棱台体积
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2023年3月19日发(作者：排序不等式)65
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棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
本节是在学生已从棱柱、棱锥、棱台的结构特征和直观图两个方面认识了多面体的基础上，进一步从
度量的角度认识棱柱、棱锥、棱台，主要包括表面积和体积.
课程目标
1．通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式．
2．能运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题．
数学学科素养
1.数学抽象：棱柱、棱锥、棱台的体积公式；
2.数学运算：求多面体或多面体组合体的表面积和体积；
3.数学建模：数形结合，运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.
重点：掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式和应用；
难点：棱台的体积公式的理解.
教学方法：以学生为主探究式学习合作学习
教学工具：多媒体课件相关资料
教学过程
一、情景导入
在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面
积和体积？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本114-115页，思考并完成以下问题
1．怎么求柱体、锥体、棱台的表面积？
2．柱体、锥体、棱台体的体积公式是什么？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究
（一）棱柱、棱锥、棱台的表面积
1．棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的多面体，因此它们的表面积等于各个面的面积之和，也
就是展开图的面积．
（二）棱柱、棱锥、棱台的表面积
1．棱柱：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.
2．棱锥：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝
1
3
Sh.
3．棱台：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝
1
3
(S′＋S′S＋S)h.
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2
四、典例分析、举一反三
题型一棱柱、棱锥、棱台的表面积
例
1
已知如图，四面体SABC的棱长均为
a
，求它的表面积．
【答案】23a
【解析】因为四面体
S
－
ABC
的四个面是全等的等边三角形，
所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的
4
倍．
不妨求△
SBC
的面积，过点
S
作
SD
⊥
BC
，交
BC
于点
D
，如图所示．
因为
BC
＝
SB
＝
a
，
SD
＝
2
222
3
22
a
SBBDaa
,
所以
S
△
SBC＝
1
2
BC·SD
＝
1
2
a×
3
2
a
＝
3
4
a2.
故四面体
S
－
ABC
的表面积
S
＝
4×
3
4
a2＝3a2.
解题技巧（求多面体表面积注意事项）
1．多面体的表面积转化为各面面积之和．
2．解决有关棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到梯形中去解决；二是把棱台还原
成棱锥，利用棱锥的有关知识来解决．
跟踪训练一
1、如图所示，有一滚筒是正六棱柱形(底面是正六边形，每个侧面都是矩形)，两端是封闭的，筒高1.6m，
底面外接圆的半径是0.46m，问：制造这个滚筒需要________m2铁板(精确到0.1m2)．
【答案】5.6
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3
【解析】因为此正六棱柱底面外接圆的半径为0.46m，
所以底面正六边形的边长是0.46m.
所以S侧＝ch＝6×0.46×1.6＝4.416(m2)．
所以S表＝S侧＋S上底＋S下底＝4.416＋2×
3
4
×0.462×6≈5.6(m2)．
故制造这个滚筒约需要5.6m2铁板．
题型二棱柱、棱锥、棱台的体积
例2如图所示，正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1，E为线段B
1
C上的一点，则三棱锥A－DED
1
的体积
为________．
【答案】
1
6
.
【解析】V三棱锥A－DED
1
＝V三棱锥E－DD
1
A＝
1
3
×
1
2
×1×1×1＝
1
6
.
例
3
如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是
0.5m
，公共面
ABCD是边长为
1m
的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精确到30.01m）？
【答案】30.67m
【解析】由题意知长方体''''ABCDABCD的体积110.5V30.5m
，
棱锥''''PABCD的体积
1
110.5
3
V3
1
6
m
，
所以这个漏斗的容积
112
263
V30.67m
.
解题技巧(求棱柱、棱锥、棱台体积的注意事项)
1．常见的求几何体体积的方法
①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积
和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．
2．求几何体体积时需注意的问题
柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，
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4
最后代入公式计算．
跟踪训练二
1、在正三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，D为棱AA
1
的中点，若△BC
1
D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的
体积为________；
【答案】83.
【解析】由题意，设AC＝a(a＞0)，CC
1
＝b(b＞0)，则BD＝C
1
D＝a2＋
b2
4
，BC
1
＝a2＋b2，由△BC
1
D是
面积为6的直角三角形，得
a2＋
1
4
b2×2＝a2＋b2，得b2＝2a2，又
1
2
×
3
2
a2＝6，∴a2＝8，∴b2＝16，即b＝4.
∵S
△ABC
＝
3
4
a2，∴V＝
3
4
×8×4＝83.
2、如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点
到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积．
【答案】见解析
【解析】如图，连接EB，EC.
四棱锥E－ABCD的体积V四棱锥E－ABCD
＝
1
3
×42×3＝16.
∵AB＝2EF，EF∥AB，
∴S
△EAB
＝2S
△BEF
.
∴V三棱锥F－EBC
＝V三棱锥C－EFB
＝
1
2
V三棱锥C－ABE
＝
1
2
V三棱锥E－ABC
65
5
＝
1
2
×
1
2
V四棱锥E－ABCD
＝4.
∴多面体的体积V＝V四棱锥E－ABCD
＋V三棱锥F－EBC
＝16＋4＝20.
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
七、作业
教学后记
本节课的重点是掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式和应用，通过本节课的例题及练习，
学生基本掌握.而本节课的难点可以通过三组体积公式对比，寻找其联系(棱台上底面和下底面面积一样时，
图形变成棱柱，对应的公式，经推导也就变成棱柱的体积公式了;棱台上底面无限缩小至点时，图形变成棱
锥，对应的公式，经推导也就变成棱锥的体积公式了.)使学生对其更加理解.再有解决实际问题时可先抽象出
几何图形，再利用相关公式解决.
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
1、棱柱、棱锥、棱台的表面积例1例2例3
2、棱柱、棱锥、棱台的体积
棱柱
棱锥
棱台