特级教师王盛裕老师数学竞赛讲座汇编

2024年3月28日发(作者：)

数学竞赛辅导讲座一

——数

1、 计算：111(12)(123)231(1232020)．

454545456565656565652n，那么n=_______． 2、 如果55555333223、 军训基地购买苹果慰问学员，已知苹果总数用八进制表示为abc，七进制表示为cba，那么苹果总数用十进制表示为_______．

4、 已知实数a满足|2006a|a2007a，那么a-20062的值是（ ）

A、2006

5、设分数

B、2007 C、2008 D、2009

n13(n13)不是最简分数，那么正整数n的最小值可以是（ ）

5n6 B、68 C、45 D、115 A、84

6、数272-1能被500与600之间的若干整数整除，试找出三个这样的整数，它们是________．

7、n是自然数，19n+14与10n+3都是某个不等于1的自然数d的倍数，则d=________．

8、设a A、24

71，则3a3+12a2-6a-12=（ ）

B、25 C、4710 D、4712

15159、已知a、b是正整数，且满足2ab是整数，则这样的有序数对（a，b）共有____对．

10、设n是大于1909的正整数，使得 A、3 B、4 C、5

n1909为完全平方数的n的个数有（ ）个

2009n D、6

11、设an表示数n4的末位数，则a1+a2+„+a2008=________．

12、如果对于某一特定范围内x的任意允许值，p=|1-2x|+|1-3x|+„+|1-10x|为定值，则定值为（ ）A、2

13、若1

B、3 C、4 D、5

xyyzzx，则x=______．

,2,3xyyzzx1

14、试求|x-1|+|x-2|+|x-3|+„+|x-2009|的最小值．

15、已知p、q均为素数，且满足5p2+3q=59，则以p+3，1-p+q，2p+q-4为边长的三角形是（ ）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形

16、若x1、x2

、x3

、x4

、x5为互不相等的正奇数，满足

(2005-x1)(2005-x2)(2005-x3)(2005-x4)(2005-x5)=242，则x12+x22+x32+x42+x52的末尾数字是（ ）

A、1 B、3 C、5 D、7

17、在数1、2、3、„、2008、2009前面任意添加上“+”或“-”进行计算，所得可能的最小非负数是________．

18、设a、b、c为实数，xa2b至少有一个值（ ）

A、大于0 B、等于0 C、不大于0 D、小于0

23,yb22c6,zc22a2，x、y、z中19、今天是星期日，若明天算第1天，则第13+23+„+20093天是星期_____．

11,,20、当x分别取200920081,,1,2,2

1x2,2008,2009时，计算代数式值，将所得1x2B、1 C、0 D、2009 的结果相加，其和等于（ ）A、-1

21、已知四个互不相等的正数x、y、m、n中，x最小，n最大，且x：y=m：n，试比较x+n与y+m的大小，并证明你的结论．

22、计算：1212132231433411009999100．

23、设x>0，y>0，且xx2yy6x5y，求xxyy2xxy3y的值

24、求x21(4x)24的最小值．

25、设a、b、c为两两不相等的有理数，求证111为有理数．

222(ab)(bc)(ca)26、已知200927、设S1xy，且0

131980100，如果用记号[S]表示不超过S的最大整数，试求12

2

S．

28、已知x、y是整数，并且13|(9x+10y)，求证：13|(4x+3y)．

29、若a、b是整数，且7|(a+b)，7|(2a-b)，求证：7|(5a+2b)．

30、正整数p、q都大于1，且2p12q1都是整数，求p+q．

,qp31、当n是正整数时，n4-6n2+25是质数还是合数？证明你的结论．

32、已知a是自然数，问a4-3a2+9是质数还是合数？证明你的结论．

33、试求出一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同．

34、设a、b、c、d是正整数，并且a2+b2=c2+d2，证明a+b+c+d一定是合数．

35、你能找到三个正整数a、b、c，使得关系式(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)=3388成立吗？如果能找到，请举一例；如果找不到，请说明理由．

36、一个正整数a，若将其数字重新排列，可得到一个新的正整数b，如果a恰好是b的3倍，我们称a是一个“希望数”

（1）请你举例：“希望数”一定存在；

（2）请你证明：如果a、b都是“希望数”，则ab一定是729的倍数．

37、将自然数1、2、3、„、21这21个数，任意地放在一个圆周上，证明：一定有相邻的三个数，它们的和不小于33．

38、设x121，a是x的小数部分，b是-x的小数部分，求ab3ab的值．

3339、设a、b都是整数，求证：a，b，a2+b2，a2-b2中一定有一个被5整除．

40、若一个数能够表示成x2xy2y(x，y是整数)的形式，则称该数为“好数”

（1）试判断29是否为好数；

（2）写出80，81，„，100中的好数；

（3）如果m，n都是好数，证明mn也是好数．

41、有三堆小石子的个数分别是19、8、9，现在进行如下的操作：每次从三堆中的任意两堆中取出1个石子，然后把这两个石子都加到另一堆中，试问能否进过若干次这样的操作后，使得

