双钩函数
橱窗陈列-等高线图
2023年3月19日发(作者：开原高中)中考函数综合测试卷（一）
一．选择题（共8小题）
1．（2011•广安）若二次函数y=（x﹣m）
2
﹣1，当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）
A
．
m=1B
．
m＞1
C
．
m≥1
D
．
m≤1
2．（2006•攀枝花）反比例函数y=与正比例函数y=2kx在同一坐标系中的图象不可能是（）
A．B．C．D．
3．（2008•乐山）函数的自变量x的取值范围为（）
A
．
x≥﹣2
B
．
x＞﹣2且x≠2
C
．
x≥0且≠2
D
．
x≥﹣2且x≠2
4．（2009•安徽）已知函数y=kx+b的图象如图，则y=2kx+b的图象可能是（）
5．（2010•深圳）如图所示，点P（3a，a）是反比例函数y=（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为
10π，则反比例函数的解析式为（）
6．（2008•茂名）已知反比例函数y=（a≠0）的图象，在每一象限内，y的值随x值的增大而减少，则一次函数
y=﹣ax+a的图象不经过（）
A
．
第一象限
B
．
第二象限
C
．
第三象限
D
．
第四象限
7．（2013•呼和浩特）在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx
2
+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（）
A
．
B
．
C
．
D
．
8．（2014•汕头）二次函数y=ax
2
+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）
A
．
B
．
C
．
D
．
A
．
y=
B
．
y=
C
．
y=
D
．
y=
A．函数有最小值B．
对称轴是直线x=
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二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
9．（3分）（1999•武汉）函数y=2x+3是一次函数，说法是：_________的．
10．（3分）（2003•黄石）反比例函数的表达式为y=（m﹣1），则m=_________．
11．（3分）（2007•西藏）一个蓄水池储水100m
3
，用每分钟抽水0.5m
3
的水泵抽水，则蓄水池的余水量y（m
3
）与
抽水时间t（分）之间的函数关系式是_________．
12．（3分）（2009•乐山）已知正比例函数y
1
=x，反比例函数，由y
1
，y
2
构造一个新函数y=x+其图象如图
所示．（因其图象似双钩，我们称之为“双钩函数”）．给出下列几个命题：
①该函数的图象是中心对称图形；②当x＜0时，该函数在x=﹣1时取得最大值﹣2；③y的值不可能为1；
④在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大．其中正确的命题是_________．（请写出所有正确的命题
的序号）
13．（3分）（2010•龙岩）已知一次函数y=kx+b的图象如图，当x＜0时，y的取值范围是_________．
14．（3分）（2014•珠海）如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，則它的对称轴为
_________．
三．解答题（共7小题，满分56分，每小题8分）
15．（8分）（2011•福州）如图，在平面直角坐标系中，A、B均在边长为1的正方形网格格点上．
（1）求线段AB所在直线的函数解析式，并写出当0≤y≤2时，自变量x的取值范围；
（2）将线段AB绕点B逆时针旋转90°，得到线段BC，请在答题卡指定位置画出线段BC．若直线BC的函数解析
式为y=kx+b，则y随x的增大而_________（填“增大”或“减小”）．
C．
当x＜，y随x的增大而减小
D．当﹣1＜x＜2时，y＞0
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16．（8分）（2011•巴中）如图所示，若一次函数y=2x﹣1和反比例函数的图象都经过点A（1，1），且直线
