收敛函数

收敛函数

-

2023年3月19日发(作者：比值比)

关于函数项级数的收敛性

作者：xxx指导老师：xxx

摘要：级数是表示初等函数的一种工具，其核心问题是级数的和（或和函数），即收敛问

题，包括收敛和一致收敛，本文试图对函数项级数的收敛、一致收敛、非一致收敛的常用判

别方法进行了较为系统的和总结，并对其中几种收敛性的判断方法作了重点讨论。

关键词：函数项级数收敛一致收敛判别方法

1引言

作为数项级数的推广，函数项级数项级数的收敛性问题一直是数学分析中级数的重点

和难点，在实际应用中也比较广泛。在这篇文章中，本文先对函数项级数的收敛给出本质说

明，由于函数项级数的收敛与数项级数的收敛本质都是逐点收敛，因此这篇论文重点是论述

函数项级数一致收敛的定义以及类似于数项级数收敛的判别方法或相关定理，并对某些定理

的适用范围作出归纳。.

2函数项级数一致收敛的定义

我们知道，所谓函数项级数()

n

ux在某区间

I

收敛，是指它逐点收敛.意即：对

I

中

每固定一点

xI

，作为数项级数，

1

n

ux

n





（）总是收敛的，因此对于收敛性，可以用数项级

数的各种判别法逐点进行判断。

定义1：函数序列{()}

n

Sx在集合

D上点态收敛于是指对于任意的

0

xD，

数列

0

()

n

Sx收敛于

0

()Sx，用”N”语言来表示的话，就是：对任意给定的

0，

可以找到N,当n>N时，成立：

0

|()()|

n

SxSx

一般来说，这里的N应理解为

0

(,)Nx,即N不仅与有关，而且随着

0

x的变化而变化。

这意味着在

D，{()}

n

Sx的收敛速度可能大相径庭。如果{()}

n

Sx不仅在

D

上点点收敛，而

且在

D

上的收敛速度具有某种整体一致性，也即此时的

N

仅与有关而与

0

x无关.

（充要条件）设｛

n

S｝是函数项级数()

n

ux的部分和函数列，若｛()

n

Sx｝在数集D

上一致收敛于()Sx,则称函数项级数()

n

ux一致收敛于函数()Sx,或称()

n

ux在

D上一致收敛.

推论：（必要条件）函数项级数()

n

ux在数集数集D上一致收敛，则称函数列｛()

n

ux｝

在D上一致收敛于0。

注：这里的必要条件显然不充分，利用必要性我们将函数项级数对D中固定一点x∈

D,化为数项级数()

n

ux，这是一特殊数列，可以得到下定理：

定理1：(“放大法”)若n,

n

a0,使得|()Sx—()

n

Sx|

n

a（x∈

D）且n→∞时，

n

a→0，则n→∞时，()

n

Sx在数集D上一致收敛于()Sx。

证明：因为n→∞时，

n

a→0，于是有

0,()N,当

nN

时，|a|

n

.又因|()Sx

—()

n

Sx|

n

a，即有|()Sx—()

n

Sx|<ε,所以()

n

Sx在数集D上一致收敛于()Sx。

定理2：（余项准则）若()

n

ux在区间D上收敛，则()

n

ux在D上收敛上一致

收敛的充要条件是：

n

｛x｝D，有

n

limr()=0.

nn



x

（其中

k

k=n+1

r()=ux

n

x



（）为级数和）

证明：必要性，因已知

n

ux（）在区间

D

上一致收敛，所以0,,N使得当

nN时，对一切xD

，对于

n

｛x｝D则有

n

|()()|<.

nn

SSxx即|r()|<

nn

x.得

n

limr()=0.

nn



x

充分性.，假设

n

ux（）在区间

D

上不一致收敛，则

0

0

n

｛x，｝D，使得

n0

|()()|

nn

SSxx.如此得到

n

｛x｝D，但

n

limr()0

nn



x

，这与已知条件矛盾。

定理3：（确界法）函数列{f}

n

在区间

D

上一致收敛于f的充要条件是：

limsup|f(x)f(x)|0

n

n

xD







证明：[]必要性若对

xD

,n时，f(x)

n

一致收敛于f(x).则对任给的正数，

存在不依赖于x的正整数

N

，当

n>N

时，有|f(x)f(x)|

n

，

xD

由上确界定义，亦有

sup|f(x)f(x)|

n

xD





，上式成立。

[]充分性由假设，对任给

0

，存在正整数

N

，使得当

n>N

时，有

sup|f(x)f(x)|

n

xD

，因为对一切

xD

，总有|f(x)f(x)|sup|f(x)f(x)|

nn

xD

，从而有

|f(x)f(x)|

n

.于是{f}

n

在区间

D

上一致收敛于f.

|f(x)f(x)|

n



例1.设

n

Ux（）0，在区间[a,b]上连续，n=1,2,3，···又

n

n=1

Ux

（）在区间[a,b]上

收敛于连续函数f(x)，则

n

n=1

Ux

（）在区间[a,b]上一致收敛于f(x).

