线面平行

线面平行

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2023年3月20日发(作者：森马品牌介绍)

线面平行的判定定理和性质定理

教学目的：

1.掌握空间直线和平面的位置关系；

2.直线和平面平行的判定定理和性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定

掌握理实现“线线”“线面”平行的转化

教学重点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用

教学难点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

本节有两个知识点，直线与平面和平面与平面平行，直线与平面、平面与平面

平行特征性质这也可看作平行公理和平行线传递性质的推广直线与平面、平面与平

面平行判定的依据是线、线平行这些平行关系有着本质上的联系

通过教学要求学生掌握线、面和面、面平行的判定与性质这两个平行关系是下

一大节学习共面向量的基础

前面3节主要讨论空间的平行关系，其中平行线的传递性和平行平面的性质是

这三小节的重点

教学过程：

一、复习引入：

1空间两直线的位置关系

（1）相交；（2）平行；（3）异面

2.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行

推理模式：//,////abbcac．

3.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这

两个角相等

4.等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线

所成的锐角(或直角)相等.

5.空间两条异面直线的画法

b

a

a

b

a

bD

1

C

1

B

1A

1

D

C

B

A

6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面

内不经过此点的直线是异面直线

推理模式：,,,ABlBlAB与l是异面直线

7．异面直线所成的角：已知两条异面直线,ab，经过空间任一点O

作直线//,//aabb



，,ab



所成的角的大小与点O的选择无关，把

,ab



所成的锐角（或直角）叫异面直线,ab所成的角（或夹角）．为

了简便，点O通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围：]

2

,0(



8．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两

条异面直线,ab垂直，记作ab．

9．求异面直线所成的角的方法：

（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；

（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角

即为所求

10．两条异面直线的公垂线、距离

和两条异面直线都垂直相交

．．．．

的直线，我们称之为异面直线

的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，

叫做两条异面直线间的距离．

两条异面直线的公垂线有且只有一条

二、讲解新课：

1．直线和平面的位置关系

（1）直线在平面内（无数个公共点）；

（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；

（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类．

它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为

a

，aA，//a．

a



a

A



a



2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，

那么这条直线和这个平面平行．

推理模式：,,////lmlml．

证明：假设直线l不平行与平面



，

∵l，∴lP，

若Pm，则和//lm矛盾，

若Pm，则l和

m

成异面直线，也和//lm矛盾，

b′

Ob

a

A

1

B

1

C

1

D

1

D

C

B

A

∴//l．

3.线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个

平面相交，那么这条直线和交线平行．

推理模式：//,,//llmlm．

证明：∵//l，∴l和没有公共点，

又∵

m

，∴l和

m

没有公共点；

l和

m

都在内，且没有公共点，∴//lm．

三、讲解范例：

例1已知：空间四边形ABCD中，,EF分别是,ABAD的

中点，求证：//EFBCD平面．

证明：连结BD，在ABD中，

∵,EF分别是,ABAD的中点，

∴//EFBD，EFBCD



平面，BDBCD平面，

∴//EFBCD平面．

例2求证：如果过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线，那么这条直

线在此平面内．

已知：//,,,//lPPmml，求证：

m

．

证明：设l与P确定平面为，且m

，

∵//l，∴//lm



；

又∵//lm，,mm



都经过点P，

∴,mm



重合，∴

m

．

例3已知直线a∥直线b，直线a∥平面α,bα，

求证：b∥平面α

证明：过a作平面β交平面α于直线c

∵a∥α∴a∥c又∵a∥b∴b∥c，∴b∥c

∵bα,c



α，∴b∥α.

例4．已知直线

a

∥平面



，直线

a

∥平面，平面



平面=b，求证//ab．

分析：利用公理4，寻求一条直线分别与a，b均平行，从而达到a∥b的目的．可

借用已知条件中的a∥α及a∥β来实现．

F

E

D

C

B

A





P

m

m



a

α

c

β

b





m

l

证明：经过

a

作两个平面和，与平面



和分别相交于直线

c

和d，

∵

a

∥平面



，

a

∥平面，

∴

a

∥

c

，

a

∥d，∴

c

∥d，

又∵d平面，

c平面，

∴

c

∥平面，

又

c平面



，平面



∩平面=b，

∴

c

∥b，又∵

a

∥

c

，

所以，

a

∥b．

四、课堂练习：

1．选择题

（1）以下命题（其中a，b表示直线，表示平面）

①若a∥b，b，则a∥②若a∥，b∥，则a∥b

③若a∥b，b∥，则a∥④若a∥，b，则a∥b

其中正确命题的个数是（）

（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个

（2）已知a∥，b∥，则直线a，b的位置关系

①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交.

