正多边形和圆

正多边形和圆

事业单位登记管理暂行条例-接触器型号规格

2023年3月16日发(作者：竖笛练习曲)

正多边形与圆及正多边形的画法

内容：1．正多边形和圆的有关概念：正多边形的外接圆，正多边形的中心，•正多

边形的半径，正多边形的中心角，正多边形的边心距．

2．在正多边形和圆中，圆的半径、边长、边心距中心角之间的等量关系．

3．正多边形的画法．

问题：1．什么叫正多边形？

2．从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、•中心对称

吗？其对称轴有几条，对称中心是哪一点？

1．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．

2．实例略．正多边形是轴对称图形，对称轴有无数多条；•正多边形是中心

对称图形，其对称中心是正多边形对应顶点的连线交点．

探究：如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆心，过点到顶点的连线为半径，

能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，如图，•

正六边形ABCDEF，连结AD、CF交于一点，以O为圆心，OA为

半径作圆，那么肯定B、C、•D、E、F都在这个圆上．

因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等

的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多

边形的外接圆．

我们以圆内接正六边形为例证明．

如图所示的圆，把⊙O•分成相等的6•段弧，依次连接各分点得到六边ABCDEF，

下面证明，它是正六边形．

根据正多边形的定义，各边相等、各角相等、六边形ABCDEF是⊙O的内接正六

边形，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆．

为了今后学习和应用的方便，•我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个

多边形的中心．

外接圆的半径叫做正多边形的半径．

正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．

中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

例1．已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，•求正六边形的周长

和面积．

例2．利用你手中的工具画一个边长为3cm的正五边形．

例3．在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为

AB，顶点C在半圆圆周上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC•的

矩形水池DEFN，其中D、E在AB上，如图24-94的设计方案是使AC=8，BC=6．

（1）求△ABC的边AB上的高h．

（2）设DN=x，且

hDNNF

hAB





，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？

（3）实际施工时，发现在AB上距B点1．85的M处有一棵大树，问：这棵大

树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，

使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．

h

F

DE

C

B

A

N

G

F

DE

C

B

A

O

M

课时作业

1．如图1所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（）．

A．60°B．45°C．30°D．22．5°

(1)(2)(3)

2．圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是（）．

A．36°B．60°C．72°D．108°

3．若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，•则这段弧所对的圆心角

为（）

A．18°B．36°C．72°D．144°

4．已知正六边形边长为a，则它的内切圆面积为_______．

5．在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB于D，

如图2所示，若AC=6，则AD的长为________．

6．四边形ABCD为⊙O的内接梯形，如图3所示，AB∥CD，且CD为直径，•如果⊙O

的半径等于r，∠C=60°，那图中△OAB的边长AB是______；△ODA的周长是

_______；∠BOC的度数是________．

7．等边△ABC的边长为a，求其内切圆的内接正方形DEFG的面积．

8．如图所示，•已知⊙O•的周长等于6



cm，•求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF

的面积．

9．如图所示，正五边形ABCDE的对角线AC、BE相交于M．

（1）求证：四边形CDEM是菱形；

（2）设MF2=BE·BM，若AB=4，求BE的长．