y=2x﹣1与y轴交于点D，与反比例函数的另一个交点为B．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在y轴正半轴上存在一点C．使得S
△ABC
=6，求点C的坐标．
17．（8分）（2012•云南）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，一次函数与反比例函数的图象相交于A（2，1）、
B（﹣1，﹣2）两点，与x轴交于点C．
（1）分别求反比例函数和一次函数的解析式（关系式）；
（2）连接OA，求△AOC的面积．
18．（12分）（2014•安徽）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；
（2）已知关于x的二次函数y
1
=2x
2
﹣4mx+2m
2
+1和y
2
=ax
2
+bx+5，其中y
1
的图象经过点A（1，1），若y
1
+y
2
与
y
1
为“同簇二次函数”，求函数y
2
的表达式，并求出当0≤x≤3时，y
2
的最大值．
19．（14分）（2014•武汉）九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销
量的相关信息如下表：
时间x（天）1≤x＜50
50≤x≤90
售价（元/件）
x+4090
每天销量（件）200﹣2x
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．
20．（8分）已知二次函数y=的图象经过点（0，5）．
（1）求m的值，并写出该二次函数的关系式；
（2）求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴．
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中考函数综合测试卷（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2011•广安）若二次函数y=（x﹣m）
2
﹣1，当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）
A
．
m=1B
．
m＞1
C
．
m≥1
D
．
m≤1
考点：二次函数的
性质．
专题：压轴题；函数
思想．
分析：根据二次函
数的解析式
的二次项系
数判定该函
数图象的开
口方向、根据
顶点式方程
确定其图象
的顶点坐标，
从而知该二
次函数的单
调区间．
解答：解：∵二次函
数的解析式
y=（x﹣m）
2
﹣1的二次项
系数是1，
∴该二次函数
的开口方向
是向上；
又∵该二次函
数的图象的
顶点坐标是
（m，﹣1），
∴该二次函数
图象在x＜m
上是减函数，
即y随x的增
大而减小，且
对称轴为直
线x=m，
而已知中当
x≤1时，y随x
的增大而减
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小，
∴x≤1，
∴m≥1．
故选C．
点评：本题考查了
二次函数图
象的性质．解
答该题时，须
熟知二次函
数的系数与
图象的关系、
二次函数的
顶点式方程
y=a（x﹣h）
2
+k中的h，k
的意义．
2．（2006•攀枝花）反比例函数y=与正比例函数y=2kx在同一坐标系中的图象不可能是（）
A
．
B
．
C
．
D
．
考点：反比例函数
的图象；正比
例函数的图
象．
专题：压轴题；数形
结合．
分析：根据反比例
函数的图象
性质正比例
函数的图象
性质应根据k
的值进行讨
论．
解答：解：A、
即k＞2时，
反比例函数
y=的图
象在一、三象
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限；正比例函
数y=2kx过原
点在一、三象
限，故此选项
正确；
B、
无解，故本选
项错误符合
题意；
C、
即0＜k＜2
时，反比例函
数y=的
图象在二、四
象限；正比例
函数y=2kx过
原点在一、三
象限，故此选
项正确；
D、
即k＜0时，
反比例函数
y=的图
象在二、四象
限；正比例函
数y=2kx过原
点在二、四象
限，故此选项
正确；
故选B．
点评：本题主要考
查了反比例
函数的图象
性质和一次
函数的图象
性质，要掌握
它们的性质
才能灵活解
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题．