证：已知(x)f(x)S(x)

nn

r（其中

k

k=1

uS()=xx

n

（）单调递减且趋于0），所以

n

N

,

0

rx(x)0x

n

[a,b]有，且

0

,0,N(x,)[a,b]时，

0

0r(x)<

n

有,

将n固定，令

00

nN(x,),N，因为(x)f(x)S(x)

nn

r在区间[a,b]上连续，既然

(x)

n

r，所以

0

0,当

0000

x(x,x)时，(x)

n

r.从而

0

nN时更有

(x)

n

r<，即(x)

n

r仅当

0000

x(x,x).

如上所述，对每个点



x[a,b]，可以找到相应的邻域,



(xx+)及相应的



N，

使得n



N时，对,x



(xx+)恒有(x)

n

r.如此,}:{



(xx+)x[a,b]

构成[a,b]的一个开覆盖，从而必存在有限子覆盖。不妨记为

1111

{(x,x),···，

rr

x-（，

r

x+

r

}），于是x[a,b]，总i{1,2，···,r}使得

iiii

xx,x（），取N=max{

1

N，

2

N，···，

r

N}，那么

n>N时，恒有(x)

n

r，由定理2得

1

n

ux

n





（）在区间[a,b]上一致

收敛于f(x).

例2.设连续函数列{f(x)}

n

在闭区间[a,b]上一致收敛于函数f(x).若x

n

[a,b]（n

1,2,···）且

0

x

n

x(n).证明：

0

limf(x)f(x)

nn

n



.

证：对

0

，

1

0,N当

1

nN时，对一切x[a,b]有|f(x)f(x)|/2

n

，

由于{f(x)}

n

连续且一致收敛于f(x)，所以f(x)亦连续，故

2

0N,当

2

nN时，

0

|f(x)f(x)|/2

n

.

取

12

max{,}NNN，则当

nN

时，有

0

|f(x)f(x)||f(x)

nnnn

f(x)|

n

|f(x)

n



0

f(x)|/2/2.所以

0

limf(x)f(x)

nn

n



.

例3.设f(x)在区间[0,1]上连续，f(1)=0.证明：

（1）{nx}在区间[0,1]上不一致连续；

（2）{f(x)·nx}在区间[0,1]上一致收敛.

证：（1）显然0，x[0,1]

()gx=是{nx}的极限函数

1，X=1

nx

在[0,1]上连续(nN)，而g(x)在区间[0,1]上不连续，所以{nx}在[0,1]上不一致

收敛.

（2）f(x)在x=1处连续，所以对

0

，

01.当|x1|时，有

|f(x)f(1)|，即|f(x)|.

易证{f(x)·x}n在区间[0,1]有|f(x)x0|n，所以对0,0N，当

nN

时，对一切[0,1]x有

[0,1]

|f(x)x0|max{sup|f(x)x|,nn

x



[1,1]

sup|f(x)x|n

x

<

[1,1]

max{,sup|f(x)|}

x





.

所以{f(x)x}n在[0,1]上一致收敛.

定义2：若对于任意给定的闭区间

[a,b]D

，函数序列{()}

n

Sx在[a,b]上一致收敛于

()Sx，则称{()}

n

Sx在

D

上内闭一致收敛于()Sx.

显然，在D上一致收敛的函数序列必在D上内闭一致收敛，但其逆命题不成立.

例如，上例3中

nx

的考察区间由[0,1]缩小到[0,]，其中01是任意的，则由

|()()

n

SxSx=

nxn，只要取

ln

()[]

ln

NN







，当

nN

时，

|()()|n

n

SxSx对一切[0,]x成立，即{()}

n

Sx在[0,](1)上是一致收敛

的。也就是说，尽管{

nx

}在[0,1)上不一致收敛，但却是内闭一致收敛的.