（1）三堆的石子数分别是2、12、22？

22

3

（2）三堆的石子数都是12？

如能达到要求，请用最小的操作次数完成它，如不能达到，请说明理由．

注：每次操作可用如下方式表示，比如从第一、二堆中各取出一个石子，加到第三堆上，可表示为（19，8，9）→（18，7，11）等等．

42、求证2为无理数．

43、已知p为大于3的质数，证明p的平方被24除的余数是1．

44、已知M是一个四位的完全平方数，若将M的千位数字减少3而各位数字增加3可以得到另一个完全平方数，则M=_________．

45、在“□1□2□3□4□5□6□7□8□9”的小方格中填上“+”或“-”号，如果可以使其代数和为n，就称n是“可被表出的数”，否则，就称n是“不可被表出的数”（如1是可被表出的数，这是因为1+2-3-4+5+6-7-8+9是1的一种可被表出的方法）

（1）求证：7是可被表出的数，而8是不可被表出的数；

（2）求25可被表出的不同方法种数．

4

数学竞赛辅导讲座二

——式

1、 已知x为实数，则2008x2、 已知a+b+c=11与x2000的最大值是_______．

11113abc，则的值是____．

abbcca17bccaab3、 已知实数a，b，c满足(a+b)(b+c)(c+a)=0，且abc<0，则代数式abc的值是___．

|a||b||c|4、 已知a，b为实数，且ab=1，a≠1，设Mab11,N，则M-N=____．

a1b1a1b15、 a，b，c不全为0，满足a+b+c=0，a3+b3+c3=0，称使得an+bn+cn=0恒成立的正整数n为“好数”，则不超过2007的正整数中好数的个数为（ ）

A、2

6、设x B、1004 C、2006 D、2007

x21yy219，则xy21yx21=______．

abcabbcca，则|a||b||c||ab||bc||ca|7、设a，b，c的积为负数，和为正数，且xax3bx2cx1的值为（ ）

A、0 B、1 C、2 D、-1

8、若|x-a|=a-|x|(x≠0，a≠0)，则a22axx2a22axx2=（ ）

A、2a B、2x C、-2a D、-2x

9、若a，b为实数，满足111ba，则的值为（ ）

ababab

1C、

2

2A、-1 B、0 D、-2x

10、设a，b，c为互不相同的有理数，满足b2的a，b，c共有（ ）组

A、0

11、已知x B、1 C、2

3a2c2，则满足条件D、4

3

123,y123，则x12xyy=___________．

5

12、化简：A、1

2623

的结果是（ ）

B、3 C、2 D、4/

5x230xy51y213、分式的最小值是（ ）

x26xy11y2A、-5 B、-3 C、5 D、3

=_____． 14、非零实数a，b，c，x，y，z满足关系式xyzxyza(bb)(cc)(a)，则abcabcx(yy)(zz)(x)15、已知x，y，z为实数，若x2y21,y2z22,x2z22，则xy+yz+zx的最小值为（ ）

5A、

24

4

21B、 +3

2222

21C、-

22

1D、 -3

216、若aba2abb6，则ab=_____．

xyxy702217、若实数x，y满足，则xyxy=_______．

3x3y92xy18、设x，y为实数，代数式5x24y28xy2x4的最小值为_______．

b19、已知实数a，b，c满足abc7,abbcbc2160，则 的值等于_____．

a20、分解下列因式：

（1）(6x1)(2x1)(3x1)(x1)x

（3）2xxz4xy2xyz2xyyz

（5）2x7xy6y2xy12

（7）xxx1

212932（2）xx2ax1a

（4）xy(xy)

（6）2x1117x6

（8）ababab1

3322324223222244422

21、使mm7为完全平方数的正整数m的个数为__________．

22、若实数a满足aa3a232311123，则a=________．．

aaaa23、已知实数x，y满足xx22008yy220082008，则3x22y23x3y2007的值为（ ）

6

A、-2008 B、2008 C、-1 D、1

a5a42a3a2a25124、设a，则=________．

a3a225、设a，b，c，d都是正整数且a5b4,c3d2，求d-b的值．

26、若xyz1,x2y2z22,x3y3z33，求x4y4z4的值．

27、若a2b21,c2d21,acbd0，试求ab+cd的值．

28、已知x>y>z>0，求合适等式xyz+xy+yz+zx+x+y+z=1989的整数x，y，z的值．

29、已知一组数据4，-2，0，2，x的极差是10，求x的值．

30、设x1,x2,的最大值．

231、实数a，b满足a2a1,x19都是正整数，且满足x1x2x1995，求x12x22x1923612aa210b3b2，求a2b2的最大值．

32、计算：200820092010201112009．

23x26x533、当x变化时，求分式的最小值．

12xx1234、已知xyzu，

yzuzuxuxyxyz求xyyzzuux的值．

zuuxxyyz35、求证：（1）一个自然数的平方被7除的余数只能是0，1，4，2；（2）对任意正整数n，n(n2)(n4)(n6)不被7整除．

36、x1,x2,,xn为实数，x12x22xx2x21nxn2n，求证：x1x2xn．

22237、已知a，b，c均为正整数，且满足abc，有a为质数，求证：（1）b与c这两个数的乘积为偶数；（2）2(a+b+1)是完全平方数．

7

acab．38、设a，b，c均是不等于0的实数，且满足abbc及bcca，证明：

39、设实数x，y满足x222222x21y22y211，求x+y的值．

40、已知a，b，c为实数，证明(abc)2,(abc)2,(bca)2,(cab)2这四个代数式的值中至少有一个不小于abc的值，也至少有一个不大于abc的值．