3．（2008•乐山）函数的自变量x的取值范围为（）
A
．
x≥﹣2
B
．
x＞﹣2且x≠2
C
．
x≥0且≠2
D
．
x≥﹣2且x≠2
考点：函数自变量
的取值范围；
分式有意义
的条件；二次
根式有意义
的条件．
分析：根据二次根
式的性质和
分式的意义，
被开方数大
于或等于0，
分母不等于
0，可以求出x
的范围．
解答：解：根据题意
得：x+2≥0，
解得，x≥﹣2；
且x﹣2≠0，即
x≠2，
所以自变量x
的取值范围
是x≥﹣2且
x≠2．
故选D．
点评：函数自变量
的范围一般
从三个方面
考虑：
（1）当函数
表达式是整
式时，自变量
可取全体实
数；
（2）当函数
表达式是分
式时，考虑分
式的分母不
能为0；
（3）当函数
表达式是二
次根式时，被
开方数非负．
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4．（2009•安徽）已知函数y=kx+b的图象如图，则y=2kx+b的图象可能是（）
A
．
B
．
C
．
D
．
考点：一次函数的
图象．
专题：压轴题；数形
结合．
分析：由图知，函数
y=kx+b图象
过点（0，1），
即k＞0，b=1，
再根据一次
函数的特点
解答即可．
解答：解：∵由函数
y=kx+b的图
象可知，k＞
0，b=1，
∴y=2kx+b=2k
x+1，2k＞0，
∴2k＞k，可见
一次函数
y=2kx+b图象
与x轴的夹
角，大于
y=kx+b图象
与x轴的夹
角．
∴函数
y=2kx+1的图
象过第一、
二、三象限且
与x轴的夹角
大．
故选C．
点评：一次函数
y=kx+b的图
象有四种情
况：
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①当k＞0，b
＞0，函数
y=kx+b的图
象经过第一、
二、三象限；
②当k＞0，b
＜0，函数
y=kx+b的图
象经过第一、
三、四象限；
③当k＜0，b
＞0时，函数
y=kx+b的图
象经过第一、
二、四象限；
④当k＜0，b
＜0时，函数
y=kx+b的图
象经过第二、
三、四象限．
5．（2010•深圳）如图所示，点P（3a，a）是反比例函数y=（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为
10π，则反比例函数的解析式为（）
A
．
y=
B
．
y=
C
．
y=
D
．
y=
考点：反比例函数
图象的对称
性．
专题：压轴题；转化
思想．
分析：根据P（3a，a）
和勾股定理，
求出圆的半
径，进而表示
出圆的面积，
再根据圆的
面积等于阴
影部分面积
的四倍，求出
圆的面积，建
立等式即可
求出a的值，
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从而得出反
比例函数的
解析式．
解答：解：由于函数
图象关于原
点对称，所以
阴影部分面
积为圆面
积，
则圆的面积
为
10π×4=40π．
因为P（3a，a）
在第一象限，
则a＞0，3a
＞0，
根据勾股定
理，
OP=
=a．
于是
π
=40π，a=±2，
（负值舍
去），故a=2．
P点坐标为
（6，2）．
将P（6，2）
代入y=，
得：
k=6×2=12．
反比例函数
解析式为：
y=．
故选：D．
点评：此题是一道
综合题，既要
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能熟练正确
求出圆的面
积，又要会用
待定系数法
求函数的解
析式．
6．（2008•茂名）已知反比例函数y=（a≠0）的图象，在每一象限内，y的值随x值的增大而减少，则一次函数y=
﹣ax+a的图象不经过（）
A
．
第一象限
B
．
第二象限
C
．
第三象限
D
．
第四象限
考点：一次函数的
性质；反比例
函数的性质．
分析：通过反比例
函数的性质
可以确定a＞
0，然后由一
次函数的性
质即可确定
一次函数图
象经过的象
限．
解答：解：∵反比例
函数y=
（a≠0）的图
象，在每一象
限内，y的值
随x值的增大
而减少，
∴a＞0，
∴﹣a＜0，
∴一次函数y=
﹣ax+a的图
象经过第一、
二、四象限，
不经过第三
象限．
故选C．
点评：本题主要考
查了反比例
函数图象的
性质和一次
函数图象的
性质．
