[复习]牛顿万有引力定律

[复习]牛顿万有引力定律

写在前面：

这会是一个大型的review，也算是对目前学习的关于引力波背景知识的一个学习笔记，有兴趣的同学可以一起来交流交流。

其中肯定会有不完善之处或是错误，感谢各位指正。

正文：

牛顿万有引力大家应该都很熟悉了，简单来说就是真空中的两个“物体”之间会存在引力的相互作用，假设两个物体质量分别为m1和m2，那么这个引力的大小是：

\\vec{F} = -\\frac{Gm_1m_2}{r^3}\\vec{r}

这里设两个物体的位矢为 \\vec{r}_1\\ \\vec{r}_2，而 \\vec{r} = \\vec{r}_2 - \\vec{r}_1 表示两者的相对位置。

我们都说，地球围绕着太阳做椭圆运动，但实际上在地球引力的影响下太阳也并非静止东森平台不动的，事实上太阳（的质心）也在进行椭圆运动，只是这个运动幅度太小，也因此在高中物理中我们会用圆周运动来近似处理这种两体问题。而对于质量相近的两体来说，二者的运动幅度相当，这时候常采用有效单体（Effective one body, EOB）的方法。

根据质心的定义，这两个物体的质心的位矢为 \\vec{R}=\\frac{1}{M}(m_1农村房屋设计图\\vec{r}_1 + m_2\\vec{r}_2)

M为总质量m1 + m2。为方便起见，我们设这个位蛋包饭矢R恒为零，也就是采用质心参考系。

两个物体的位置以及运动速度都可以用相对位矢r来表示：

\\vec{r}_1 = -\\frac{m_2}{M}\\vec{r} \\ \\ \\vec{v}_1 = -\\frac{m_2}{M}\\vec{v}\\\\ \\vec{r}_2 = \\frac{m_1}{M}\\vec{r} \\ \\ \\vec{v}_2 = \\frac{m_1}{M}\\vec{v}

机械脱脱迷失能守恒定律就可以表示为：

E = \\fra国产硒鼓c{1}{2}[m_1v_1^2 + m_2v_2^2] - \\frac{Gm_1m_2}{r} \\\\ =\\frac{1}{2}\\mu v^2 - \\frac{GM\\mu}{r}

其中 \\mu=黄绿接地线\\frac{m_1m_2}{M} 就是sent所谓的折合质量啦，从上面的式子我们能够知道，所谓的有效单体就是将引力的两体问题转化为一个等效的，质量为 \\mu 的粒子（有效单体）围绕一个以质量为M的物体为中心的稳定引力场的运动。

在极坐标系中（以M为原点），我们就能写出有效单体的运动方程：

\\mu (\\ddot{r} 土耳其烤肉机+ r\\do广州起义路t{\\theta}) = -\\frac{GM\\mu}{r^2} ……(1)\\\\ \\mu (r\\ddot{\\theta} + 2\\dot{r} \\dot{\\theta}) = 0……(2)

其实就是假设运动平面是xy面，然后写出r方向和 \\theta 方向的牛顿运动方程。对这两个公式积分我们就能发现，(1)就是机械能守恒，而(2)就是角动量守恒。

将(2)变形一下： \\frac{\\mu}{r}\\frac{d}{dt}(r^2\\dot{\\theta}) = 0 \\Rightarrow \\mu r^2\\dot{\\theta} = Constant

而角动量 \\vec{L} = m_1 \\vec{r}_1 \\times \\vec{v}_1 + m_2 \\vec{r}翻牌游戏_2 \\times \\vec{v}_2\\\\ =\\m疱疹性咽峡炎u \\vec{r} \\times \\vec{v} = \\mu \\vec{r} \\times \\frac{d \\vec{r}}{dt}\\\\ =\\mu \\vec{r} \\times \\frac毕业设计开题报告{d}{dt}(\\hat{r} dr + \\hat{\\theta}rd\\theta)\\\\ \\Rightarrow L = \\mu r^2 \\dot{\\theta} \\Rightarrow r^2\\dot{\\theta} = \\frac{L}{\\mu}

波希米亚人

为了研究EOB的运动轨迹，我们要想办法消去时间项。

一种方法是设 \\beta = \\frac{1}{r} 那么：

\\dot{r} = \\frac{dr}{d\\beta}\\frac{d\\beta}{d\\theta}\\frac{d\\theta}{dt} = -\\frac{\\dot{\\theta王宝强离婚事件}}{\\beta^2}\\frac{d\\beta}{d\\theta} = -\\frac{L}{\\mu}\\frac{d\\beta}{d\\theta} \\\\ \\ddot{r} = \\frac{d}{d\\theta}(-\\frac{L}{\\mu}\\frac{d\\beta}{d\\theta})\\frac{d\\theta}{dt} = -\\frac{L^2}{\\mu^2}\\bet在职研究生考试时间a^2 \\frac{d^2\\beta}{d\\theta^2}

代入(1)式消去dt就得到了牛顿引力下的比奈公式：

\\frac{d^2\\beta}{d\\theta^2} + \\beta = \\frac{GM\\mu^2}{L^2}

求解这个方程就得到了EOB的轨道：

\\beta = Acos(\\theta - \\theta_0)+\\frac{GM\\mu^2}{L^2} \\\\ \\Rightarrow r = \\frac{L^2/GM\\mu^2}{1 + (AL^2/GM\\mu^2)cos(\\theta-\\theta_0)}

或是直接从机械能守恒的公式出发，做一个变换：

\\dot{r} = \\frac{dr}{d\\theta}\\dot{\\theta} = \\frac{L}{\\mu r^2}\\dot{\\theta}

代入机械能守恒式子中，消去dt，得到 dr/d\\theta ：

\\frac{dr}{d\\theta} = \\frac{\\mu r^2}{L}\\sqrt{2GMr + \\frac{2Er^2}{\\mu}-\\frac{L^2}{\\mu^2}}

这个解出来就是：

r = \\frac{L^2/GM\\mu^2}{1 + \\sqrt{1+\\frac{2EL^2}{G^2M^2\\mu^3}}cos(\\theta-\\theta_0)}

还有一种方法就是利用隆格楞次(Runge-Lenz)矢量 \\vec{B}=\\vec{v}\\times \\vec{L} - GM\\mu\\hat{r} 是个常矢量的性质，这里不表了。进销存

对比上述公式和圆锥曲线的公式 r = \\frac{p}{1+ecos\\theta} ，我们便证明了牛顿万有引力框架下，EOB的运动是圆锥曲线。而总能量，E >0, =0, <0, 分别对应了双曲线，抛物线和椭圆的轨道。

假设E<0，即椭圆轨道，那么轨道的半长轴 华罗庚优选法a = p(1-e^2)^{-1} = \\frac{GM笔记本品牌推荐\\mu}{2喷嘴设计|E|}

以及偏心率 e=\\sqrt{1+\\frac{2EL^2}{G^2M^2\\mu^3}}

参考资料

<自学日语;理论力学教程> 周衍柏 高等教育出版社

<新概念物理教程 力学> 赵凯华&罗蔚茵 高等教育出版社

下期预告：Hamiltonian与正则方程