解析函数
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2023年3月17日发(作者：物流师职业资格证书)求函数解析式的九种常用方法
一、换元法
已知复合函数f[g（x）]的解析式，求原函数f（x）的解析式，把g（x）看成一个整体t，
进行换元，从而求出f（x）的方法。
例1已知f（
x
x1
）=
xx
x11
2
2
，求f（x）的解析式.
解：设
x
x1
=t，则x=
1
1
t
（t≠1），
∴f（t）=
1
1
1
)
1
1
(
1)
1
1
(
2
2
tt
t
=1+2)1(t+（t－1）=t2－t+1
故f（x）=x2－x+1（x≠1）.
评注:实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域.
二、配凑法
例2已知f（
x
+1）=x+2
x
，求f（x）的解析式.
解：f（
x
+1）=2)(x+2x+1－1=2)1(x－1，
∴f（
x
+1）=2)1(x
－1（x+1≥1），将x+1视为自变量x，则有
f（x）=x2－1（x≥1）.
评注:使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错.
三、待定系数法
已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而
求出函数解析式的方法。
例3已知二次函数f（x）满足f（0）=0，f（x+1）=f（x）+2x+8，求f（x）的解析式.
解：设二次函数f（x）=ax2+bx+c，则f（0）=c=0①
f（x+1）=a2)1(x+b（x+1）=ax2+（2a+b）x+a+b②
由f（x+1）=f（x）+2x+8与①、②得
8
22
ba
bba
解得
.7
,1
b
a
故f（x）=x2+7x.
评注:已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式.
四、消去法（方程组法）
例4设函数f（x）满足f（x）+2f（
x
1
）=x（x≠0），求f（x）函数解析式.
分析：欲求f（x），必须消去已知中的f（
x
1
），若用
x
1
去代替已知中x，便可得到另一个方程，联立方程
组求解即可.
解：∵f（x）+2f（
x
1
）=x（x≠0）①
由
x
1
代入得2f（x）+f（
x
1
）=
x
1
（x≠0）②
解①②构成的方程组，得f（x）=
x3
2
－
3
x
（x≠0）.
评注：方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点，构造另一个方程
练习：已知定义在R上的函数满足，求的解析式。
五、特殊值法
例5设是定义在R上的函数，且满足f（0）=1，并且对任意的实数x，y，有
f（x－y）=f（x）－y（2x－y+1），求f（x）函数解析式.
分析：要f（0）=1，x，y是任意的实数及f（x－y）=f（x）－y（2x－y+1），得到
f（x）函数解析式，只有令x=y.
解：令x=y，由f（x－y）=f（x）－y（2x－y+1）得
f（0）=f（x）－x（2x－x+1），整理得f（x）=x2+x+1.
练习：已知函数的定义域为R，并对一切实数x，y都有，
求的解析式。
六、对称性法
即根据所给函数图象的对称性及函数在某一区间上的解析式，求另一区间上的解析式.
例6已知是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x－x2，求f（x）函数解析式.
解：∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴y=f（x）的图象关于原点对称.
当x≥0时，f（x）=2x－x2的顶点（1，1），它关于原点对称点（－1，—1），
因此当x<0时，y=2)1(x－1=x2+2x.故f（x）=
xx
xx
2
2
2
2
评注:对于一些函数图象对称性问题,如果能结合图形来解,就会使问题简单化.
x≥0，
x＜0.
七、函数性质法
利用函数的性质如奇偶性、单调性、周期性等求函数解析式的方法。
例6.已知函数是R上的奇函数，当的解析式。
解析：因为是R上的奇函数，
所以，
当，
所以
八、反函数法
利用反函数的定义求反函数的解析式的方法。
例7.已知函数，求它的反函数。
解：因为，
反函数为
九、“即时定义”法
给出一个“即时定义”函数，根据这个定义求函数解析式的方法。
例8.对定义域分别是的函数，规定：函数
若，写出函数的解析式。