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7．（2013•呼和浩特）在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx
2
+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（）
A
．
B
．
C
．
D
．
考点：二次函数的
图象；一次函
数的图象．
专题：代数综合题．
分析：本题主要考
查一次函数
和二次函数
的图象所经
过的象限的
问题，关键是
m的正负的
确定，对于二
次函数
y=ax
2
+bx+c，
当a＞0时，
开口向上；当
a＜0时，开口
向下．对称轴
为x=，
与y轴的交点
坐标为（0，
c）．
解答：解：解法一：
逐项分析
A、由函数
y=mx+m的图
象可知m＜
0，即函数y=
﹣mx
2
+2x+2
开口方向朝
上，与图象不
符，故A选项
错误；
B、由函数
y=mx+m的图
象可知m＜
0，对称轴为
x==
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=
＜0，则对称
轴应在y轴左
侧，与图象不
符，故B选项
错误；
C、由函数
y=mx+m的图
象可知m＞
0，即函数y=
﹣mx
2
+2x+2
开口方向朝
下，与图象不
符，故C选项
错误；
D、由函数
y=mx+m的图
象可知m＜
0，即函数y=
﹣mx
2
+2x+2
开口方向朝
上，对称轴为
x==
=
＜0，则对称
轴应在y轴左
侧，与图象相
符，故D选项
正确；
解法二：系统
分析
当二次函数
开口向下时，
﹣m＜0，m＞
0，
一次函数图
象过一、二、
三象限．
当二次函数
开口向上时，
﹣m＞0，m＜
0，
对称轴
x=＜0，
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这时二次函
数图象的对
称轴在y轴左
侧，
一次函数图
象过二、三、
四象限．
故选：D．
点评：主要考查了
一次函数和
二次函数的
图象性质以
及分析能力
和读图能力，
要掌握它们
的性质才能
灵活解题．
8．（2014•汕头）二次函数y=ax
2
+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）
A
．
函数有最小
值
B
．
对称轴是直
线x=
C
．
当x＜，y
随x的增大而
减小
D
．
当﹣1＜x＜2
时，y＞0
考点：二次函数的
性质．
专题：压轴题；数形
结合．
分析：根据抛物线
的开口方向，
利用二次函
数的性质判
断A；
根据图形直
接判断B；
根据对称轴
结合开口方
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向得出函数
的增减性，进
而判断C；
根据图象，当
﹣1＜x＜2
时，抛物线落
在x轴的下
方，则y＜0，
从而判断D．
解答：解：A、由抛
物线的开口
向上，可知a
＞0，函数有
最小值，正
确，故A选项
不符合题意；
B、由图象可
知，对称轴为
x=，正确，
故B选项不
符合题意；
C、因为a＞0，
所以，当x＜
时，y随x
的增大而减
小，正确，故
C选项不符合
题意；
D、由图象可
知，当﹣1＜x
＜2时，y＜0，
错误，故D选
项符合题意．
故选：D．
点评：本题考查了
二次函数的
图象和性质，
解题的关键
是利用数形
结合思想解
题．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
9．（3分）（1999•武汉）函数y=2x+3是一次函数，说法是：正确的．
考点：一次函数的
定义．
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分析：根据一次函
数的一般形
式进行判断．
一次函数的
一般形式：
y=kx+b（k、b
为常数，
k≠0）．
解答：解：根据一次
函数的一般
形式，则
函数y=2x+3
是一次函
数．正确．
点评：此题考查了
一次函数的
概念．
10．（3分）（2003•黄石）反比例函数的表达式为y=（m﹣1），则m=﹣1．
考点：反比例函数
的定义．
分析：根据反比例
函数的定
义．即y=
（k≠0），只需
令m
2
﹣2=﹣
1、m﹣1≠0即
可．
解答：解：依题意有
m
2
﹣2=﹣1
