高数函数的定义什么意思 大学高等数学函数

高数函数的定义什么意思 大学高等数学函数

贺卡的英文-六一活动方案

1

函数

数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。

微积分以极限为基本工具，研究变量与变量之间的依赖关系——函数关系，并研究表示

这些关系的函数的重要性质。即微积分的研究对象是函数，极限是研究函数的一种工具。

初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学研究的是变化的量，它对实际中的

变量进行分析研究，从而抽象出了函数的概念。简言之，函数就是一种反映变量与变量之间

函数关系的数学模型。

§1函数的概念及其性质

一、函数的定义

设yx,是两个变量，D是给定的一个数集，若对于D中的每一个值，根据某一对应法

则f，变量y都有唯一确定的值与之对应，那么，我们就说变量y是变量

x

的函数，记作：

xfy，

式中

x

称为自变量，y称为因变量，自变量

x

的变化范围D称为函数xfy的定义

域，因变量y的变化范围W称为函数xfy的值域。记作：

DxxfyyW,

函数的定义域和对应关系称为函数的两个要素。（这是判断两个函数相等的依据）

函数的定义域：在实际问题中根据实际意义具体确定．如果讨论的是纯数学问题，则往

往取使函数表达式有意义的一切实数所组成的集合作为该函数的定义域。

二、函数的表示法

1．表格法：

将自变量的值与对应的函数值列成表的方法，称为表格法。如：平方表，

三角函数表等都是用表格法表示的函数关系。

2．图像法：

在坐标系中用图像来表示函数关系的方法，称为图像法。

3．公式法：

将自变量和因变量之间的关系用数学式子来表示的方法，称为公式法。这

些数学式子也叫函数的解析表达式．

函数的解析表达式分成三种：显函数、隐函数、分段函数。

（1）显函数：

函数

y

由自变量

x

的解析式直接表示出来的函数。如：

xy1

2

（2）隐函数：

函数的自变量x

和因变量

y

的对应关系是由方程

(,)0Fxy

来确定的，

即

y

与

x

的关系由方程显现出来的函数。如：1,sin,yxexyxy.

将一个隐函数变成显函数的过程叫做显化.有些隐函数是不能显化的。

（3）分段函数：

函数在其定义域的不同范围内，具有不同的解析表达式的函数。

分段函数是定义域上的一个函数，不要理解为多个函数，它的定义域是各部分的自变量

取值集合的并集。

需要掌握的知识：①会求函数值；②会求分段函数的定义域；③会做分段函数的图像.

例设函数



















30,1

0,2

02,

)(

2

xx

x

xx

xf，（1）求函数的定义域；（2）求)1(),0(),1(fff。

解函数的定义域是[-2,3]，其它略.

三、函数的几种特性

1.函数的奇偶性

判断奇偶性的前提条件：

定义域关于原点对称。

















，奇函数

偶函数

xf

xf

xf

,

.

0y

既是奇函数又是偶函数，这是唯一的。

2.函数的单调性

注：确定函数的单调性必须先指明区间。

3.函数的有界性

设函数

()yfx

在区间I上有定义，若存在一个正数M，使得对于一切Ix，都有

Mxf

，则称函数

)(xf

是区间I上的有界函数，否则称函数

()fx

为无界函数。

例函数

xxfsin

在

,

内有界。因为对任意的

,x

，有

1sinx

(

或

2sinx)

，因此xxfsin

在,

内有界。只强调M是我存在性

例证明函数

x

y

1



在











1,

2

1

上有界。

3

证明取2M，则对任意的











1,

2

1

x

，有

2

1



x

，因此函数

x

y

1

在











1,

2

1

上有界。

无界的定义：

设函数xfy

在区间I上有定义，若对任意的正数M（不论多大），

至少存在着一个Ix，使

Mxf

，那么函数

()yfx

在区间I上无界。如函数

2xy

在,

内是无界的。

例证明函数证明函数

x

y

1

在1,0

上无界。

证明对任意一个整数1MM

，由于1,0

2

1



M

，而当

M

x

2

1

时，

MM

MM

f













2

2

1

1

2

1

，因此函数

x

y

1

在在1,0

上无界。

4.函数的周期性

通常所说的周期指的是最小正周期。

§2初等函数

一、基本初等函数

基本初等函数通常指以下六类函数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函

数和反三角函数。

1.常数函数

yC

(C是任意实数)

常数函数的定义域

)(，D

，其值域为单元素集合CW.

