分式思维导图
描写雪的唯美诗句-飞机剪影
2023年3月17日发(作者：审计工作总结)王老师数与式思维导图用心整理，利人利己
王老师数与式思维导图用心整理，利人利己
一．【考点梳理】
考点一、实数的分类
1.按定义分类：
2.按性质符号分类：
有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如（m，n是整数n≠0）”的数叫有理数．
无理数：无限不循环小数叫无理数．
实数：有理数和无理数统称为实数．
要点诠释：
常见的无理数有以下几种形式：
正整数
自然数
整数
零
有理数有限小数或无限循环小数
负整数
实数
正分数
分数
负分数
正无理数
无理数无限不循环小数
负无理数
正整数
正有理数
正实数
正分数
正无理数
实数零
负整数
负有理数
负实数
负分数
负无理数
n
m
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（1）字母型：如π是无理数，等都是无理数，而不是分数；
（2）构造型：如2.10…（每两个1之间依次多一个0）就是一个无限不循环的小数；
（3）根式型：…都是一些开方开不尽的数；
（4）三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等.
考点二、实数的相关概念
1.相反数
（1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0；
（2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数；
（3)互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数a+b=0.
2.绝对值
（1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
可用式子表示为：
（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．距离是一个非负数，所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的
本质，即绝对值是一个非负数．
用式子表示：若a是实数，则|a|≥0．
要点诠释：
若则则表示的几何意义就是在数轴上表示数a与数b的点之间的距离.
3.倒数
（1)实数的倒数是；0没有倒数；
（2)乘积是1的两个数互为倒数．a、b互为倒数.
4.平方根
24
、
3256、、，
)0(
)0(0
)0(
aa
a
aa
a
,aa
0a；
-,aa
0a；
-ab
(0)aa
a
1
1ab
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（1)如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有
平方根．a（a≥0）的平方根记作．
（2)一个正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根．a（a≥0）的算术平方根记作．
5.立方根
如果x3=a，那么x叫做a的立方根．
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根仍是0．
考点三、实数与数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可．
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．
要点诠释：
（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度.
（2）实数和数轴上的点是一一对应的.
考点四、实数大小的比较
1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.
2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数；绝对值大的反而小.
3.对于实数a、b，若a-b>0a>b；a-b=0a=b；a-b<0a 4.对于实数a，b，c，若a>b，b>c，则a>c. 5.无理数的比较大小： 利用平方转化为有理数：如果a>b>0，a2>b2a>b； 或利用倒数转化：如比较与. 要点诠释： 实数大小的比较方法：（1）直接比较法：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小.（2）数轴法：在数 轴上，右边的数总比左边的数大. 考点五、实数的运算 a a ba 417154 王老师数与式思维导图用心整理，利人利己 1.加法 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的 绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数． 满足运算律：加法的交换律a+b=b+a，加法的结合律(a+b)+c=a+(b+c)． 2.减法 减去一个数等于加上这个数的相反数． 3.乘法 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数 为0，积就为0． 乘法运算的运算律：（1）乘法交换律ab=ba；（2）乘法结合律(ab)c=a(bc)；（3）乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac． 4.除法 （1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数． （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0． 5.乘方与开方 （1)求n个相同因数的积的运算叫做乘方，a所表示的意义是n个a相乘. 正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数． （2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方． （3)零指数与负指数0 1 1(0)(0).p p aaaa a ≠，≠ 要点诠释： 加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算．这三级运算的顺序是三、二、一．如果有括号，先算括号内的；如果没有括 号，同一级运算中要从左至右依次运算． 考点六、有效数字和科学记数法 一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的 数字，都叫做这个近似数的有效数字．精确度的形式有两种：（1）精确到哪一位；（2）保留几个有效数字. 把一个数用±a×10（其中1≤＜10，n为整数）的形式记数的方法叫科学记数法． 要点诠释： n n 王老师数与式思维导图用心整理，利人利己 （1）当要表示的数的绝对值大于1时，用科学记数法写成a×10，其中1≤＜10，n为正整数，其值等于原数中整数部分的数位减去1； （2）当要表示的数的绝对值小于1时，用科学记数法写成a×10，其中1≤＜10，n为负整数，其值等于原数中第一个非零数字前面所用零 的个数的相反数（包括小数点前面的零）. 二．【考点梳理】 考点一、整式 1.单项式 数与字母的积的形式的代数式叫做单项式．单项式是代数式的一种特殊形式，它的特点是对字母来说只含有乘法的运算，不含有加减运算．在 含有除法运算时，除数(分母)只能是一个具体的数，可以看成分数因数．单独一个数或一个字母也是单项式． 要点诠释： （1）单项式的系数是指单项式中的数字因数． （2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和． 2.多项式 几个单项式的代数和叫做多项式．也就是说，多项式是由单项式相加或相减组成的． 要点诠释： （1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项． （2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数． （3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式． （4）把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的 指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列． 3.整式 单项式和多项式统称整式． 4.同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项． 5.整式的加减 整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用． 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变. 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来 的符号相反. 整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. na na 王老师数与式思维导图用心整理，利人利己 6.