且（m﹣1）≠0，
所以m=﹣1．
故答案为：﹣
1．
点评：本题考查了
反比例函数
的定义，重点
是将一般式
（k≠0）
转化为y=kx﹣
1
（k≠0）的形
式．
11．（3分）（2007•西藏）一个蓄水池储水100m
3
，用每分钟抽水0.5m
3
的水泵抽水，则蓄水池的余水量y（m
3
）与
抽水时间t（分）之间的函数关系式是y=100﹣0.5t（0≤t≤200）．．
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考点：函数关系式．
分析：根据余水量=
原有水量﹣
用水量，时间
应≥0，用水量
不能超过原
有水量得出．
解答：解：依题意有
y=100﹣0.5t，
时间应≥0，用
水量不能超
过原有水量，
∴0.5t≤100，解
得t≤200．
∴0≤t≤200．
故函数关系
式是y=100﹣
0.5t
（0≤t≤200）．
故答案为：
y=100﹣0.5t
（0≤t≤200）．
点评：本题考查了
列函数关系
式的知识，根
据题意，找到
所求量的等
量关系是解
决问题的关
键．应注意根
据实际意义
求得自变量
的取值范围．
12．（3分）（2009•乐山）已知正比例函数y
1
=x，反比例函数，由y
1
，y
2
构造一个新函数y=x+其图象如图
所示．（因其图象似双钩，我们称之为“双钩函数”）．给出下列几个命题：
①该函数的图象是中心对称图形；
②当x＜0时，该函数在x=﹣1时取得最大值﹣2；
③y的值不可能为1；
④在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大．
其中正确的命题是①②③．（请写出所有正确的命题的序号）
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考点：反比例函数
的图象；一次
函数的图象．
专题：压轴题；函数
思想．
分析：根据“双钩函
数”的定义及
图象可得．
解答：解：①正比例
函数y
1
=x，反
比例函数
y
2
=都是中
心对称的，其
和函数
y=x+也是
中心对称图
形，故①正确；
②当x＜0时，
该函数在x=
﹣1时取得最
大值﹣2，故②
正确；
③y的值不可
能为1，故③
正确；
④在每个象限
内，函数值y
随自变量x的
增大而增大，
故④错误．
故答案为：
①②③．
点评：本题考查反
比例函数的
图象、一次函
数的图象．本
题培养学生
对函数图象
的认识、掌
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握、运用能
力．
13．（3分）（2010•龙岩）已知一次函数y=kx+b的图象如图，当x＜0时，y的取值范围是y＜﹣2．
考点：一次函数的
图象．
分析：当x＜0时，
图象在x轴的
下方，此时y
＜﹣2．
解答：解：根据图象
和数据可知，
当x＜0即图
象在y轴左侧
时，y的取值
范围是y＜﹣
2．
点评：本题考查一
次函数的图
象，考查学生
的分析能力
和读图能力．
一次函数
y=kx+b的图
象有四种情
况：
①当k＞0，b
＞0，函数
y=kx+b的图
象经过第一、
二、三象限；
②当k＞0，b
＜0，函数
y=kx+b的图
象经过第一、
三、四象限；
③当k＜0，b
＞0时，函数
y=kx+b的图
象经过第一、
二、四象限；
④当k＜0，b
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＜0时，函数
y=kx+b的图
象经过第二、
三、四象限．
14．（3分）（2014•珠海）如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，則它的对称轴为直
线x=2．
考点：二次函数的
性质．
分析：点（1，0），（3，
0）的纵坐标
相同，这两点
一定关于对
称轴对称，那
么利用两点
的横坐标可
求对称轴．
解答：解：∵点（1，
0），（3，0）
的纵坐标相
同，
∴这两点一定
关于对称轴
对称，
∴对称轴是：
x==2．
故答案为：直
线x=2．
点评：本题主要考
查了抛物线
的对称性，图
象上两点的
纵坐标相同，
则这两点一
定关于对称
轴对称．
三．解答题（共7小题，满分56分，每小题8分）
15．（8分）（2011•福州）如图，在平面直角坐标系中，A、B均在边长为1的正方形网格格点上．
