的图形在x0处产生跳跃现象我们称x0为函数f(x)的跳跃间断点

三、初等函数的连续性

定理1设函数f(x)和g(x)在点x

0

连续则函数f(x)g(x)f(x)g(x)

)(

)(

xg

xf

(当0)(

0

xg

时)在点x

0

也连续

例1sinx和cosx都在区间()内连续故tanx和cotx在它们的定义域内是连

续的

定理2设函数yf[g(x)]由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成若函数ug(x)在点x

0

连续函数yf(u)在点u

0

g(x

0

)连续则复合函数yf[(x)]在点x

0

也连续

例4讨论函数

x

y

1

sin的连续性

解函数

x

y

1

sin

是由ysinu及

x

u

1



复合而成的sinu当

x

1当



x

1

sin

在无限区间(0)和(0)内是连续的

结论基本初等函数在它们的定义域内都是连续的

结论一切初等函数在其定义区间内都是连续的

如果f(x)是初等函数且x

0

是f(x)的定义区间内的点

则

0

lim

xx

f(x)f(x

0

)

例5求2

0

1limx

x







例6求x

x

sinlnlim

2







四、闭区间上连续函数的性质

定理1（最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的

最大值和最小值

注意如果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点那么函数在该区间上

就不一定有最大值或最小值

定理2（有界性定理）在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界

零点如果x

0

使f(x

0

)0则x

0

称为函数f(x)的零点

定理3（零点定理）设函数f(x)在闭区间[ab]上连续且f(a)与f(b)异号那么在开

区间(ab)内至少有一点使f()0

例1证明方程x34x210在区间（01）内至少有一个根

定理4（介值定理）设函数f(x)在闭区间[ab]上连续且f(a)f(b)那么对于f(a)

与f(b)之间的任意一个数C在开区间(ab)内至少有一点使得

f()C

推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值