2.幂函数(yx是任意实数）

按的不同取值范围，归纳幂函数在第一象限内的图像，其它象限的图像根据奇偶性

确定。

1100

练习：试做出

2

3

xy

，3

2

xy

，3

2

xy

的图像。

4

3.指数函数xya（0,1,aaa为常数）

指数函数的定义域),(D，其值域),0(W，图像一定过点)1,0(，当10a

时，函数xay单调减少；当当1a时，函数xay单调增加；

以常数718.2e为底的指数函数xey是工程上常用的指数

函数。

10a1a

4.对数函数aayx

a

,0(log为常数）

对数函数的定义域),0(D，值域),(W。对数函数的图像与指数函数

xay

关于直线xy对称，图像一定过点)0,1(。当10a时，函数x

a

ylog单调减少；

当1a时，函数x

a

ylog单调增加；

以常数e为底的对数函数xyln，称为自然对数函数，它也是工程上常用的对数数函

数。xy

10

log称为常用对数函数。

1a10a

5.三角函数

三角函数有如下六种：,cot,tan,cos,sinxyxyxyxy

x

xy

x

xy

sin

1

csc,

cos

1

sec.

5

其中xyxyxyxycot,tan,cos,sin的性质如表：

函数

xysin

xycos

xytanxycot

定义域),(),(

),

2

,

2

(







kk

Zk

),(kk

Zk

值域

]1,1[]1,1[),(),(

奇偶性奇函数偶函数奇函数偶函数

周期22



三角函数xyxyxyxycot,tan,cos,sin的图像如图：



2

2



xysinxycos

2





2





2

3





xytanxycot

6.反三角函数

常见的反三角函数有如下四种：

xyarcsin，xyarccos，xyarctan，xarcycot：

（1）xyarcsin为xysin在]

2

,

2

[



上的反函数，其定义域为]1,1[，值域为

]

2

,

2

[



，它在]1,1[上单调增加且有界；

（2）xyarccos为xycos在],0[上的反函数，其定义域为]1,1[，值域为],0[，

它在]1,1[上单调减少且有界；

（3）xyarctan为xytan在)

2

,

2

(



内的反函数，其定义域为),(，值域

6

为)

2

,

2

(



，它在),(上单调增加且有界；

（4）xarcycot为xycot在),0(内的反函数，其定义域为),(，值域为

),0(，它在),(上单调减少且有界；

2



2







xyarcsinxyarccos

2



2







2



xyarctanxarcycot

二、反函数

给定函数

()yfx

，xD(定义域),xW（值域）。如果把

y

作为自变量，

x

作

为函数，对于任一数值xW,D上确定一个数值

x

与

y

对应，则由

x

适合的关系式

()fxy

所确定的函数

()xy

称为函数

()yfx

的反函数，而称

()yfx

为直接函数。

习惯上总用

x

表示自变量，

y

表示函数，因此

()yfx

的反函数

()xy

通常也写成

()yx

.如：

12xy

的反函数为

2

1



y

x

或者

2

1



x

y

。

注：直接函数与反函数的图像关于直线

xy

对称，并且它们具有相同的单调性。

三、复合函数

ufy的定义域为

f

D

，xu的值域为



M

，当









MD

f

时，可构成符合

函数xfy，

u

为中间变量。

需要掌握的知识：①会将两个以及两个以上的函数进行复合；②会分析复合函数的复合

过程.

例设1)(,sin)(2xxuuufy，求.

7

例分析下列函数的复合过程.

（1）2lnxy；（2）32xy；（3）2sinxy；（4）xy2sin；

（5）3xey；（6）xylnln；（7）xy2sinln；（8）

2

tan2

x

y；

（9）

211ln

1

x

y



；（10）21lnarctanxy.

四、初等函数

由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合步骤所构成，并可以用一个式子表示

的函数称为初等函数。

因此通常所见到的函数都是初等函数。

不是级数的情况：nxxxxy321；

分段函数不是初等函数，但是绝对值函数除外。因为

2

0,

0,

xx

xx

xx

y











，由2,xuuy复合而成。