整式的乘除 ①幂的运算性质： ②单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． ③单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达： ④多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子 表达： 平方差公式： 完全平方公式： 在运用乘法公式计算时，有时要在式子中添括号，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号， 括到括号里的各项都改变符号. ⑤单项式相除：两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因 式． ⑥多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 要点诠释： （1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的有理数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 王老师数与式思维导图用心整理，利人利己 即mnpmnpaaaa （ ,,mnp 都是正整数）. （3）公式()mnmnaa的推广：(())mnpmnpaa(0a， ,,mnp 均为正整数) （4）公式()nnnabab的推广：()nnnnabcabc( n 为正整数). 考点二、因式分解 1.因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解． 2.因式分解常用的方法 （1）提取公因式法： )(cbammcmbma （2）运用公式法： 平方差公式：))((22bababa；完全平方公式：222)(2bababa （3）十字相乘法：))(()(2bxaxabxbax 3.因式分解的一般步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； （2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法； （3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法； （4）最后考虑用分组分解法及添、拆项法. 要点诠释： （1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到每个因式都不能再分解为止． （4）十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”，二次项系数 a 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最 王老师数与式思维导图用心整理，利人利己 后结果不要忘记把提出的负号添上. 三．【考点梳理】 考点一、分式的有关概念及性质 1．分式 设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义. 2.分式的基本性质 （M为不等于零的整式）. 3．最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点诠释： 分式的概念需注意的问题： (1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用； （2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0； （3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断． （4）分式有无意义的条件：在分式中， ①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B≠0． ②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0． ③当B≠0且A=0时，分式的值为零． 考点二、分式的运算 1．基本运算法则 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: 王老师数与式思维导图用心整理，利人利己 （1）加减运算±= 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ； 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算. （2）乘法运算 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘. （4）乘方运算（分式乘方） 分式的乘方，把分子分母分别乘方． 2．零指数. 3．负整数指数 4．分式的混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的． 5．约分 把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分． 6．通分 王老师数与式思维导图用心整理，利人利己 根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分． 要点诠释： 约分需明确的问题： (1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等； (2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、 分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积． 通分注意事项： (1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积． (2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉． (3)确定最简公分母的方法： 最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； 最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积. 考点三、分式方程及其应用 1．分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法 解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程． 3．分式方程的增根问题 验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即 为增根，不为0，就是原方程的解． 4．分式方程的应用 列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、 用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、 解释结果的合理性． 王老师数与式思维导图用心整理，利人利己 要点诠释： 解分式方程注意事项： （1）去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆； （2）解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的 解． 列分式方程解应用题的基本步骤： (1)审——仔细审题，找出等量关系； (2)设——合理设未知数； (3)列——根据等量关系列出方程； (4)解——解出方程； (5)验——检验增根； (6)答——答题． 考点四、二次根式的主要性质 1.； 2.； 3.2 (0) || (0) aa aa aa ； 4.积的算术平方根的性质：(00)ababab，； 5.商的算术平方根的性质： (00) aa ab b b ， . 6.若0ab，则ab. 0(0)aa 2 (0)aaa 王老师数与式思维导图用心整理，利人利己 要点诠释： 与的异同点： （1）不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在 中，而中a可以是正实数，0，负实数．但与都是非负数，即，．因而它的运算的结果是有差别的， ，而 （2）相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义， 而. 考点五、二次根式的运算 1．二次根式的乘除运算 (1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号. (2)注意知道每一步运算的算理； 2．二次根式的加减运算 先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质； 3．二次根式的混合运算 (1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的； (2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同 样适用. 要点诠释： 怎样快速准确地进行二次根式的混合运算. 1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的； 王老师数与式思维导图用心整理，利人利己 2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用； 3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果. (1)加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于理解和掌握.在运算过程中， 对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简. 例如 8 26 27 ，没有必要先对 8 27 进行化简，使计算繁琐，可以先根据乘法分配律进行乘法运算， 884 2662623 27273 ，通过约分达到化简目的； (2)多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用. 如：22 3232321，利用了平方差公式. 所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化.