（1）求线段AB所在直线的函数解析式，并写出当0≤y≤2时，自变量x的取值范围；
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（2）将线段AB绕点B逆时针旋转90°，得到线段BC，请在答题卡指定位置画出线段BC．若直线BC的函数解析
式为y=kx+b，则y随x的增大而增大（填“增大”或“减小”）．
考点：待定系数法
求一次函数
解析式；一次
函数图象与
几何变换．
专题：数形结合；函
数思想．
分析：（1）根据一
次函数图象
知A（1，0），
B（0，2），然
后将其代入
一次函数的
解析式，利用
待定系数法
求该函数的
解析式；
（2）根据旋
转的性质，在
答题卡中画
出线段BC，
然后根据直
线BC的单调
性填空．
解答：解：（1）设直
线AB的函数
解析式为
y=kx+b（k、b
为常数且
k≠0）
依题意，得A
（1，0），B
（0，2）
∴
解得
∴直线AB的
函数解析式
为y=﹣2x+2
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当0≤y≤2时，
自变量x的取
值范围是
0≤x≤1．
（2）线段BC
即为所求．增
大
点评：本题综合考
查了待定系
数法求一次
函数的解析
式、一次函数
图象与几何
变换．解答此
题时，采用了
“数形结合”
的数学思想，
使问题变得
形象、直观，
降低了题的
难度．
16．（8分）（2011•巴中）如图所示，若一次函数y=2x﹣1和反比例函数的图象都经过点A（1，1），且直线
y=2x﹣1与y轴交于点D，与反比例函数的另一个交点为B．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在y轴正半轴上存在一点C．使得S
△ABC
=6，求点C的坐标．
考点：待定系数法
求反比例函
数解析式；反
比例函数与
一次函数的
交点问题；三
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角形的面积．
专题：计算题．
分析：（1）把A的
坐标代入反
比例函数的
解析式，求出
即可；
（2）求出一
次函数与反
比例函数的
交点坐标，求
出直线与y轴
的交点坐标，
设C（0，y）
（y＞0），根
据三角形的
面积公式得
出方程，求出
即可．
解答：解：（1）
∵的图
象经过点A
（1，1），
代入得：1=，
解得：k=2，
y==
∴反比例函数
的解析式为
y=．
（2）解：∵根
据题意得：
∴2x
2
﹣x﹣
1=0
解得
∴y
1
=1，y
2
=﹣
2
∴B
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（
）
，
当x=0时
y=2×0﹣1=﹣
1，
∴D（0，﹣1），
令C（0，y）
（y＞0），
解得y=7，
∴C点坐标为
（0，7）．
点评：本题综合考
查了用待定
系数法求反
比例函数的
解析式，反比
例函数与一
次函数的交
点问题，三角
形的面积等
知识点的应
用，主要考查
学生能否熟
练的运用这
些性质进行
计算和推理，
题型较好，通
过做此题培
养了学生的
计算能力．
17．（8分）（2012•武汉）在平面直角坐标系中，直线y=kx+3经过点（﹣1，1），求不等式kx+3＜0的解集．
考点：一次函数与
一元一次不
等式．
分析：把（﹣1，1）
代入解析式，
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求出k，代入
后求出不等
式的解集即
可．
解答：解：∵将（﹣1，
1）代入
y=kx+3得1=
﹣k+3，
∴k=2，
即把k=2代入
y=kx+3得：
y=2x+3，
∴2x+3＜0，
∴x＜﹣，
即不等式
kx+3＜0的解
集是x＜﹣
．
点评：本题考查了
一次函数与
一元一次不
等式的关系
的应用．
18．（8分）（2012•云南）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，一次函数与反比例函数的图象相交于A（2，1）、
B（﹣1，﹣2）两点，与x轴交于点C．
（1）分别求反比例函数和一次函数的解析式（关系式）；
（2）连接OA，求△AOC的面积．
考点：反比例函数
与一次函数
的交点问题；
待定系数法
求一次函数
解析式；待定
系数法求反
比例函数解
析式；三角形