41、设实数x，y，z同时满足x3y3x4,2y3z6y6,3z3x9z8，试求22222008(x1)22009(y1)22010(z1)2的值．

42、试求满足条件x4x3x2xy2y的整数对（x，y）．

43、如果实数a，b满足条件a2b21,|12ab|2a1b2a2，a+b的值是多少？

44、已知a，b，c为正数，满足下列条件

abc32„„„„①

bcacababc1„„„„②

bccaab4说明：以a,b,c为三边长的三角形可构成以个直角三角形．

8

数学竞赛辅导讲座三

——方程

1、方程|3x|+|x-2|=4的解的个数是（ ）

A、0 B、1 C、2 D、3

3mx2y32、以关于x，y的方程组的解为坐标的点（x，y）在第三象限，则符合条x3my9件的实数m的范围是（ ）

1A、m>

9 B、m<-2

1C、-2

91D、-

23、已知实数a>0，b>0，满足aa2008,b2b2008，则a+b的值是______．

ax22aa21的解为________． 4、关于x的方程x15、已知p是质数，且方程x2px444p0的两个根都是整数，则p=_____．

6、方程x36x25xy3y2的整数解（x，y）的个数是（ ）

A、0 B、1

2 C、3 D、无数多个

7、若a，b都是整数，方程axbx20080的两相异根都是质数，则3a+b的值是（ ）

A、100 B、400 C、700 D、1000

8、对于实数x，符合[x]表示不大于x的最大整数，例如[3.14]=3，[-7.59]=-8，则关于x的方程3x74的整数解有（ ）个

7A、4 B、3 C、2 D、1

9、已知a，b，c，d，e，f满足

bcdefacdefabdefabcef1abcdf1abcde14,9,16,,,，则

abcd4e9f16(a+c+e)-(b+d+f)的值为________．

10、方程|x|(x1)k0有三个不相等的实根，则k的取值范围是（ ）

1A、-

4

1B、0

4

1C、k>-

4

1D、k<

4

9

11、若整数m使得方程xmxm20060的根为非零整数，这样的整数m的个数为________．

12、设x1，x2是方程xx40的两根，则x135x2210=（ ）

A、-29 B、-19 C、-15 D、-9

2213、方程3x2xyy23x2y的非负整数解（x，y）的组数为（ ）

A、0 B、1 C、2 D、3

14、方程[2x][3x]8x7的所有实数解为_____________．

2115、对于实数u，v，定义一种运算“*”为：u*v=uv+v，若关于x的方程x*(a*x)=- 有两4个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值范围是____________．

16、小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，假设每辆18路公交车行驶速度一样，而且18路公交车总站每隔固定的时间发一辆车，那么发车间隔为几分钟？

17、不定方程5x-14y=11的最小正整数解是____________．

18、方程x2[x]30的解的个数是（ ）

A、1 B、2 C、3 D、4

2219、已知t是实数，若a，b是关于x 的一元二次方程x2tt10，的两个非负实根，则(a1)(b1)的最小值是________．

20、已知m，n是二次方程x1994x70的两根，那么

222(m21993m6)(n21995n8)等于（ ）

A、1 B、2 C、3 D、4

xyx2y1yz21、若实数x，y，z满足方程组2，则（ ）

y2zzx3z2xA、x+2y+3z=0

B、7x+5y+2z=0 C、9x+6y+3z=0 D、10x+7y+z=0

10

22、已知实数a，b，c，d，且a≠b，c≠d，若关系式

a2ac2,b2bc2,c2ac4,d2ad4同时成立，则6a+2b+3c+2d=__________．23、方程组2xyz1的正整数解（x，y，z）为_____________．

3328xyz124、方程2x25xy2y22007的所有不同的整数解共有_______组．

25、把三个连续的正整数a，b，c按任意次序（次序不同视为不同组）填入□x2+□x+□=0的三个方框中，作为一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项，使得方程至少有一个整数根的a，b，c有（ ）

A、不存在 B、有一组 C、有两组

2 D、多于两组

26、已知a，b，c为正数，关于x的一元二次方程axbxc0有两个相等的实数根，则方程(a1)x2(b2)x(c1)0的根的情况是（ ）

A、没有实根 B、有两个相等的实根 C、有两个不等实根 D、根的情况不确定

27、求方程2x27xy3y20的正整数解．

28、设x，y，z是都不为零的相异实数，且满足等式等式的值不可能是实数．

yzzxxy，试证明：此yzx9x229、解方程：x16

(x3)2230、满足方程x2y1的所有质数解（即x，y都是质数的解）是_______．

31、若xymn,xymn，求证：x22222222000y2000m2000n2000．

32、已知a>0，且b>a+c，证明方程axbxc0必有两个不同的实根．

33、解下列方程：

（1）2x9x14x9x20

22432

2 （2）(x3)(x1)82

44（3）(2x3x1)(2x5x1)9x

（4）11114

x2xx23x2x25x6x27x1221

11

40xx（5）

x1x1922 （6）111111x3x2

2x134、设a为整数，使得关于x的方程ax2(a5)xa70至少有一个有理根，试求方程所有可能的有理根．

35、已知正整数a，b，c满足a

36、当a，b为何值时，方程x22(1a)x(3a24ab4b22)0有实根．

37、m为有理数，试确定方程x4mx4x3m2m4k0的根为有理数．

38、当p1p22(q1q2)时，试证方程x2p1xq10和x2p2xq20中至少有一个方程有实根

39、周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明共有几个？

40、若关于x的方程222kxkx12只有一个解，求k的值．

x1xxx41、把最大正整数是31的连续31个正整数分成A，B两组，且10在A组，如果把10从A11组移到B组中，则A组中的各数的平均数增加 ，B组中各数的平均数也增加 ，问A组22中原有多少个数？

