实数的完备性
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2023年3月16日发(作者：厦门公交车爆炸)目录
摘要............................................................................................................................................1
关键词.......................................................................................................................................1
Abstract....................................................................................................................................1
KeyWords..............................................................................................................................1
前言............................................................................................................................................1
1预备知识..............................................................................................................................1
1.1关于确界的定义...........................................................................................................1
1.2极限的定义..................................................................................................................2
1.3区间套的定义..............................................................................................................2
1.4聚点的定义..................................................................................................................3
1.5有限覆盖的定义..........................................................................................................3
2关于实数完备性的基本定理.........................................................................................3
2.1确界定理......................................................................................................................3
2.2单调有界定理..............................................................................................................4
2.3区间套定理..................................................................................................................4
2.4聚点定理和致密性定理..............................................................................................5
2.5有限覆盖定理..............................................................................................................5
2.6柯西收敛准则..............................................................................................................5
结语............................................................................................................................................6
参考文献..................................................................................................................................6
关于实数完备性的基本定理
摘要：本文主要讨论了关于实数完备性的基本定理，包括确界定理、单调有
界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理和致密性定理、柯西收敛准则,
并举出相关实例以说明.
关键词：实数；完备性
BasicTheoremsofRealNumberCompleteness
Abstract:Thispapermainlydiscussesthebasictheoremsoncompletenessofreal,
includingtheoremofsupremum,monotoneboundedtheorem,theoremofnested
interval,finitecoveringtheorem,theoremofaccumulationpointandcompacttheorem,
Cauthyconvergencecriterion,andsomerelatedexamplestoillustrate.
KeyWords:Realnumber;Completeness
前言
数学分析的基础是实数理论.实数系最重要的特征是完备性和连续性，有了
实数的完备性和连续性，才能讨论极限，连续，微分和积分.正是在讨论函数的
各种极限运算的合法性的过程中，人们逐渐建立起严密的数学分析理论体系.数
学分析初于对实数完备性在理论体系上的严格化和精确化，从而确立了在整个自
然科学中的基础地位，并运用于自然科学的各个领域.
实数系的完备性是实数的一个重要特征，与之相关的六个基本定理是批次
等价的，并且是论证其他一些重要定理（如一致连续性定理等）的依据，他们从
不同的角度刻画了实数系的完备性，在理论上具有重要价值.
1预备知识
1.1关于确界的定义
设S为R中的一个数集.若存在数M(L)，使得对一切xS都有
()xMxL
，则称S为有上界（下界）的数集，数M(L)称为S的一个上界
（下界）.
若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集.若S不是有界集，则称S
为无界集.
设S是R中的一个数集.若数满足：
(i)对一切xS，有
x
，即是S的上界；
(ii)对任何
，存在
0
xS，使得
0
x，即又是S的最小上界，
则称
数为数集S的上确界，记作
supS
设S是R中的一个数集.若数满足：
(i)对一切xS，有
x
，即是S的下界；
(ii)对任何
，存在
0
xS，使得
0
x，即又是S的最大下界，
则称数为数集S的下确界，记作
infS
上确界与下确界统称为确界.
1.2极限的定义
设
n
a为数列,
a
为定数.若对任给的正数
，总存在正整数N，使得当
nN时有
||
n
aa
则称数列
n
a收敛于
a
，定数
a
称为数列
n
a的极限，并记作
lim
n
n
aa
，或()
n
aan，
读作“当n趋于无穷大时，
n
a的极限等于
a
或
n
a趋于
a
”.
1.3区间套的定义
设闭区间列{[,]}
nn
ab具有如下性质：
(i)
11
[,][,]
nnnn
abab
,n=1,2,…；
(ii)
lim()0
nn
n
ba
,
则称{[,]}
nn
ab为闭区间套，或简称区间套.
1.4聚点的定义
设S为数轴上的点集，为定点（它可以属于S，也可以不属于S）.若
的任何邻域上都含有S中无穷多个点，则称为点集S的一个聚点.
对于点集S，若点的任何
邻域上都含有S中异于的点，即
(;)oUS，则称为S的一个聚点.
若存在各项互异的收敛数列{}
n
xS，则其极限
lim
n
n
x
称为S的一个
聚点.
1.5有限覆盖的定义
设S为数轴上的点集，H为开区间的集合（即H的每一个元素都是形
如
(,)的开区间）.若S中任何一点都含在H中至少一个开区间内，则称
H为S的一个开覆盖，或称H覆盖S.若H中开区间的个数是无限（有限）
的，则称H为S的一个无限开覆盖（有限开覆盖）.
2关于实数完备性的基本定理
2.1确界定理
设S为非空数集.若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必
有下确界.
