不可积函数
无丝分裂-美国宪法全文
2023年3月16日发(作者：初三数学目录)第２５卷第２期
２００９牟４月
大
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ＣＯＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ
Ｖ０１．２５，№．２
Ａｐｒ．２００９
分段函数、函数的可积性与原函数存在性
马保国，王延军
（延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安７１６０００）
［摘要］论述了分段函数在数学分析中的作用，并以分段函数为工具，给出了函数的原函数存在和黎曼
可积之间的关系，有助于全面掌握原函数和定积分这两个重要概念．
［关键词］分段函数；可积性；原函数；间断点
［中图分类号］０１７４［文献标识码］Ｃ［文章编号］１６７２—１４５４（２００９）０２一０２００—０４
在一元函数积分学中，原函数（不定积分）和定积分概念，虽然它们建立的背景有很大的不同，但是，
当我们建立了微积分基本定理之后，就把二者联系起来了．于是，许多初学者就产生错觉，认为函数的原
函数存在，则函数就黎曼可积（简称可积）；或者函数可积，则其原函数就一定存在．在现行的数学分析教
材中，尽管也指出原函数存在和函数可积没有必然的联系，但由于教材篇幅和讲授学时的限制，对原函
数存在性和可积性间的关系，没有作一般性的讨论．本文以数学分析教材内容为基础，利用分段函数对
函数的原函数存在性和可积性作一些补充讨论，以帮助初学者弄清原函数存在性和可积性这两个重要
概念之间的相互关系．
１分段函数
众所周知，在数学分析中重点讨论的是有广泛应用的初等函数．对于非初等函数的讨论常出现在一
些重要概念和理论阔题的进一步剖析和讨论中，它的主要应用之一就是构造满足某些要求的反例，由此
对概念或定理进行辨析与阐述，分段函数就是这样一类重要的函数．如，狄利克莱函数、黎曼函数、符号
函数等就是这方面应用的典范．
所谓分段函数，是指在函数定义域的不同部分不是用一个解析式表示，而是用几个不同的解析式来
表达的函数，有时可能要用无穷多个解析式．分段函数一般定义为：设ｊ是一个区间，，在Ｊ上有意义且
满足
”（ｉ）Ｊ—ＵＪｆ，Ｉｆｎ
Ｊｊ＝够（ｉ≠Ｊ）；（ｉｉ）厂（ｚ）＝＾（ｚ），ｚ∈Ｊｉ，
ｉ＝ｌ，２，…，竹，
ｌ二Ｉ
则称．厂为Ｉ上的分段函数．
由于数学分析中遇的分段函数，每个＾都是，ｉ上的初等函数，所以和初等函数一样我们可以去讨
论它们的极限、连续、可微和可积等分析性质．由于这类函数在函数定义域的不同部分用不同的解析式
来表示的，所以它们经常具有某些独特的性态，这也正是我们所关注的．特别在函数解析表达式的分界
点处，是出现这类独特性态的敏感点，因而是讨论的重点．通过对分界点的讨论可以论证函数的一些典
型的或莺要的性质．
例如，为了强调函数在一点连续性是函数的局部性质，在数学分析中给出了黎曼函数，并证明它在
有理点处都不连续，在无理点处都连续．从而使学生对函数在一点连续的局部特征有更强烈的印象．
［收稿日期］２００６—１１一０２
［基金项目］陕西省第三轮高等教育教学改革项目（２００５～９５）；陕西省精品课程项目（２００６—５６）
万方数据
第２期马保国，等：分段函数、函数的可积性与原函数存在性２０１
概括地说，利用分段甬数可以强化数学分析中的一些基本概念；利用分段函数可以辨析函数的连续
性、可导性、可积性等之间的关系；利用分段函数可以构造具有某些特殊性质的函数；利用分段函数可以
解答数学分析中的一些疑难问题．
总之，分段函数是一类具有特殊性质的重要函数，在数学分析（乃至整个高等数学）中有重要应用和
地位［３’６］．在教学中，如果我们能充分的应用分段函数的特点，引导学生掌握基本概念和理论正面和反
面的意义，进而准确理解和掌握这些基本概念和理论，这对于提高数学分析教学效果是十分重要的．
２函数的可积性与原函数存在性
２．１函数的可积性与原函数存在性的基本结论
在数学分析教材中ｎ１，对区间［口，６］上的函数厂的可积性一般给出如下基本结果（定理１），通常称
为积分的充分条件（可积函数类）．
定理ｌ（ｉ）若函数厂在区间［ａ，６］上连续，则厂在区间［ｎ，６］上可积；
（ｉｉ）若有界函数厂在区间［口，胡上仅有有限个间断点，则，在［口，６］上可积；
