八年级数学专题讲座三 一元二次方程

2024年1月12日发(作者：)

八年级数学专题讲座三：一元二次方程

姓名 （2012-10）

【知识回顾】

1．灵活运用四种解法解一元二次方程：一元二次方程的一般形式:ax2bxc0(a0)

四种解法：直接开平方法，配方法，公式法， 因式分解法，公式法：

bb24ac2

x1,x2 (b4ac≥0)

2a注意：（1）一定要注意a0，填空题和选择题中很多情况下是在此处设陷进；

（2）掌握一元二次方程求根公式的推导;

（3）主要数学方法有：配方法，换元法，“消元”与“降次”.

2．根的判别式及应用(b4ac)：

(1)一元二次方程ax2bxc0(a0)根的情况：

①当0时，方程有两个不相等的实数根；

②当0时，方程有两个相等的实数根；

③当0时，方程无实数根.

④当0时，方程有两个实数根

(2)判定一元二次方程根的情况；

(3)确定字母的值或取值范围。

2一、课前小测试（每题10分，共100分）

1、下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）

Ａ．3x12x1 Ｂ．

221120

x2x22Ｃ．axbxc0 Ｄ．

x2xx1

22、一元二次方程axbxc0(a0)有两个不相等的实数根，则b4ac满足的条件．．．2是 （ ）

Ａ．b4ac＝0 Ｂ．b4ac＞0

Ｃ．b4ac＜0 Ｄ．b4ac≥0

3. 当a____________时，方程ax3x10是一元二次方程.

4. 已知x1是方程xax20的一个根，则方程的另一根为__________.

222222

5.一元二次方程x(x1)x的解是_____________.

6. 若关于x的一元二次方程ax2bxc0(a0)，且abc0，则方程必有一根为____________.

7. 用配方法解方程x4x20,则下列配方正确的是( )

A.(x2)22 B.(x2)22 C.(x2)22 D.(x2)26

8、若n（n0）是关于x的方程xmx2n0的根，则m+n的值为____________．

9、已知关于x的一元二次方程的一个根是1，写出一个符合条件的方程：

10、下列方程中，有两个不等实数根的是（ ）

A．x3x8

2222 B．x5x10

2C．7x14x70

2D．x7x5x3

二、典型题选讲

◆易错题

1、a、b、c分别是三角形的三边，则方程(a +

b)x + 2cx +

(a +

b)＝0的根的情况是（ ）

A．没有实数根 B．可能有且只有一个实数根

2 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根

2、已知方程3x22x14，则代数式12x28x3_____________.

3、写出一个既能直接开方法解，又能用因式分解法解的一元二次方程是_______________.

4、在实数范围内定义一种运算“”，其规则为aba(ab),根据这个规则，方程(x2)50的解为_________________.

25、如果关于x的一元二次方程kx2x10有两个实数根，则k的取值范围是_____________。

6、一元二次方程x(x1)x的解是_____________.

7、若abc0，则一元二次方程axbxc0有一根是（ ）

A. 2 B. 1 C. 0 D. －1

8、等腰三角形的底和腰是方程x-6x+8=0的两根，则这个三角形的周长是

◆常考题型

（一）、选取其当的方法解一元二次方程

22

①(3x2)(2x3)

2 ② x-2x-4=0

2③3（x-5）=x(5-x)

④(x+1)(x+8)=-12

2

⑤（2x-1）+3（2x-1）+2=0

⑥用配方法解方程:2xx10

（二）根的判别式综合题

1、.已知关于x的方程(m2)x22(m1)xm10，当m为何非负整数时：

(1)方程只有一个实数根； (2)方程有两个相等的实数根； (3)方程有两个不等的实数根.

222

2、已知a,b,c是三角形的三条边，求证：关于x的方程b2x2(b2c2a2)xc20没有实数根.

3、已知a,b,c是ABC的三条边长，且方程(a2b2)x22cx10有两个相等的实数根，试判断ABC的形状。

（三）应用题

●增长率问题

原来是a,增长的百分率为X，增长一次是 增长两次是

1、某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为 ▲ ．

2、某工厂一月份产值为50万元，采用先进技术后，第一季度共获产值182万元，二、三月份平均每月增长的百分率是多少?

● 图形面积问题

1、在一幅长80厘米，宽50厘米的矩形风景画的四周镶一条金色的纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400平方厘米，设金色纸边的宽为x厘米，那么满足的方程是( )

1301x4000A．x B．x

65x35001301x4000C

x D．x

65x35002、要在100m、宽90m的长方形绿地上修建宽度相同的道路，6块绿地的面积共8448平方米，求道路的宽？

2222

●单循环 双循环问题

归纳：x支球队 单循环赛比赛 场 双循环比赛 场

1、参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手66次,有多少人参加聚会?

2、要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排28场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?

3、初三毕业晚会时每人互相送照片一张,一共要90张照片,有多少人?

● 商品利润问题

总利润=单件利润×件数

某商店如果将进货价格为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现采取提高售价，减少进货量的方法，增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件，问应将售价定为多少元时可赚利润720元？

● 数字问题

有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字的和是6，如果把它的个位上的数字 与十位上的数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积就等于1008，求调换位置后得到的两位数。

四、思考题

1、已知x2+3x+5的值为11，则代数式3x2+9x+12的值为

2、已知a是方程x25x10的一个根，试求a24a5a21的值。

3、已知关于x的方程ax2bxc0有一个根为1，另一个根为-1，abc___,abc______，ac_____.

4、已知x2y24x6y130，x、y均为实数，求xy得值.

5、如果（(a2b2)(a2b25)6,求a2b2的值.

6、解方程：x1x2x3x4120

则