242、已知a>2，b>2，试判断关于x的方程x(ab)xab0与方程xabxab02有没有公共根，并说明理由．

43、求所有的实数k，使得关于x的方程kx(k1)x(k1)0的根都是整数．

44、设a，b，c为互不相等的非零实数，求证三个方程

2ax22bxc0,bx22cxa0,cx22axb0不可能有两个相等实根．

45、设△是整系数二次方程axbxc0的判别式，

（1）4，5，6，7，8五个数值中，哪几个能作为判别式△的值？分别写出一个相应的二次方程；

（2）请你从中导出一般规律——一切整数中怎样的整数值不能作为△的值，并给出理由

2

12

数学竞赛辅导讲座四

——不等式

1、 不等式x2|2x6|a对一切实数x都成立，则实数a的最大值为_____．

2、 满足A、4

132

x

265

的整数x的个数是（ ）

C、6 D、7 B、5

3、已知-1<2x-1<1，则21的取值范围是_______．

x104、已知关于x的不等式(2m-n)x-m-5n>0的解集为x< ，那么关于x的不等式mx>n(m≠0)7的解集为__________．

5、使关于x的不等式ax1ax成立的x的最大值是-1，则a的值是____．

26、关于x的不等式|2x-1|<6的所有非负整数解的和为_______．

116zxy2z537、若整数x，y，z满足不等式组xyzx，则x，y，z的大小关系是（ ）

32115yxzy24A、x

8、若a，c，d是整数，b是正整数，且满足a+b=c，b+c=d，c+d=a，那么a+b+c+d的最大值为（ ）

A、-1

9、若 B、-5 C、0

1D、1

的四个正数，则代数式a，b，c，d为乘积是a2b2c2d2abacadbcbdcd的最小值是（ ）

A、0 B、4 C、8 D、10

10、设实数x满足3x14x26x313，求2|x-1|+|x+4|的最小值．

23510

13

1x2x13（x为实数）11、求证：2．

3xx112、已知ab1，对于满足条件0≤x≤1的一切实数x，不等式

a(1-x)(1-x-ax)-bx(b-x-bx)≥0．

恒成立，当乘积ab取最小值时，求a，b的值

13、设x，y为实数，若x2xyy22,x2xyy2k，求k的取值范围．

2214、解关于x的不等式组3mx65mx．

mxx(12m)x8x2x915、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的点称为整点，试在二次函数y10105的图像上找出满足y≤|x|的所有整点（x，y），并说明理由．

116、已知0

4

14

数学竞赛辅导讲座五

——函数

1、在平面直角坐标系中有点A（-2，2）、B（3，2），C是坐标轴上的一点，若△ABC是直角三角形，则符合条件的点C有（ ）个

A、1 B、2 C、4 D、6

2、已知一次函数y=kx+b，kb<0，则这样的一次函数的图象必经过的公共象限有____个，即第_________象限．

k3、若反比例函数y= 的图像与一次函数y=ax+b的图像交于点A（-2，m）、B（5，n），则x3a+b=_______．

4、已知二次函数yx2xa的图像与x轴的两个不同交点到原点的距离之和不超过5，则a的取值范围是__________．

5、已知点A、B分别在一次函数y=x，y=8x的图像上，其横坐标分别为a，b（a>0，b>0），b若直线AB为一次函数y=kx+m的图像，则当 是整数时，满足条件的整数k的值共有（ ）

aA、1个 B、2个 C、3个 D、4个

6、一次函数y3x1与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内31作正方形ABCD，在第二象限内有一点P（a， ），满足S△ABP=S正方形ABCD，则a=________．

27、已知y，则y的最大值与最小值的差为（ ）

x14x（x，y均为实数） B、3 C、5 -3 D、6 -3 A、6 -3

8、把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数yxmxn的图像与x轴有两个不同交点的概率是（ ）

5A、

12

4B、

9

17 C、

36

1D、

229、过点P（-1，3）作直线，使它与坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以做（ ）

A、4条 B、3条

2 C、2条 D、1条

10、若关于x的函数y(a3)x(4a1)x4a的图像与坐标轴有两个交点，则a的值

15

为_______．

11、二次函数yax2bxc(a0)的图像经过（-1，2）且与x轴的交点的横坐标分别为x1，x（00，②4a-2b+c<0，③2a-b<0，④b2+8a>4ac，2-2

A、1 B、2 C、3 D、4

712、过原点的直线与反比例函数y=- 的图像交于A，C，自点A，C分别作x轴的垂线，x垂足分别为B，D，则四边形ABCD的面积等于______．

13、设抛物线yx2kx4与x轴有两个不同的交点（x1，0）、（x2，0），则下列结论中一定成立的是（ ）

A、x12x2217 B、x12x228 C、x12x2217 D、x12x228

14、一次函数y=kx+b的图像过点P（1，4），且分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B，O为坐标原点，△ABC的面积最小时，k，b的值分别是（ ）