（ｉｉｉ）若函数厂在区间［口。６］上单调，则厂在［ｎ，６］上可积．
根据定义，所谓／在某区间上原函数存在，是指在该区间上能找到一个函数Ｆ，使得在该区间上等
式Ｆ７（ｚ）＝，（ｚ）成立．对原函数的存在性，我们有
定理２若函数，在区间［口，６］上连续，则厂在区间［口，６］上原函数存在．
以上两个定理在数学分析教材中均有证明，这里不再赘述．进一步，对函数原函数的存在性，我们有
下列事实：
定理３（ｉ）若函数，在区间［口，６］上含有第一类间断点，则厂在［口，６］上不存在原函数；
（ｉｉ）若函数，在区间［口，６］上有无穷型间断点，则，在［ｎ，６］上不存在原函数；
（ｉｉｉ）若函数，在区间［口，６］上存在原函数，则厂在［ｎ，６］上的间断点是第二类的．
证
（ｉ）设ｚ。∈［口，６］是厂的第一类间断点，且，在区间［口，胡上存在原函数Ｆ，则Ｆ，（ｚ）一．厂（ｚ），
ｚ∈［口，６］．从而由导数的极限定理得
ｌｉｍ，（ｚ）一１ｉｍＦ７（ｚ）一Ｆ＋７（ｚｏ）一Ｆ７（ｚｏ）一厂（ｚｏ）．
一ｚ：ｚ—Ｉ：
同理
ｌｉｍ／（ｚ）一ｌｉｍＦ７（ｚ）＝Ｆ一７（ｚｏ）一Ｆ７（ｚｏ）＝．厂（ｚｏ）．
一ｚｉ—ｚ；
可见，，在ｚ。连续，矛盾．
（ｉｉ）设ｚ。∈ｋ，６］使得ｌｉｍ，（ｚ）一。。，且，在［Ｂ，胡上存在原函数Ｆ，于是有
’’～Ｆ，（ｚ。）一ｌｉｍ丛生型一ｌｉｍＦ，（ｚ）一。。，
Ｔ。’１０
Ｚ—ｚ０
ｐ‘。ｎ
这与Ｆ７（ｚ。）＝，（ｚ。）矛盾，故厂在［口，６］上不存在原函数．
（ｉｉｉ）若厂在［ｎ，６］上存在原函数，ｚ。∈［口，６］是，的间断点，由（ｉ），ｚ。不可能是，的第一类间断点，
从而只能是第二类间断点．
由以上的三个定理可见，有三类函数即连续函数、只有有限个间断点的有界函数和单调函数一定是
可积的；连续函数的原函数一定存在，含有第一类间断点的函数、含有无穷型的第二类间断点的函数一
定不存在原函数．
２．２可积函数的原函数存在性讨论
首先，第一类可积函数，即连续函数一定存在原函数（定理１）．这时，原函数可用变上限定积分来表
示．即若厂在［４，６］上连续，则Ｆ（ｚ）一Ｉ，（ｆ）ｄｆ是厂在［ｎ，６］上的一个原函数．
Ｊ４
其次，对于第二类可积函数，即只有有限个间断点的有界函数．由定理３（ｉｉ），若厂在区间［ｎ，６］上含
有第一类间断点，则／在［口，６］上不存在原函数；若厂在区间［ｎ，６］上含有无穷型第二类间断点，则厂在
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学第２５卷
［ｎ，６］上不存在原函数；若厂在区间［ｎ，６］上含有非无穷型第二类间断点，则厂在［口，６］上原函数存在性
不定．请看下面的例子．
例ｌ设厂（ｚ）＝｛：：三茎：：讨论函数，的可积性与原函数存在性．
解
因为ｌｉｍ厂（ｚ）＝ｌ≠ｌｉｍ厂（ｚ）＝ｏ，故ｚ＝０是厂的第一类间断点．当ｚ≠ｏ时，厂连续．因此，，
在任何包含原点的区间上均不存在原函数．但厂在任何包含原点的区间上是可积的．
例２设厂（ｚ）一ｊ５ｉｎｉ与＋ｓｇｎｚ’
ｚ≠ｏ’１’讨论函数／在［一１，１］的可积性与原函数存在性．
Ｉｏ，ｚ＝ｏ，１，
解
由于厂在［一１，１］上有界，且仅有一个第一类间断点ｚ—ｏ和一个第二类间断点ｚ一１，因此厂
在［一１，１］上可积．
，在［一１，１］上不存在原函数．事实上，假设／在［一１，１］上存在原函数Ｆ，则Ｆ７一，，但是，Ｆ７在
［一１，１］上存在第一类间断点ｚ—ｏ，这是不可能的．
例３设厂（ｚ）：．』２ｚｓｉｎ考一ｃ。８专’ｚ≠ｏ’讨论函数，在（一。。，＋ｏ。）上的原函数存在性．
【Ａ，ｚ＝ｏ，
解ｚ—Ｏ是函数厂的唯一一个问断点．因为
ｌｉｍ厂（ｚ）＝ｌｉｍｆ２ｚｓｉｎ土一ｃｏｓ土１
不存在，从而点ｚ＝Ｏ是函数厂的非无穷型的第二类间断点．
显然，当Ａ一０时，厂有原函数ｍ吖ｓ囊三
当Ａ≠ｏ时，，在含有原点的任何区间上均不存在原函数．
另外，显然函数，在任何包含原点的有限闭区间［ｎ，６］上是有界的，且只用一个间断点ｚ—ｏ．从而
厂在区间［Ⅱ，６］上可积．
该例说明，存在含有非无穷型第二类间断点的可积函数，它不存在原函数；同时，给出了一个不连续
的函数，既是可积的，又存在原函数．
最后，对于第ｉ类可积函数即单调函数．如果厂在闭区问［口，６］上单调且连续，则自然，在区间
