排列组合排列公式 C上2下5怎么算
电脑操作员-模仿法
2023年3月4日发(作者：荷叶罗裙一色裁)排列组合公式/排列组合计算公式
排列P——和顺序有关组合C——不牵涉
到顺序的问题
排列分顺序，组合不分
例如把5本不同的书分给3个人，有几种
分法.\"排列\"
把5本书分给3个人，有几种分法
\"组合\"
1.排列及计算公式
从n个不同元素中，任取m(nm：n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中
取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(msn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元
素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m)表示.
p(n,m)=n(n-1)(n-2)..........(n-m+1)=n!/(n-m)!(规定0!=1).
2.组合及计算公式
从n个不同元素中，任取m(msn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从
n个不同元素中取出m(n^n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元
素中取出m个元素的组合数.用符号
c(n,m)表示.
c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m);
3.其他排列与组合公式
从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.
n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为
n!/(n1!*n2!*...*nk!).
k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为c（m+k-1,m）.
排列（Pnm（n为下标，m为上标））
Pnm=rK（n-1）....（n-m+1）;Pnm=n!/（n-m）!（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个n分别为上
标和下标）=n!;0!=1;Pn1（n为下标1为上标）=n
组合（Cnm（n为下标，m为上标））
Cnm=Pnm/Pmm;Cnm=n!/m!（n-m）!;Cnn（两个n分别为上标和下标）=1;
Cn1（n为下标1为上标）=n;Cnm=Cnn-m
2008-07-0813:30
I）..佃・顼）二\'
公式P是指排歹U,从N个元素取R个进行排歹U。
公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。
N■元素的总个数
R参与选择的元素个数
!-阶乘，如9!=9*8*7*6*5*4*3*2*1
从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1）*（n-2）..（n-r+1）;
因为从n到（n-r+1）个数为n-（n-r+1）=
举例：
Q1:有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？
A1:123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既届
丁“排列P\'计算范畴。
上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类
的组合，我们可以这么看，白位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数
则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。计算公式=P（3,9）=9*8*7,
（从9倒数3个的乘积）
Q2:有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联
盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？
A2:213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一
起即可。即不要求顺序的，届于“组合C计算范畴。
上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉届于重复的个数
即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1
排列、组合的概念和公式典型例题分析
例1设有3名学生和4个课外小组.(1)每名学生都只参加一个课外小组；(2)每
名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加.各有多少种不同方法？
解(1)由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小
组的人数，因此共有种不同方法.
(2)由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有
种不同方法.
点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算.
例2排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？
解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不
同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：
符合题意的不同排法共有9种.
点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理.为把握不同排法的规律，“树图”
是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型.
例3判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果.
(1)高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握
了多少次手？
(2)高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②
从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？
(3)有2,3,5,乙11,13,17,19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②
从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？
(4)有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放
在教室有多少种不同的选法？
分析(1)①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；
②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题.其他类似
分析.
(次
(2)
①是排列问题,
共有
(种)不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法.
(3)
①是排列问题,
共有
种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积.
(4)
①是排列问题,
共有
种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法.
证明左式
点评
变形过程得以简化.
解法原式
解法二原式
(1)①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手
右式.
这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质
例5化简.
点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；解法二选用了组合数
的两个性质，都使变形过程得以简化.
例6解方程：(1);(2).
解(1)原方程
解得.
(2)原方程可变为
••-原方程可化为.
即，解得
第六章排列组合、二项式定理
、考纲要求
1.掌握
加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.
2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能
用它们解决一些简单的问题.
3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题
二、知识结构
三、知识点、能力点提示
（一）加法原理乘法原理
说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排
列、组合中有关问题提供了理论根据.
例15位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的
报名方法共有多少种？
解：5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都
有3种不同的报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有
3X3X3X3X3=35（种）
（二）排列、排列数公式
说明排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研究的对象
以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历
届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查.
例2由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共
有（）
A.60个B.48个C.36
个D.24个
解因为要求是偶数，个位数只能是2或4的排法有P12；小于50000的五位数，万
位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有P13；在首末两位数排定
一3_1_3_1cc.
后，中间3个位数的排法有P3,得P3P3P2=36（个）
由此可知此题应选C.
例3将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字，
则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种？
解：将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的
填法有3种，即2143,3142,4123;同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填法；
将数字1填入第4方格，也对应3种填法，因此共有填法为
3P13=9（种）.
例四例五可能有问题，等思考
三）组合、组合数公式、组合数的两个性质
说明历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排列组合的应用题，且基本
上都是由选择题或填空题考查.
例4从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各
1台，则不同的取法共有（）
A.140种B.84种C.70种D.35种
解：抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C14-C25种；甲型2台乙型1
台的取法有C24-C15种
根据加法原理可得总的取法有
C14•C25+C24-C‘5=40+30=70（#）
可知此题应选C.
例5甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包
1项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式？
解：甲公司从8项工程中选出3项工程的方式C38种；
乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有C15种；
丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有C24种；
丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程的方式有C22种.
根据乘法原理可得承包方式的种数有C38XC15XC24XC22=X1=1680(种).