A、-4，8 B、-4，4 C、-2，4 D、-2，-2

15、已知函数f(x)ax2c（a，c为实数），若-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤2，则f(8)的最大值是__________．

16、如果函数y=b的图像与函数yx3|x1|4x3的图像恰有三个交点，则b的可能值为_________．

17、若函数yx4x5(txt1)的最大值关于t的表达式ymax=______．

18、已知abc<0，则在图中的四个选项中，表示yaxbxc的图像可能是（ ）

y

x

O

O

y

y

x

O

x

O

A

B C D

222y

x

16

kk19、如图，两个反比例函数y1和y2（k1>k2>0）

xx在第一象限内的图像依次是曲线C1和C2，设点P在C1上，

PE⊥x轴于点E，交C2与点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，

则四边形PAOB的面积为（ ）

A、k1+k2

B、k1-k2 C、k1k2

k1D、

k2y

C1

D

B

P

A

O E

C2

x

20、在平面直角坐标系中，已知点（1，1）在坐标轴上找一点P，使△AOP为等腰三角形，求P点坐标．

21、设抛物线yx(2a1)x2a18625的图像与x轴只有一个交点．

4（1）求a的值；（2）求a323a．

22、已知直线y=b（b为实数）与函数y|x24x3|的图像至少有三个公共点，则实数b的取值范围．

k23、已知一次函数y=Ax+B与反比例函数y= 的图像交于点M（2，3），N（-4，m）

xk（1）求一次函数y=Ax+B与反比例函数y= 的解析式；

x（2）求△OMN的面积．

24、已知二次函数yx2mx2m(m0)的图像与x轴交于点A，B，它的顶点在以AB为直径的圆上

（1）证明：A，B是x轴上两个不同的交点；

（2）求二次函数的解析式；

（3）设以AB为直径的圆与y轴交于点C，D，求弦CD的长．

25、求满足下列条件的正整数n的所有可能值：对这样的n，能找到实数a，b，使得函数22f(x)12xaxb对任意整数x，f(x)都是整数．

n12x上的一个动点

426、如图，已知点M（0，1），N（0，-1），P是抛物线y（1）判断以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=-1的位置关系；

17

（2）设直线PM与抛物线的另一个交点为Q，连结NP，NQ，求证：∠PNM=∠QNM

y

M

Q

O

N

P

x

27、已知二次函数yx2bxc(c0)的图像与x轴的交点分别为A，B，与y轴的交点为C，设△ABC的外接圆的圆心为P．

（1）证明⊙P与y轴的另一个交点为定点；

（2）如果AB恰好为⊙P的直径且S△ABC=2，求b和c的值．

28、已知抛物线yx2pxq上有一点M（x0，y0）位于x轴的下方．

（1）求证：已知抛物线与x轴必有两个交点A（x1，0），B（x2，0），其中x1

（2）求证x1< x0

（3）若点M为（1，-2）时，求整数x1，x2的值．

18

数学竞赛辅导讲座六

——三角形

1、设△ABC的三边分别为a，b，c且ac8b4ab4bc0，则△ABC一定是（ ）

A、直角三角形 B、等边三角形 C、等腰三角形 D、钝角三角形

2222、△ABC的边a，b，c满足条件A、锐角 B、直角

211，则b边所对的∠B的大小是（ ）

bac C、钝角 D、锐角、直角、钝角都有可能

3、在锐角△ABC中，三个内角的读数都是质数，且最短边的长是1，则满足条件的互不全等的三角形的个数为（ ）

A、1 B、2 C、3 D、多于3

4、7条长度均为整数的线段a1,a2,,a7，满足a1a2a7，且这7条线段中的任意三条都不能构成三角形，若a1=1，a7=21，则a6=（ ）

A、18

5、A1A2A3 B、13 C、8 D、5

A9是一个正九边形，A1A2a,A1A3b，则A1A5等于（ ）

B、a2abb2

1 C、 (a+b)

2 D、a+b A、a2b2

6、在Rt△ABC中，∠C=90°，BC

1AB2，则∠A=（ ）

4D、25°

P7、如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60°的角，

在直线l上取一点P，使得∠APB=30°，则这样的点P有（ ）

A、3个 B、2个 C、1个 D、不存在

ABC8、在△ABC中，AB=AC=2，BC边上有100个不同的点P1,P2,P3,记miAPiBPiPCi(i1,2,A、100 B、200

,P100，

l,100)，则m1m2 C、300

m100=（ ）

BCD、400

D9、如图，在线段AE同侧作两个等边△ABC，△CDE（∠ACE<120°），

P，M分别是线段BE和AD的中点，则△PCM是（ ）

A、钝角三角形

PMB、直角三角形 C、等边三角形 D、非等腰三角形

AE19

10、在△ABC中，∠C=3∠A，a=27，c=48，则b等于（ ）

A、33 B、35 C、37 D、不确定

11、在△ABC中，AB=5，AC=12，BC=13，D，E在边BC上，满足BD=1，CE=8，则

∠DAE的度数为_______．

12、在Rt△ABC中，F是斜边AB的中点，D、E分别在CA、CB上，

满足∠DFE=90°，若AD=3，BE=4，则线段DE的长度为______．

13、如图，在正△ABC中，D、E分别在BC，CA上，使CD=AE，

QPAD与BE交于点P，BQ⊥AD于点Q，则 =______．

QBAEPQDC14、设P是边长为12的正△ABC内一点，过P分别作三条边BC、CA、AB的垂线，垂足为别为D、E、F，已知PD:PE:PF=1:2:3，那么四边形BDPF的面积是________．

