2024年1月9日发(作者：)
题目 高中数学复习专题讲座关于垂直与平行的问题
高考要求
垂直与平行是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样 本节主要帮助考生深刻理解线面平行与垂直、面面平行与垂直的判定与性质，并能利用它们解决一些问题
重难点归纳
垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系
1 平行转化 线线平行2 垂直转化 线线垂直线面平行线面垂直面面平行
面面垂直
每一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开始转向另一垂直或平行最终达到目的
例如 有两个平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直
典型题例示范讲解
例1两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求证 MN∥平面BCE
命题意图 本题主要考查线面平行的判定，面面平行的判定与性质，以及一些平面几何的知识
知识依托 解决本题的关键在于找出面内的一条直线和该平面外的一条直线平行，即线(内)∥线(外)线(外)∥面 或转化为证两个平面平行
错解分析 证法二中要证线面平行，通过转化证两个平面平行，正确的找出MN所在平面是一个关键
技巧与方法 证法一利用线面平行的判定来证明 证法二采用转化思想，通过证面面平行来证线面平行
证法一 作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，则MP∥AB，NQ∥AB
∴MP∥NQ，又AM=NF，AC=BF，
∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45°
∴Rt△MCP≌Rt△NBQ
∴MP=NQ,故四边形MPQN为平行四边形
∴MN∥PQ
∵PQ平面BCE，MN在平面BCE外，
∴MN∥平面BCE
证法二 如图过M作MH⊥AB于H，则MH∥BC，
∴
连结NH，由BF=AC，FN=AM，得∴
NH1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1A1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1C1CC1C1C1C1C1C1C1C1C11C1C1C1C1C1A21A43同理EF∥FG，∴EFGH是平行四边形
∵A—BCD是正三棱锥，∴A在底面上的射影O是△BCD的中心，
∴DO⊥BC，∴AD⊥BC，
∴HG⊥EH，四边形EFGH是矩形
(2)作CP⊥AD于P点，连结BP，∵AD⊥BC，∴AD⊥面BCP
∵HG∥AD，∴HG⊥面BCP，HG面EFGH 面BCP⊥面EFGH，
在Rt△APC中，∠CAP=30°，AC=a,∴AP=a
7 (1)证明 连结EM、MF，∵M、E分别是正三棱柱的棱AB和AB1的中点，
∴BB1∥ME，又BB1平面EFM，∴BB1∥平面EFM
(2)证明 取BC的中点N，连结AN由正三棱柱得 AN⊥BC，
又BF∶FC=1∶3，∴F是BN的中点，故MF∥AN，
∴MF⊥BC，而BC⊥BB1，BB1∥ME
∴ME⊥BC，由于MF∩ME=M，∴BC⊥平面EFM，
又EF平面EFM，∴BC⊥EF
(3)解 取B1C1的中点O，连结A1O知，A1O⊥面BCC1B1，由点O作B1D的垂线OQ，垂足为Q，连结A1Q，由三垂线定理，A1Q⊥B1D，故∠A1QD为二面角A1—B1D—C的平面角，易得∠A1QO=arctan
8 (1)证明 连结A1C1、AC，AC和BD交于点O，连结C1O，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC=CD
又∵∠BCC1=∠DCC1，C1C是公共边，∴△C1BC≌△C1DC，∴
C1B=C1D
∵DO=OB，∴C1O⊥BD，但AC⊥BD，AC∩C1O=O
∴BD⊥平面AC1，又C1C平面AC1，∴C1C⊥BD
(2)解 由(1)知AC⊥BD，C1O⊥BD，
∴∠C1OC是二面角α—BD—β的平面角
在△C1BC中，BC=2，C1C=∴C1B2=22+(3，∠BCC1=60°，
2323)－2×2××cos60°=
223∵∠OCB=30°,∴OB=,BC=1,C1O=,即C1O=C1C
2作C1H⊥OC，垂足为H，则H是OC中点且OH=cosC1OC=
3，∴2(3)解 由(1)知BD⊥平面AC1，∵A1O平面AC1，∴BD⊥A1C，当CD=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同理可证BC1⊥A1C，CC1又∵BD∩BC1=B，∴A1C⊥平面C1BD
课前后备注
内容总结