(四)二项式定理、二项展开式的性质
说明二项式定理揭示了二项式的正整数次籍的展开法则，在数学中它是常用
的基础知识，从1985年至1998年历届高考均有这方面的题目出现，主要考查二项
展开式中通项公式等，题型主要为选择题或填空题.
例6在(x-)10的展开式中,x6的系数是()
A.-27C610B.27C410C.-9C%
D.9C410
解设(X-)10的展开式中第
T
+1项含X6,
因「+1=c10X10-\'(-)10-Y=6,Y=4
丁是展开式中第5项含x6,第5项系数是C410(-)4=9C410
故此题应选D.
例7(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)+(x-1)的展开式中的x，的系数等
丁_________________________________
解：此题可视为首项为x-1,公比为-(x-1)的等比数列的前5项的和，则其和为
在(x-1)6中含x3的项是C36x3(-1)3=-20x3,因此展开式中x2的系数是-20.
(五)综合例题赏析
例8若(2x+)4=&+a1x+a2x2+a3x3+ax4,则(a°+&+a4)2-(a1+a3)2的值为()
A.1B.-1
C.0D.2
解：A.
例92名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生
和2名护士，不同的分配方法共有()
A.6种B.12种C.18
种D.24种
解分医生的方法有P22=2种，分护士方法有C24=6种，所以共有6X2=12
种不同的分配方法。
应选B.
例10从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电
视机各1台，则不同取法共有（）.
A.140种B.84种C.70
种D.35种
解：取出的3台电视机中，甲型电视机分为恰有一台和恰有二台两种情形.
C24-+C25-C14=5X6+10X4=70.
应选C.
例11某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1
名女生当选的不同选法有（）
A.27种B.48种C.21种D.24种
解：分恰有1名女生和恰有2名女生代表两类：
.C13-C17+C23=3^X7+3=24,
应选D.
例12由数学0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数
字的共有（）.
A.210个B.300个
C.464个D.600个
解：先考虑可组成无限制条件的六位数有多少个？应有P15-P55=600个.
由对称性，个位数小于十位数的六位数和个位数大于十位数的六位数各占一半
.••有X600=300个符合题设的六位数.
应选B.
例13以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有（）.
A.70个B.64个
C.58个D.52个
解：如图，正方体有8个顶点，任取4个的组合数为C48=70个.
其中共面四点分3类：构成侧面的有6组；构成垂直底面的对角面的有2组；形如
（ADBC）的有4组.
能形成四面体的有70-6-2-4=58（组）
应选C.
例14如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直
线中，异面直线共有（）.
A.12对B.24对
C.36对D.48对
解：设正六棱锥为『ABCDEF.
任取一侧棱OA（C6）则OMBGCDDEEF均形成异面直线对.
共有C6X4=24对异面直线.
应选B.
例15正六边形的中心和顶点共7个点，以其中三个点为顶点的三角形
共个（以数字作答）.
3
解：7点中任取3个则有C7=35组.
其中三点共线的有3组（正六边形有3条直径）.
三角形个数为35-3=32个.
例16设含有10个元素的集合的全部子集数为S,其中由3个元素组成的子集数为T,
则的值为o
解10个元素的集合的全部子集数有：
0_12—34—5-—79—1S=C10+C10+C10+C10+C10+CI0+CI0+CI0+CI0+CI0+COI0=210=1024
其中，含3个元素的子集数有T=C310=120
故=
例17
丙各需1人承担，从10
）.
A.C3C197种D.C5
200-C13C4197
例17在50件产品n中有4件是次品，从中任意抽了5件，
至少有3件是次品的抽法共
_______________________种（用数字作答）.
解：“至少3件次品”即“有3件次品”或“有4件次品”.
C34-C246+C44-C146=4186（种）
例18有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、
人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有（
A.1260种B.2025种
C.2520种D.5040种
解：先从10人中选2个承担任务甲（C210）
1
再从剩余8人中选1人承担任务乙（C8）
1
乂从剩余7人中选1人承担任务乙（C7）
.••有C210・C18C17=2520（种）.
应选C.
例19集合｛1,2,3｝子集总共有（）.
A.7个B.8个C.6个D.5个
解：三个元素的集合的子集中，不含任何元素的子集有一个，由一个元素组成的子集
数C13,由二个元素组成的子集数C23,由3个元素组成的子集数C33。由加法原理可
得集合子集的总个数是C1
3+C2
3+C33+1=3+3+1+1=8。故此题应选B.
例20假设在200件产品中有3件是次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有两件
次品的抽法有（）.
B.C2
3C3197
+C33C2
197
C.C5
200-C5
197
解：5件中恰有二件为次品的抽法为02303197,
5件中恰三件为次品的抽法为C33C2197,
至少有两件次品的抽法为C3CI97+C3C197.
应选B.
例21两排座位，第一排有3个座位，第二排有5个座位，若8名学生入座（每
人一个座位），则不同座法的总数是（）.
A
C58C38BP12^8^8CP58P38
.8^^8.28^^8.8・8