15、如图，已知∠BAD=∠DAC=9°，AD⊥AE，且AB+AC=BE，则∠B=________．

AB

BDCAEBDC16、如图，在三角形ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，若BD=3，CD=2，

则S△ABC=________．

17、在△ABC中，AB=7，AC=11，M是BC边的中点，AD是∠BAC的平分线，MF∥AD，则FC的长是______．

18、在△ABC中，∠CAB=70°，∠CAB和∠ACB的平分线交于点I，若AC+AI=BC，则∠ACB=_____°．

19、在钝角△ABC中，∠A<∠B<∠C，∠A、∠C的外角平分线交对边延长线与D、E，且AD=AC=CE，则∠BAC的大小是__________．

20、在底角等于80°的等腰△ABC的两腰AB，AC上分别取点D、E使得∠BDC=50°，∠BEC=40°，则∠ADE=______．

21、已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE=AC，延长BE交AAC于F，求证：AF=EF．

EF

BDC

20

22、如图，以△ABC的AB、AC为斜边想形外作直角三角形ABD和ACE且使∠1=∠2，M是BC的中点，求证：BD=ME．

1BM2CDAE23、已知在△ABC中，∠A>90°，AD⊥BC，求证AC+AB

A

BDC24、在等腰三角形ABC一腰AB上取一点D，在另一腰AC的延长线上去CE=BD，连DE，A求证：DE>BC．

25、锐角△ABC中，BC

BHCMADBCE26、如图，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连结MN，形成一个三角形，求证：△AMN的周长等于2．

DBMNAC21

27、如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上一点，作DE⊥BC于E，若BE=AC，BD=0.5，DE+BC=1，求证：∠ABC=30°．

CEBAD128、如图，∠ABD=∠ACD=60°，∠ADB=90— ∠BDC，求证：△ABC是等腰三角形．

2A

D

C

B29、如图，在△ABC中，已知∠A=90°，AB=AC，D为AC中点，AE⊥BD，延长AE交BC于F，求证：∠ADB=∠CDF．

BFCAED30、如果P是等边三角形ABC内一点，PA=2，PB=23 ，PC=4，求正△ABC的边长．

31、如图，已知D、E、F分别是锐角△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且AD、BE、CF相交于点P，AP=BP=CP=6，设PD=x，PE=y，PF=z，若xy+yz+zx=28，求xyz的大小．

BDCFEPA

22

数学竞赛辅导讲座七

——四边形

1、在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=1，E为BC中点，对角线BD上的动点P到E、C两点距离之和的最小值为（ ）

3A、

4

3B、

33 C、

2 D、3

GHAEB2、如图，在凸四边形ABCD中，E、F分别是AB、DC的中点，

AF、DE交于点G，BF、CE交于点H，四边形EGFH的面积为10，

则△ADG与△BCH的面积和为（ ）

20A、

3 B、10 C、15 D、20

DFC3、矩形ABCD的边长AB=4，BC=8，将矩形折叠使点C与点A重合，则折痕EF的长为（ ）

A、32 B、25

15 C、

2

16D、

34、如图，在梯形ABCD中，∠D=90°，M是AB中点，若CM=6.5，BC+DC+DA=17，则梯形ABCD的面积为（ ）

A、20 B、30 C、40 D、50

DEFA5、在菱形ABCD中，∠ABC=120°，F是DC的中点，AF的延长线

交BC于点E，则直线BF与直线DE所夹的锐角的度数为（ ）

A、30° B、40° C、50° D、60°

BC6、如图，点A在平行四边形的对角线上，

试判断S1，S2之间的大小关系（ ）

A、S1=S2

C、S1

B、S1>S2

D、无法确定

S1S2Al1DA7、如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行线间的距离都等于h，

若正方形的四个顶点分别在四条直线上，则它的面积等于（ ）

A、4h

C、42 h2

2l2

B、5h

2

Bl3D、52 h2

Cl48、如图，已知∠A=∠B，AA1、PP1、BB1均垂直于A1B1，AA1=17，PP1=16，BB1=20，A1B1=12，则AP+PB=（ ）

A、12

A1P1BAP B、13 C、14 D、15

23

B2

49在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，若cosB= ，EC=2，

5P是AB上的一个动点，则线段PE长度的最小值是_______．

10、在四边形ABCD（如图）中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，

CBADEE是AD延长线上一点，若DE=AB=3，CE=42 ，则AD的长是_______．

11、在梯形ABCD中，AB∥CD，其底角∠DAB=36°，∠CBA=54°，M、N分别为边AB、CD的中点，若这个梯形的下底AB比其上底CD长2008，则线段MN=_______．

12、用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面，

设正多边形的变数分别为x、y、z，则A111=_______．

xyzD13、如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB=AC，DA=DB，

∠ADB=90°，则∠ACD的度数等于_______．

14、矩形ABCD内一点P到A、B、C、D的长分别为3，4，5，则PD的长为_____．

15、如图，△ABC中，∠BAC=120°，以AB、AC为边分别向形外做正三角形ABD和正三角形ACE，M为AD的中点，N为AE的中点，P为BC的中点，则∠MPN=_____°．