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的面积．
分析：（1）设一次
函数解析式
为y
1
=kx+b
（k≠0）；反比
例函数解析
式为y
2
=
（a≠0），将A
（2，1）、B
（﹣1，﹣2）
代入y
1
得到
方程组
，求出即可；
将A（2，1）
代入y
2
得出
关于a的方
程，求出即
可；
（2）求出C
的坐标，根据
三角形的面
积公式求出
即可．
解答：解：（1）设一
次函数解析
式为y
1
=kx+b
（k≠0）；反比
例函数解析
式为y
2
=
（a≠0），
∵将A（2，1）、
B（﹣1，﹣2）
代入y
1
得：
，
∴，
∴y
1
=x﹣1；
∵将A（2，1）
代入y
2
得：
a=2，
∴；
答：反比例函
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数的解析式
是y
2
=，一
次函数的解
析式是y
1
=x
﹣1．
（2）∵y
1
=x﹣
1，
当y
1
=0时，
x=1，
∴C（1，0），
∴OC=1，
∴S
△AOC
=×1
×1=．
答：△AOC的
面积为．
点评：本题考查了
对一次函数
与反比例函
数的交点，三
角形的面积，
用待定系数
法求一次函
数、反比例函
数的解析式
的应用，通过
做此题培养
了学生的计
算能力，题目
具有一定的
代表性，是一
道比较好的
题目．
19．（8分）（2014•安徽）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；
（2）已知关于x的二次函数y
1
=2x
2
﹣4mx+2m
2
+1和y
2
=ax
2
+bx+5，其中y
1
的图象经过点A（1，1），若y
1
+y
2
与
y
1
为“同簇二次函数”，求函数y
2
的表达式，并求出当0≤x≤3时，y
2
的最大值．
考点：二次函数的
性质；二次函
数的最值．
专题：代数综合题；
新定义．
分析：（1）只需任
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选一个点作
为顶点，同号
两数作为二
次项的系数，
用顶点式表
示两个为“同
簇二次函数”
的函数表达
式即可．
（2）由y
1
的
图象经过点
A（1，1）可
以求出m的
值，然后根据
y
1
+y
2
与y
1
为
“同簇二次函
数”就可以求
出函数y
2
的
表达式，然后
将函数y
2
的
表达式转化
为顶点式，在
利用二次函
数的性质就
可以解决问
题．
解答：解：（1）设顶
点为（h，k）
的二次函数
的关系式为
y=a（x﹣h）
2
+k，
当a=2，h=3，
k=4时，
二次函数的
关系式为y=2
（x﹣3）
2
+4．
∵2＞0，
∴该二次函数
图象的开口
向上．
当a=3，h=3，
k=4时，
二次函数的
关系式为y=3
（x﹣3）
2
+4．
∵3＞0，
∴该二次函数
图象的开口
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向上．
∵两个函数
y=2（x﹣3）
2
+4与y=3（x
﹣3）
2
+4顶点
相同，开口都
向上，
∴两个函数
y=2（x﹣3）
2
+4与y=3（x
﹣3）
2
+4是
“同簇二次函
数”．
∴符合要求的
两个“同簇二
次函数”可以
为：y=2（x﹣
3）
2
+4与y=3
（x﹣3）
2
+4．
（2）∵y
1
的图
象经过点A
（1，1），
∴2×1
2
﹣
4×m×1+2m
2
+
1=1．
整理得：m
2
﹣2m+1=0．
解得：
m
1
=m
2
=1．
∴y
1
=2x
2
﹣
4x+3
=2（x﹣1）
2
+1．
∴y
1
+y
2
=2x
2
﹣
4x+3+ax
2
+bx
+5
=（a+2）x
2
+
（b﹣4）x+8
∵y
1
+y
2
与y
1
为“同簇二次
函数”，
∴y
1
+y
2
=
（a+2）（x﹣
1）
2
+1
=（a+2）x
2
﹣
2（a+2）x+
（a+2）+1．
其中a+2＞0，
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即a＞﹣2．
∴
．
解得：
．
∴函数y
2
的表
达式为：
y
2
=5x
2
﹣
10x+5．
∴y
2
=5x
2
﹣
10x+5
=5（x﹣1）
2
．
∴函数y
2
的图
象的对称轴
为x=1．
∵5＞0，