推广的确界原理：任一非空数集必有上、下确界（正常的或非正常的）.
例1设A,B为非空数集，满足：对一切xA和
yB
有
xy
.证明：数集A
有上确界，数集B有下确界，且
supinfAB
证由假设，数集B中任一数y都是数集A的上界，A中任一数x都是B
的下界，故由确界原理推知数集A有上确界，数集B有下确界.
对任何
yB
，y是数集A的一个上界，而由上确界的定义知，
supA
是
数集A的最小上界，故有
supAy
.而此式又表明数
supA
是数集B的一个下
界，故由下确界定义证得
supinfAB
.
2.2单调有界定理
在实数系中，有界的单调数列必有极限.
例2设
11
1...,1
2n
a
n
.证明:{}
n
a收敛.
证显然{}
n
a是递增数列.因为当2n时，
2n
a
1
1
2
…
1
(2)n
=
11
(1...)
3(21)n
+
11
(...)
2(2)n
<
11
(1...)
3(21)n
+
11
(...)
2(2)n
<
12
2
n
a
=
1
1
2
n
a
,
以及
2nn
aa，所以
1
1
1
1
2
n
a
故{}
n
a是有界的.根据单调有界定理可知数列{}
n
a是收敛的.
2.3区间套定理
若{[,]}
nn
ab是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点，使得
[,]
nn
ab，n=1,2,…，即
nn
ab，n=1,2,…
推论：若[,]
nn
ab(n=1,2,…)是区间套{[,]}
nn
ab所确定的点，则对任给
的0，存在N>0,使得当n>N时有
[,](;)
nn
abU
注：区间套定理中要求各个区间都是闭区间，才能保证定理的结论成立.
例3证明：若
()fx
在
[,]ab
上连续，则
()fx
在
[,]ab
上有界.
证假设
()fx
在
[,]ab
上无界，利用二分法总可找到一个闭区间无界得
{[,]}
nn
ab且满足：(1)
11
[,][,]
nnnn
abab
;
(2)
0()
2nn
n
ba
ban
;
(3)
()fx
在
[,]ab
上无界，
由区间套定理有
[,]ab
且
limlim
nn
nn
ab
.因为[,][,]
nn
abab，所
以
()fx
在处连续.于是，一方面由连续函数的局部有限性定理得
()U
使
()fx
在
()U上有界；另一方面由推论得0,,[,]()
nn
NnNabU，因
此
()fx
在[,]
nn
ab上有界，则与条件(3)矛盾，故得证.
2.4聚点定理和致密性定理
聚点定理：实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点.
致密性定理：任何有界数列必定有收敛的子列.
2.5有限覆盖定理
设H为闭区间
[,]ab
的一个（无限）开覆盖，则从H中可选出有限个开
区间来覆盖
[,]ab
.
注：(1)该结论只对闭区间
[,]ab
成立，而对开区间则不一定成立.
(2)若将订立中的H改为其他类型的区间集，则结论不一定成立.
(3)H开区间集，S闭区间，该结论才能成立.
例4S=
[0,1]
,
11
{(,)|}
1
HnN
nn
,H是否覆盖S？
解1nN，当1n时，尽管
1
0,1
n
，但
1
n
不属于H的任何开区间，
因此H不覆盖S.
解2
0
1
2
xS
1
,
2
H
H不覆盖S.
2.6柯西收敛准则
数列
n
a收敛的充要条件是：对任给的0，存在正整数N，使得当
n,m>N时有
||
nm
aa.
这个定理从根本上完全解决了数列极限的存在性问题.柯西收敛准则
的条件称为柯西条件，它表明：收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈是接
近，以至充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数.
结语：
关于实数完备性的六大基本定理是彼此等价的，因此对同一个有关问题都
有效.但是又由于各个基本定理的内容和角度都不一样，因此所作出的证明可以
很不相同.即使同一个基本定理，也可能有不同的方法，即使方法相同还可以有
不同的细节.我们认为，其中的新发现是无穷尽的，发现的精彩是无穷尽的.“数
学的理论是美妙的，引人入胜；数学的方法是精巧的，丰富多彩！”让我们悉心
于数学研究，尽情的享受数学之美吧！
参考文献：
[1]华东师范大学数学系.数学分析(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2010.
[2]华东师范大学数学系.数学分析(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2001.
[3]沐定夷.数学分析(第一版)[M].上海:上海交通大学出版社,1993.
[4]周性伟,刘立民.数学分析(第一版)[M].天津:南开大学出版社,1986.
[5]何琛,史济怀,徐森林.数学分析(第一版)[M].北京:高等教育出版社,1983.