BPCDBCAMENADFMPQNBC16、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于F，M、N分别是AB、CD的中点，MN分别交BD、AC于P、Q，且∠FPQ=∠FQP，BD=10，则AC=______．

17、如图，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上的任意一点（可与点B或点C重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B’、C’、D’，求BB’+CC’+DD’的最大值和最小值．

DC

A

B1PD1BC124

18、如图，正方形ABCD被与两条边平行的线段EF、GH分割成四个小矩形，P是EF和GH的交点，若矩形PFCH的面积恰好是举行AGPE面积的2倍，试确定∠HAF的大小，并证明你的结论．

19、（1）如图(a)，已知四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，证明：BD+DC=AC；

（2）如图(b)，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，P为四边形ABCD内一点，且∠APD=120°，证明：PA+PC+PD≥BD．

A

AAEDGHBFC

BDPBDCC （a） （b）

20、在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=60°，AC平分∠DAB，E、F分别是对角线AC、BD的中点，且EF=a，求梯形面积．

ABEYDC25

21、分别以△ABC的边AC和BC为一边，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到边AB的距离是AB的一半．

ED

APCGFB22、如图，等腰梯形ABCD中，CD∥AB，对角线AC、BD相交于点O，∠ACD=60°，点S、P、Q分别是OD、OA、BC的中点，

（1）求证：△PQS是正三角形；（2）若AB=5，CD=3，求△PQS的面积；

（3）若△PQS的面积与△AOD面积的比是7：8，求梯形上下两底的比CD：AB．

ABPDSOQC23、正方形ABCD的边长为1，点F在线段CD上运动，AE平分∠BAF交边BC于点E，

（1）求证：AF=DF+BE；（2）设DF=x（0≤x≤1），△ADF和△ABE的面积的和S是否存在最大值？若存在，求此时x的值及S；若不存在，请说明理由．

24、在凹四边形ABCD中，它的三个内角∠A、∠B、∠C均为45°，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，证明：四边形EFGH是正方形．

A

26

HEDGBFC

，AC=5，∠DBC=30°，

的面积．

ABDC27

25、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD（1）求对角线BD的长度；（2）求梯形ABCD

数学竞赛辅导讲座八

A——相似形

1、在正三角形ABC的边BC、AC上分别有点E、F，且满足BE=CF=a，

aEC=FA=b（a>b），当BF平分AE时，则 的值为（ ）

bA、5-1

2 B、5-2

2 C、5+1

2

FBECD、5+2

22、设AD、BE、CF为△ABC的三条高，若AB=6，BC=5，EF=3，则线段BE的长为（ ）

18A、

5 B、4

21 C、

5

24D、

53、O是△ABC的外心，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，则OD：OE：OF=（ ）

111A、a：b：c B、 ： ： C、Cos A：CosB： CosC D、SinA：SinB：SinC

abc4、如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，

AB被截成三等分，则图中阴影部分面积为（ ）

A、4 B、23 C、33 D、43

5、在等腰直角三角形ABC的斜边AB上取两点M、N，使∠MCN=45°，

记AM=m，MN=x，BN=n，则以x、m、n为边长的三角形形状是（ ）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、随x、m、n的变化而变化

6、△ABC中，D、F分别在AC、BC上，且AB⊥AC，AF⊥BC，BD=DC=FC=1，则AC=（ ）

A、2 B、3

3 C、2

3D、3

7、Rt△ABC中，∠C=Rt∠，CD是斜边AB上的高，在BC和CA上分别取点E和F，使△EFD和△ABC相似，这样的△FED有（ ）个

A、1 B、2 C、3 D、多于3

8、设锐角△ABC的三条高AD、BE、CF相交于H，若BC=a，AC=b，AB=c，则AH·AC+BH·BE+CH·CF的值是（ ）

A、1122(abbcca) B、(a2b2c2) C、(abbcca) D、(a2b2c2)

22339、设D是△ABC的边AB上的一点，作DE∥BC交AC于点E，作DF∥AC交BC于点F，已知△ADE，△DBF的面积为m和n，则四边形DECF的面积为__________．

D

A28

aOFBb

10、如图，ABCD的对角线相交于O，在AB的延长线上任取一点E，

连结OE，交BC于F，若AB=a，AD=c，BE=b，则BF=___________．

11、已知△ABC为锐角三角形，其最大边AC上有一点P（P与A、C不重合），过P作直线l，使l截△ABC所得的三角形与原三角形相似，则这样的直线可以作______条．

12、正方形ABCD边长为1，M、N为BD所在直线上两点，且AM=5 ，∠MAN=135°，则四边形AMCN的面积为________．

NA

MADFEBCBDC113、如图，已知△ABC的面积为1，D为BC的中点，E、F分别在AC、AB上，且S△BDF= ，51S△CDE= ，则S△DEF=_________．