∴函数y
2
的图
象开口向上．
①当0≤x≤1时，
∵函数y
2
的图
象开口向上，
∴y
2
随x的增
大而减小．
∴当x=0时，
y
2
取最大值，
最大值为5（0
﹣1）
2
=5．
②当1＜x≤3
时，
∵函数y
2
的图
象开口向上，
∴y
2
随x的增
大而增大．
∴当x=3时，
y
2
取最大值，
最大值为5（3
﹣1）
2
=20．
综上所述：当
0≤x≤3时，y
2
的最大值为
20．
点评：本题考查了
求二次函数
表达式以及
二次函数一
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般式与顶点
式之间相互
转化，考查了
二次函数的
性质（开口方
向、增减性），
考查了分类
讨论的思想，
考查了阅读
理解能力．而
对新定义的
正确理解和
分类讨论是
解决第二小
题的关键．
20．（8分）（2014•武汉）九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销
量的相关信息如下表：
时间x（天）1≤x＜50
50≤x≤90
售价（元/件）
x+4090
每天销量（件）200﹣2x
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．
考点：二次函数的
应用．
专题：销售问题．
分析：（1）根据单
价乘以数量，
可得利润，可
得答案；
（2）根据分
段函数的性
质，可分别得
出最大值，根
据有理数的
比较，可得答
案；
（3）根据二
次函数值大
于或等于
4800，一次函
数值大于或
等于48000，
可得不等式，
根据解不等
式组，可得答
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案．
解答：解：（1）当1≤x
＜50时，y=
（200﹣2x）
（x+40﹣30）
=﹣
2x
2
+180x+20
00，
当50≤x≤90
时，
y=（200﹣2x）
（90﹣30）=
﹣
120x+12000，
综上所述：
y=
；
（2）当1≤x
＜50时，二次
函数开口向
下，二次函数
对称轴为
x=45，
当x=45时，y
最大
=﹣
2×45
2
+180×4
5+2000=6050
，
当50≤x≤90
时，y随x的
增大而减小，
当x=50时，y
最大
=6000，
综上所述，该
商品第45天
时，当天销售
利润最大，最
大利润是
6050元；
（3）当1≤x
＜50时，y=
﹣
2x
2
+180x+20
00≥4800，解
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得20≤x≤70，
因此利润不
低于4800元
的天数是
20≤x＜50，共
30天；
当50≤x≤90
时，y=﹣
120x+12000≥
4800，解得
x≤60，
因此利润不
低于4800元
的天数是
50≤x≤60，共
11天，
所以该商品
在销售过程
中，共41天
每天销售利
润不低于
4800元．
点评：本题考查了
二次函数的
应用，利用单
价乘以数量
求函数解析
式，利用了函
数的性质求
最值．
21．（8分）已知二次函数y=的图象经过点（0，5）．
（1）求m的值，并写出该二次函数的关系式；
（2）求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴．
考点：待定系数法
求二次函数
解析式；二次
函数的性质．
分析：（1）把点（0，
5）代入解析
式就可以求
出m的值，从
而也可以得
出解析式；
（2）将二次
函数的解析
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式转化为顶
点式就可以
求出顶点坐
标、对称轴．
解答：解：（1）
∵y=
的图象经过
点（0，5）．
∴5=m
2
+1，
∴m=±2．
∵m+2≠0，
∴m≠﹣2．
∴m=2，
∴二次函数的
关系式为：
y=x
2
+6x+5
（2）∵二次函
数的关系式
为：
y=x
2
+6x+5
∴y=（x+3）
2
﹣4，
∴二次函数图
象的顶点坐
标为（﹣3，
﹣4）、对称轴
为：直线x=
﹣3．
点评：本题考查了
运用待定系
数法求二次
函数的解析
式的运用，利
用二次函数
的性质求抛
物线的顶点
坐标和对称
轴的运用．解
答本题求出
抛物线的解
析式是关键．