其中可能成立的有（）

（A）2个（B）3个（C）4个（D）5个

（3）如果平面外有两点A、B，它们到平面的距离都是a，则直线AB和平面

的位置关系一定是（）

（A）平行（B）相交（C）平行或相交（D）AB

（4）已知m，n为异面直线，m∥平面，n∥平面，∩=l，则l（）

（A）与m，n都相交（B）与m，n中至少一条相交

（C）与m，n都不相交（D）与m，n中一条相交

答案：(1)A(2)D(3)C(4)C

2．判断下列命题的真假

（1）过直线外一点只能引一条直线与这条直线平行.（）

（2）过平面外一点只能引一条直线与这个平面平行.（）

（3）若两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行.（）

（4）若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行.（）

答案：(1)真(2)假(3)假(4)真

3．选择题

（1）直线与平面平行的充要条件是（）

dc

b

a









（A）直线与平面内的一条直线平行

（B）直线与平面内的两条直线平行

（C）直线与平面内的任意一条直线平行

（D）直线与平面内的无数条直线平行

（2）直线a∥平面，点A∈，则过点A且平行于直线a的直线（）

（A）只有一条，但不一定在平面内

（B）只有一条，且在平面内

（C）有无数条，但都不在平面内

（D）有无数条，且都在平面内

（3）若a，b，a∥，条件甲是“a∥b”，条件乙是“b∥”，则条件甲是条

件乙的（）

（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件

（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件

（4）A、B是直线l外的两点，过A、B且和l平行的平面的个数是（）

（A）0个（B）1个（C）无数个（D）以上都有可能

答案：（1）D（2）B（3）A（4）D

4．平面与⊿ABC的两边AB、AC分别交于D、E，且AD∶DB=AE∶EC，

求证：BC∥平面

略证：AD∶DB=AE∶EC





//

//

BC

DE

BC

DEBC



















5．空间四边形ABCD，E、F分别是AB、BC的中点，

求证：EF∥平面ACD.

略证：E、F分别是AB、BC的中点

//

//

EF

ABCAC

ACDEF

ACEF



















6．经过正方体ABCD-A

1

B

1

C

1

D

1

的棱BB

1

作一平面交平面

AA

1

D

1

D于E

1

E，求证：E

1

E∥B

1

B

略证：

111

111

111

11

//

//

BBEEAA

BBEEBB

BBEEAA

BBAA

















E

D

C

B

A



F

E

A

B

C

D

D

1C

1

B

1

A

B

C

D

A

1

E

1

E

11

11111

111

111

//

//

EEAA

EEBBEEAADD

AADDAA

BBEEAA



















11

11

11//

//

//

EEBB

EEAA

BBAA









7．选择题

（1）直线a，b是异面直线，直线a和平面平行，则直线b和平面的位置关系

是（）

（A）b（B）b∥（C）b与相交（D）以上都有可能

（2）如果点M是两条异面直线外的一点，则过点M且与a，b都平行的平面

（A）只有一个（B）恰有两个

（C）或没有，或只有一个（D）有无数个

答案：（1）D(2)A

8．判断下列命题的真假.

（1）若直线l，则l不可能与平面内无数条直线都相交.（）

（2）若直线l与平面不平行，则l与内任何一条直线都不平行（）

答案：（1）假(2)假

9．如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC

的中点

（1）求证：//MN平面PAD；

（2）若4MNBC，

43PA

，

求异面直线PA与MN所成的角的大小

略证（1）取PD的中点H，连接AH，

DCNHDCNH

2

1

,//

AMNHAMNHAMNH,//为平行四边形

PADAHPADMNAHMN,,//PADMN//

解(2):连接AC并取其中点为O，连接OM、ON，则OM平行且等于BC的一半，

ON平行且等于PA的一半，所以ONM就是异面直线PA与MN所成的角，由

4MNBC，

43PA

得，OM=2，ON=

32

所以030ONM，即异面直线PA与MN成030的角

10．如图,正方形ABCD与ABEF不在同一平面内,M、N

分别在AC、BF上，且AMFN求证：//MN平面CBE

H

T

A

B

C

D

F

E

M

N

M

N

H

A

B

C

D

P

略证：作ABNHABMT//,//分别交BC、BE于T、H点

AMFNNHMTBNHCMT≌

从而有MNHT为平行四边形CBEMNTHMN////

五、小结：“线线”与“线面”平行关系：一条直线和已知平面平行，当且仅当这

条直线平行于经过这条直线的平面和已知平面的交线．

六、课后作业：

七、板书设计（略）

八、课后记：