［口，６］上存在原函数；如果厂在闭区间［口，６］上单调但不连续，那么，由于单调函数的间断点是第一类的，
根据定理３中的（ｉ），，在区间［ｎ，６］上不存在原函数．
例如，阶梯型函数厂（工）一［ｚ］（实际上是一分段函数），在整个实数轴上是单调递增的，有无穷多个
跳跃间断点，它不存在原甬数．
显然，若，在区间［盘，６］上连续，则／在区间［口，６］上可积；若厂在区间［口，６］上不连续，一般来说，
即使在区间［口，６］上厂的原函数Ｆ（ｚ）存在，厂在区间［盘，幻上也不一定可积．
例４设厂（ｚ）一ｊ２ｚｓｉｎ专一量ｃ。５孝’ｚ≠ｏ，则在闭区间［一１，１］上，，存在原函数，但不可积．
１ｏ，ｚ—ｏ，
解令Ｆ（ｚ）：ｊ，Ｓｉｎ专，ｚ≠ｏ’则当ｚ≠ｏ时，Ｆ，（ｚ）：２ｚｓｉｎ三一呈ｃ。ｓ去，又
０，ｚ一０，
ＺＺＺ
，．Ｆ（工）一Ｆ（Ｏ），．１ｌｍ————：一２ｌｌｍｚ一０工一Ｕ
』一Ｏ
所以，Ｆ是厂在［一ｌ，１］上一个原函数．
ｚ２ｓｉｎ土一。
一磐ｓｉｎ专一ｏ，』一ＯＺ
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第２期马保国，等：分段函数、函数的可积性与原函数存在性２０３
又，在［一１，１］上无界．事实上，对任意Ｍ＞ｏ，取九＝（［Ｍ］＋１）２，ｚ。一—喜二∈［一１，１］，有
Ｉ．厂（ｚｏ）Ｉ一——；兰＝＝ｓｉｎ２九丌一／２行丌ｃｏｓ２ｎ丌
／Ｚ刀７ｒ
＝２历磊＞厉一［Ｍ］＋１＞Ｍ．
因此，厂在［一１，１］上不可积．
我们来看一看Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ函数、Ｒｉｅｍａｎｎ函数的原函数存在性与可积性．
例５设。ｃｚ）＝｛：：三主霉耋萋’ｃ。ｉｒｉｃｈ・ｅｔ函数，，则它在任一有限区间上，。ｃｚ，既不存在原函
数，也不可积．
解事实上，任意实数都是Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ函数的非无穷型间断点。由于它不具有介值性，所以不存在原
函数；又知，可作二不相等的积分和，所以，Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ函数在任一有限区间上不可积．
例６设Ｒ（ｚ）：ｊ吉’＿一等’户、ｇ互素，ｑ＞ｐ’
（Ｒｉｅｍａｎｎ函数），则在［ｏ，１］上可积，但不存
ｏ，ｚ＝ｏ，１以及（ｏ，１）内的无理数
在原函数．
解事实上，尽管Ｒｉｅｍａｎｎ函数在无理点连续，在有理点不连续，它在［ｏ，１］上是可积的（证明见
［１］）．但Ｒｉｅｍａｎｎ函数不存在原函数（理由同Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ函数）．
Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ函数和Ｒｉｅｍａｎｎ函数的主要区别在于连续点的“数量”，前者的不连续点是不可数个，而
后者的不连续点是可数个．从而，导致了一个不可积，另一个可积．因为，黎曼积分本质上是连续函数的
积分，要使函数可积，它的连续点的数量就应该很多，多到是一个稠密集．
从上面的讨论可见，函数的可积性和原函数存在，是两个不同的概念。它们互不蕴涵．这就是说，可
积甬数既可能存在原函数，也可能不存在原函数；原函数存在的函数，有可能Ⅱ丁积，也可能不可积．当然
也存在既不可积，也不存在原函数的函数．
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Ｆｕｎｃｔｉｏｎ，Ｉｎｔｅｇｒａｂｉｌｉｔｙ
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７１６０００，Ｃｈｉｎａ）
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万方数据
分段函数、函数的可积性与原函数存在性
作者：马保国，王延军，MABao-guo，WANGYan-jun
作者单位：延安大学,数学与计算机科学学院,陕西,延安,716000
刊名：
大学数学
英文刊名：COLLEGEMATHEMATICS
年，卷(期)：2009，25(2)
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