定理4：设函数序列{()}

n

Sx在集合

D

上点态收敛于()Sx，则{()}

n

Sx在

D

上一致收敛

于()Sx的充分必要条件是：对任意数列{}

n

x，

n

xD，成立

lim(()())0

nnn

n

SxSx





证：先证必要性.设{()}

n

Sx在D

上一致收敛于()Sx，则

|()()|0,(supn

xD

SxSxn





于是对任意数列

{}

n

x

，

n

xD，成立|()()|(,)0,()

nnn

SxSxdSSn

充分性（反证）.也就是证明：若{()}

n

Sx在D

上不一致收敛于()Sx，则一定能找到数列

{}

n

x，

n

xD，使得()()

nnn

SxSx0，()n

由于命题“{()}

n

Sx在D

上一致收敛于()Sx”可以表述为：

0,,,:|()()|,

n

NnNxDSxSx

因此它的否命题“{()}

n

Sx在

D

上不一致收敛于()Sx”可以表述为：

00

0,0,,:|()()|,

n

NnNxDSxSx

于是，下步骤可以依次进行：

取

1111

110

1,1,:|()()|

nnnn

NnxDSxSx，

2222

21210

,,:|()()|

nnnn

NnnnxDSxSx，

·······

取

110

,,:|()()|

kkkk

kkkknnnn

NnnnxDSxSx



，

······

对于*

12,

{,mNnn···，

k

n，···}，可以任取

m

xD，这样就得到数列{}

n

x，

n

xD，由于它的子列{}

k

n

x，使得

0

|()()|

kkk

nnn

SxSx，

显然不可能成立



lim(()())0

nnn

n

SxSx





注：定理4常用于判断函数列的不一致收敛。

例4.证明函数项级数

1

1

()n

n

nx

n





在(1,1)上不一致收敛.

证：记

1

()()n

n

uxnx

n

，则题证函数序列{()}

n

ux在(1,1)上一致收敛于()

n

ux0.

由题意要证明

1

1

()n

n

nx

n





在(1,1)上不一致收敛.只要证明函数序列{()}

n

ux在(1,1)上

不一致收敛于()

n

ux0即可.

取

1

1(1,1)

2n

x

n

，则

1

()()(1)

2

n

nnn

uxuxn

n

，(),n

由定理4，{()}

n

ux在(1,1)上不一致收敛于()

n

ux0.

一致收敛级数的判别与性质

一致收敛级数的判别

用定义或以上定理判断函数项级数（或函数列）的一致收敛需要先知道它的和函数（或极限

函数），这在许多情况下不可能保证。于是还有判别定理或判别条件。

定理5（函数项级数一致收敛的cauchy收敛定理）：函数项级数

1

()

n

n

ux





在

D

上

一致收敛的充分必要条件是：对于任意给定的

0

，存在正整数()NN,使

12

|()()

nn

uxux



···()|

m

ux

对一切正整数成立

mnN

与一切

xD

成立.

证：必要性.设

1

()

n

n

ux





在

D

上一致收敛，记和函数为则对任意给定的()Sx，则对任意

给定的

0

，存在正整数()NN，使得对一切

nN

与一切

xD

，成立

1

|()()|

2k

k

uxSx





。

于是对一切

mnN

与一切

xD

，成立

12

|()()

nn

uxux



···

11

()||()()|

mn

mkk

kk

uxuxux





1

|()

m

k

k

ux



()|Sx

1

|()()|

n

k

k

uxSx



.

充分性.设对任意给定的

0

存在正整数()NN，使得对一切

mnN

，与一

切

xD

，成立

12

|()()

nn

uxux



···

11

()|||()()|

2

mn

mkk

kk

uxuxux





。

固定

xD

，则数项级数

1

()

n

n

ux





满足Cauchy收敛原理，因而收敛。设

n=1

()ux,

n

SxxD



（），

在

11

|()()|

2

mn

kk

kk

uxux





中固定n，令m，则得到

1

|()()|

2

n

k

k

uxSx









对一切

xD

成立，因而

1

()

n

n

ux





在

D

上一致收敛于()Sx.

定理6.（Weierstrass判别法）设函数项级数

1

()

n

n

ux





（

xD

）的每一项()

n

ux

满足|()|,

nn

uxaxD，

并且数项级数

1

n

n

a





收敛，则

1

()

n

n

ux





在

xD

上一致收敛。

证：由于对一切

xD

和正整数mn，有

12

|()()

nn

uxux



···()|

m

ux

1

|()

n

ux





2

||()

n

ux



|···()|

m

ux|

1n

a





2n

a





···

m

a，

由函数项级数的Cauchy收敛原理和数项级数的Cauchy收敛原理，即得到

1

()

n

n

ux





在

xD

上一致收敛。

注：由以上证明可以进一步知道，此时不仅

1

()

n

n

ux





在

xD

上一致收敛，并且对各项取

绝对值所得到到的函数项级数

1

|()|

n

n

ux





也在

D

上一致收敛.

