泉州五中初二下奥数讲座(3) ——根与系数关系

2023年12月13日发(作者：)

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泉州五中初二下奥数讲座（3）——根与系数关系

班 号 姓名 供稿人：李锦扬

阅读与思考

6．对于一切不小于2的自然数n．关于x的一元二次方 根与系数的关系称为韦达定理，其逆定理也成立，22是由16世纪的法国数学家韦达所发现的．韦达定理形程x(n2)x2n0的两根记为an,bn(n2),则

式简单而内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用，主111要体现在：

1．求方程中字母系数的值或取值范围；

2．求代数式的值；

3．结合根的判别式，判断根的符号特征；

4．构造一元二次方程；

5．证明代数等式、不等式．

当所要求的或所要证明的代数式中的字母是某个一元二次方程的根时，可先利用根与系数的关系找到这些字母间的关系，然后再结合已知条件进行求解或求证，这是利用根与系数的关系解题的基本思路，需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的关系解题时，必须满足判别式△≥0．

能力训练A级

1．已知m，n为有理数，且方程x2mxn0有一个根是52，那么mn= ．

2．已知关于x的方程x23xm0的一个根是另一个根的2倍，则m的值为 ．

3．当m= 时，关于x的方程8x2(2m2m6)x2m10的两根互为相反数；

4．若关于未知数x的方程x2(m2)xm50的两根都是正数，则m的取值范围是 ．

5．关于x的方程x2(t2)x5t0的两个根都大于2，则t的取值范围是 ．

(a2)(b(a222)32)(b32)(a20192)(b20192)= ．

7．设x,x2212是方程x2(k1)x(k2)0的两个实根，且(x11)(x21)8，则k的值为（ ）

A．3或1 B．3

C．1 D．k12的一切实数

8．设x21,x2是方程xxn2mx的两个实数根，且x10,x23x10，则（ ）

A．m1n2 B．m1n2 C．m1n2 D．m1n2

9．设x21,x2是方程x2xk0的两个不等的实数根，则x221x22是（ ）

A．正数 B．零 C．负数 D．不大于零的数

10．如图，菱形ABCD的边长是5，两对角线交于O点，且AO，BO的长分别是关于x的方程

x2(2m1)xm230的根，那么m的值是（ ）

A．3 B．5

C．5或3 D．5或 3

11．已知关于x的方程：x2(m2)xm240．

（1）求证：无论m取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若这个方程的两个根是x1,x2，且满足x2x12,求m的值及相应的x1,x2．

12．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，过C点作CD⊥AB于D，设AD＝m，BD＝n，且AC2：BC2＝2：1；又关于x的方程14x22(n1)xm2120两实数根的差的平方小于192，求整数m、n的值．

13．已知m,n是正整数，关于x的方程x2mnx(mn)0有正整数解，求m,n的值．

14．设m是不小于1的实数，使得关于x的一元二次方程x22(m2)xm23m30有两个不相等实数根x1,x2．

（1）若x221x26，求m的值；

mx22（2）求1mx21x的最大值．

11x2

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