圆内接正多边形

圆内接正多边形

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2023年2月18日发(作者：泡利不相容原理)

3.8圆内接正多边形

1．了解圆内接正多边形的有关概念；(重点)

2．理解并掌握圆内接正多边形的半径和边长、

边心距、中心角之间的关系；(重点)

3．掌握圆内接正多边形的画法．(难点)

一、情境导入

这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常

能看到的．你能从这些图案中找出正多边形来吗？

二、合作探究

探究点：圆内接正多边形

【类型一】圆内接正多边形的相关计算

已知正六边形的边心距为3，求正六边

形的内角、外角、中心角、半径、边长、周长和面

积．

解析：根据题意画出图形，可得△OBC是等边

三角形，然后由三角函数的性质，求得OB的长，

继而求得正六边形的周长和面积．

解：如图，连接OB，OC，过点O作OH⊥BC

于H，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC

＝

1

6

×360°＝60°，∴中心角是60°.∵OB＝OC，

∴△OBC是等边三角形，∴BC＝OB＝OC.∵OH＝

3，sin∠OBC＝

OH

OB

＝

3

2

，∴OB＝BC＝2.∴内角为

180°×（6－2）

6

＝120°，外角为60°，周长为

2×6＝12，S正六边形ABCDEF

＝6S△OBC

＝6×

1

2

×2×3＝

63.

方法总结：圆内接正六边形是一个比较特殊的

正多边形，它的半径等于边长，对于它的计算要熟

练掌握．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达

标训练”第11题

【类型二】圆内接正多边形的画法

如图，已知半径为R的⊙O，用多种工具、

多种方法作出圆内接正三角形．

解析：度量法：用量角器量出圆心角是120度

的角；尺规作图法：先将圆六等分，然后再每两份

合并成一份，将圆三等分．

解：方法一：(1)用量角器画圆心角∠AOB＝

120°，∠BOC＝120°；

(2)连接AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三

角形．

方法二：(1)用量角器画圆心角∠BOC＝120°；

(2)在⊙O上用圆规截取AC

︵

＝AB

︵

；

(3)连接AC，BC，AB，则△ABC为圆内接正三

角形．

方法三：(1)作直径AD；

(2)以D为圆心，以OA长为半径画弧，交⊙O

于B，C；

(3)连接AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三

角形．

方法四：(1)作直径AE；

(2)分别以A，E为圆心，OA长为半径画弧与⊙O

分别交于点D，F，B，C；

(3)连接AB，BC，CA(或连接EF，ED，DF)，

则△ABC(或△EFD)为圆内接正三角形．

方法总结：解决正多边形的作图问题，通常可

以使用的方法有两大类：度量法、尺规作图法；其

中度量法可以画出任意的多边形，而尺规作图只能

作出一些特殊的正多边形，如边数是3、4的整数倍

的正多边形．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩

固提升”第5题

【类型三】正多边形外接圆与内切圆的综合

如图，已知正三角形的边长为2a.

(1)求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积；

(2)根据计算结果，要求圆环的面积，只需测量

哪一条弦的大小就可算出圆环的面积？

(3)将条件中的“正三角形”改为“正方形”、

“正六边形”你能得出怎样的结论？

(4)已知正n边形的边长为2a，请写出它的内切

圆与外接圆组成的圆环的面积．

解析：正多边形的边心距、半径、边长的一半

正好构成直角三角形，根据勾股定理就可以求解．

解：(1)设正三角形ABC的中心为O，BC切⊙O

于点D，连接OB、OD，则OD⊥BC，BD＝DC＝

a.则S圆环＝π·OB2－π·OD2＝πOB2－OD2

＝π·BD2＝πa2；

(2)只需测出弦BC(或AC，AB)的长；

(3)结果一样，即S圆环＝πa2；

(4)S圆环＝πa2.

方法总结：正多边形的计算，一般是过中心作

边的垂线，连接半径，把内切圆半径、外接圆半径、

边心距，中心角之间的计算转化为解直角三角形．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩

固提升”第4题

【类型四】圆内接正多边形的实际运用

如图①，有一个宝塔，它的地基边缘是

周长为26m的正五边形ABCDE(如图②)，点O为

中心(下列各题结果精确到0.1m)．

(1)求地基的中心到边缘的距离；

(2)已知塔的墙体宽为1m，现要在塔的底层中

心建一圆形底座的塑像，并且留出最窄处为1.6m

的观光通道，问塑像底座的半径最大是多少？

解析：(1)构造一个由正多边形的边心距、半边

和半径组成的直角三角形．根据正五边形的性质得

到半边所对的角是

360°

10

＝36°，再根据题意中的

周长求得该正五边形的半边是26÷10＝2.6，最后由

该角的正切值进行求解；(2)根据(1)中的结论，塔的

墙体宽为1m和最窄处为1.6m的观光通道，进行计

算．

解：(1)作OM⊥AB于点M，连接OA、OB，

则OM为边心距，∠AOB是中心角．由正五边形性

质得∠AOB＝360°÷5＝72°，∴∠AOM＝36°.∵

AB＝

1

5

×26＝5.2，∴AM＝2.6.在Rt△AMO中，边

心距OM＝

AM

tan36°

＝

2.6

tan36°

≈3.6(m)．所以，地基

的中心到边缘的距离约为3.6m；

(2)3.6－1－1.6＝1(m)．

所以，塑像底座的半径最大约为1m.

方法总结：解决问题关键是将实际问题转化为

数学问题来解答．熟悉正多边形各个元素的算法．

三、板书设计

圆内接正多边形

1．正多边形的有关概念

2．正多边形的画法

3．正多边形的有关计算

本节课新概念较多，对概念的教学要注意从“形”

的角度去认识和辨析，但对概念的严格定义不能要

求过高．在概念教学中，要重视运用启发式教学，

让学生从“形”的特征获得对几何概念的直观认

识，鼓励学生用自己的语言表述有关概念，再进一

步准确理解有关概念的文字表述，促进学生主动学

习．所以在教学的过程中应尽量使用多媒体教学手

段.