例5.函数项级数

1

(1)nx

n

xe







在[0,)上一致收敛。

证：记()nx

n

uxxe，

则'1()()nx

n

uxxenx。于是容易知道()

n

ux在x

n



处达到最大值

1

()

en







，即

1

0()()

n

ux

en







，[0,)x由于

1

，正项级数

1

1

()

n

en









收敛，由

Weierstrass判别法，

1

(1)nx

n

xe







在[0,)上一致收敛。

注：由Cauchy收敛原理可以得到函数项级数

1

nx

n

xe







（

01

）上非一致收敛。

定理7.（A-D判别法）设函数项级数

1

()()

nn

n

axbx





()xD满足如下两个条件之一，则

1

()()

nn

n

axbx





在

D

上一致收敛.

（1）（Abel判别法）函数序列{()}

n

ax对每一固定

xD

关于n是单调的，且{()}

n

ax在

D

上一致有界：|()|,

n

axMxD，nN，同时

1

()

n

n

bx





在

D

上一致

收敛。；

（2）（Dirichlet判别法）函数序列{()}

n

ax对每一固定

xD

关于n是单调的，且{()}

n

ax

在

D

上一致收敛于0；同时函数项级数

1

()

n

n

bx





的部分和序列在

D

上一致有界：

1

|()|

n

k

k

bxM



，

xD

，nN。

证：（1）由于

1

()

n

n

bx





在

D

上一致收敛，所以对任意给定的

0

，存在正整数

()NN，使

1

|()|

m

k

kn

bx



对一切

mnN

与一切

xD

成立。应用Abel定理，

得到

1

1

|()()|(()2|()|)3

m

kknm

kn

axbxaxaxM







对一切

mnN

与一切

xD

成立，根据Cauchy收敛原理，

1

()()

nn

n

axbx





在

D

上一致收

敛，这就得到了Abel判别法

（2）由于{()}

n

ax在

D

上一致收敛于0，对任意给定的

0

，存在正整数()NN，

当

nN

时，对一切

xD

成立，|()|

n

ax。

由于对一切

mnN

，

111

|()||()()|2,

mmn

kkk

knkk

bxbxbxM



由Abel定理，得到

1

1

|()()|2(|()2|()|)6

m

kknm

kn

axbxMaxaxM





对一切

xD

成立。根据Cauchy

收敛原理，

1

()()

nn

n

axbx





在

D

上一致收敛，这就得到了Dirichlet判别法。

例6．已知

1

1

()

nn

n

aa







绝对收敛，

1

n

n

b





收敛，证明级数

1

nn

n

ab





收敛.

证：依据阿贝尔引理的一般形式，对任意给定的自然数

p

考虑

11

||max||

npnp

kkk

knkn

abb





·

1

1

(||||)

npkk

kn

aaa







①

由于级数

1

n

n

b





收敛，故对0,0,N当

nN

时，对任何自然数

p

，

有

1

||

np

kk

kn

ab





。

由于

1

1

()

nn

n

aa







绝对收敛，设

1

1

||

nn

n

aaB







，从而对任意的自然数n

有

1

1

||

n

nn

k

aaB





，并且由于

1

11

1

()

np

kknp

k

aaaa







，从而

111

1

||||||||

np

npkk

k

aaaaaB







.

11

111

111

||||||2

npnp

n

kkkkkk

knkk

aaaaaaB







，

根据①式，对0,0,N当

nN

时，对任意自然数

p

有

1

1

||(||3)

np

kk

kn

abaB





.

例7．证明：级数

2

3/2

1

(1)

x

n

n

en

n







在任何有穷区间[,]ab上一致收敛，但在任何一点

0

x

处不绝对收敛。

证：01,

1

|(1)|2

n

k

k

，(1,2,n···），

02,

222

3/23/23/2

11

=+

(1)1

xxxenee

nnnnn







，(1,2,n···），即

2

3/2

xen

n



关于

n

单调递减.

03，

22

3/23/2

||0,()

xcenen

n

nn



因此

2

3/2(1)

xe

n

一致收敛于0，当n

时，其中max(||||)cab，根据Dirichlet判别法，

2

3/2

1

(1)

x

n

n

en

n







在任何有穷区间

[,]ab上一致收敛。但在任何一点

0

x处

2

3/2

1

|(1)|

x

n

n

en

n







2

3/2

11

1x

nn

e

nn





，显然在任何

一点

0

x处不收敛。

注：本题说明:一致收敛不意味着绝对收敛。

定理8.（Dini定理）设函数序列{()}

n

Sx在闭区间[,]ab上点态收敛于()Sx，如果（1）

(

n

Sx（1,2n，···）在[,]ab上连续，

（2）()Sx在[,]ab上连续，

（3）{()}

n

Sx关于n单调，即对任意固定的[,]xab，{()}

n

Sx是单调数列，则{()}

n

Sx

在[,]ab上一致收敛于()Sx。

证：用反证法。设{()}

n

Sx在[,]ab上不一致收敛于()Sx，则

00

0,0,,[,]:|()()|

n

NnNxabSxSx.

依次取：

1

11110

1,1,[,]:|()()|,

n

NnxabSxSx

2

1212220

,,[,]:|()()|,

n

NnnnxabSxSx

······

110

,,[,]:|()()|,

k

kkkknkk

NnnnxabSxSx





······

于是得到数列{},[,]

kk

xxab。由Weierstrass定理知，数列{}

k

x必有收敛子列，不妨仍记为

[,],()

k

xabk。由于

lim()()

n

n

SS





，所以对

0

0，存在N，成立

0|()()|

2N

SS



，由条件（1）与（2），()()

N

SxSx在x连续，

由于,()

k

xk，存在正整数K，使

0

|()()|

Nkk

SxSx对一切

kK

成立，再由

条件（3），即，{()}

n

Sx关于n是单调数列，则当

nN

与

kK

时，

0

|()()||()()|

nkkNkk

SxSxSxSx.

由于()

k

nk，当

k

充分大时，总有

kK

与

k

nK，于是成立

0

|()()|

k

nkk

SxSx，这就与假设

0

|()()|

k

nkk

SxSx()kN矛盾。

注：本定理是用函数列说明的，对应的函数项级数当然也满足。

例8．设f(x，y)当y固定时，关于x在区间[,]ab上连续，且当

时，它关于y单调增加地趋向于连续函数，证：

证：反证法，假设

0000

0,0,y(,),[,],.:|(y()|yyxabstfxx，）

，

0

yy

()x

0

y

lim(y()

bb

aa

fxdxxdx





y

，）

依次取：

2

1

min{,},y(,),[,],.:|(y()|,

2

yyyyxabstfxx，）

······

1000

1

min{,},y(,),[,],.:|(y()|,

nnnnnnnnn

yyyyxabstfxx

n





，）

······

由此得到两列数列

{},{}

nn

xy

，由于

{},{}

nn

xy

有界，由Weierstrass定理，存在收敛子列，

不妨仍记为，其中是递增数列。

由，。

注意有取足够大从而。

又在处连续及,,故

当

nN

时，成立。

于是。但对固定的，当时，关于

y单调增加地趋向于连续函数，所以当时，成立

0

|(y()||(y()|

nnnnKn

fxxfxx，），）-

这与，···）矛盾

结束语

一致收敛是函数项级数的一个重要性质，有效地判别函数项级数的一致收敛对进一步研

究函数项级数的性质起着重要的作用。因此本文主要总结了函数项级数的收敛定义和函数项

级数一致收敛的定义及判别其一致收敛的定理或判别方法，也进行了相关补充和适用范围的

说明。

参考文献

[1]毛一波函数项级数一致收敛的判定[J].重庆文理学院学报2006.10

1101011110

1,y(,),[,],.:|(y()|,yyxabstfxx，）

(1,2n

0

|(y()|

nn

fxx，）-

(y

n

fx，）

{},{}

nn

xy{}

n

y

0

lim,lim

nn

nn

yyx





0

(y().(y)f，）y0

00

(y),():|(y()

2

yyyf



y，）-|<

0

lim,

n

n

yy





0

..:0,

K

Kstyy0|(y()|

2k

f



，）-<

(y()

k

fxx，）-

x

lim

n

n

x



0.N

0|(y()((y())|

2nknk

fxxf



，）-，）-

0

|(y()|

nkn

fxx，）

n

x

0

yy

()xmax{,}nNK

[2]杨琼芬函数级数一致收敛的判别方法[J].科技资讯2007（32）

[3]裴礼文数学分析中的典型问题与方法[M].北京高等教育出版社2001.3

[4]钱吉林数学分析解题精粹[M].武汉：华中师范大学出版社2003

ExplorationOnUniformConvergenceCriterionforFunctionSeries

Author:xxxSupervisor:xxx

Abstract:Weknowseriesisatoolfortheexpressionforelementaryfunction，andthe

coreproblemofitssum（orsumfunction）,namelyconvergenceproblem，convergenceand

perismainlyasumthesisforfunctionseries’

convergence、uniformconvergence、nonuniformconvergence,andtheirdistinguishing

methods，andsomeofthemhasbeenintensivelydiscussed.

Keywords:functionseriesconvergenceuniformconvergenceassessmentmethod