31114、△ABC中，∠C=90°，D、E分别为BC上的两点，且∠ABC= ∠ADC= ∠AEC，23若BD=11，DE=5，则AC=______．

15、如图，已知边长为abc的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形，其中a、b、c是整数，且b不能被任何质数的平方整除，则Aac=___________．

bC

BEFCDGABD16、如图，△ABC中，AB=2，AC=3 ，∠A=∠BCD=45°，则BC的长为______，△BDC的面积为______．

17、设CD是Rt△ABC斜边AB上的高，I1、I2分别是△ADC、△BDC的内心，AC=3，BC=4，求I1I2．

29

118、如图，在△ABC，D、E分别是AC、BC的中点，BF= AB，BD与FC相交于G，

3（1）求证：EG∥AC；

（2）求

19、已知线段AB，只用圆规把线段AB二等分．

20、分别以锐角△ABC的三边为边向外作正△ABC、正△BCE、正△CAF，三个正三角形的中心分别为O1、O2、O3，求证：△O1O2O3是正三角形．

21、如图，在ABCD中，P1、P2、„„、Pn-1分别是BD的n等分点，连结AP2并延长交BASSBFGBEG的比值．

DFGECBC于点E，连结APn-2并延长交CD于点F，

（1）求证：EF∥BD；

（2）若

P13ABCD的面积为S，且S△AEF=8 S，求n的值．

APn-2P2Pn-1FD

BEC

30

22、是否存在一个边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角是另一个内角的2倍的△ABC？证明你的结论．

23、如图，在直角梯形ABCD，∠ABC=∠BAD=90°，AB=16，对角线AC与BD交于点E，过E作EF⊥AB于点F，O为AB中点，且EF+EO=8，求AD+BC的值．

24、已知点D在△ABC的边BC上，且与B、C不重合，过D作AC的平行线DE交AB于E，作AB的平行线DF交AC于点F，又已知BC=5，

2①设△ABC的面积为S，若四边形AEDF的面积为 S，求BD的长；

5②若AC=2 AB，且DF经过△ABC的重心G，求EF两点间的距离．

25、如图，O是四边形ABCD对角线交点，已知∠BAD+∠BCA=180°，AB=5，AC=4，BO7AD=3， = ，求BC．

DO6

ODCEAOFBA

BDC31

数学竞赛辅导讲座九

——圆

1、如图，已知P是边长为a的正方形ABCD内一点，△PBC是等边三角形，

则△PAD的外接圆半径是（ ）

BAPDA、a B、2 a

3 C、 a

2

1D、 a

2C2、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则Sin∠CBE=（ ）

A、

BOCEO6

3A

2B、

3D

1 C、

3 D、10

10YAPBX3、如图，圆心在原点，半径为2的圆内有一点P（22 ， ），过P点作弦AB与劣弧AB22y组成一个弓形，则该弓形面积的最小值为（ ）

A、π-1 B、π-2

4 C、 π-1

3

4D、 π-3

3M4、如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴切与点Q，

与y轴交于点M（0，2），N（0，8），则点P的坐标是（ ）

A、（5，3） B、（3，5） C、（5，4） D、（4，5）

NOPxQ5、在底面直径是2，母线长为4的圆锥，若一只小虫子以点A出发，

绕侧面一周又回到点A，则它爬行的最短路线长是（ ）

A、2π B、 42 C、43 D、5

6、如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，则这条直线必经过这个三角形的（ ）

A、内心 B、外心 C、重心 D、垂心

C7、如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB切于点D，与直角边AC交于点E且，

DE∥BC，已知AE=22 ，AC=32 ，BC=6，则⊙O的半径是（ ）

A、3

OE B、4 C、43 D、23

A32

DB

DC8、如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，联结DP，

QCDP交AC于点Q，若QP=QO，则 =（ ）

QAA、23 -1 B、23 C、3 +2 D、3 +2

QAPOB9、如图，AB是半圆O的直径，半圆O的内接正方形CDEF的边长为1，AD=m，DB=n，那么

ACODBAODmn的值为________．

nmFEBC10、如图，AD是半圆的直径，AD=4，B、C为半圆上的两点，弦AB=BC=1，则弦CD的长为__________．

11、已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P，则点P到两圆的外公切线的距离为___________．

12、如图，从⊙O外一点M作圆的切线MA，切点为A，再作割线MBC，交⊙O于B、C两点，∠AMC的平分线交于AC于E，交AB于D，则

OEODBEC的值等于______．

ABACAADD

CBMBEC13、如图，在△ABC，AB=AC=5 ，BC=2，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，则△CDE的面积为_______．

14、已知O为△ABC的外心，AD为BC边上的高，∠CAB=66°，∠ABC=44°，则∠OAD=_________．

15、P是⊙O的直径AB的延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，∠APC的平分线交AC于Q，则∠PQC=_______．

33

16、2008年8月8日，第29届奥运会在北京举行，奥运五环旗象征着全世界人民的大团结，五环旗中，五个大小相等的环形环环相扣，三个环在上，两个环在下，五个环的中心联结成一个等腰梯形，构成一个喜庆、和谐、优美的轴对称图形．如图，假设O2O4=a，O1O5=2a，∠O1=，则等腰梯形O1O2O4O5的对角线O1O4的长为____________．

17、如图，OB是以（0，a）为圆心，a为半径的弦，过点B作⊙O1的切线，P为劣弧OB上的任一点，且过P分别作OB、AB、AO的垂线

（1）求证：PD2=PE·PF；

（2）当∠BOC=30°，点P为OB的中点时，求D、E、F、P四点坐标于S△DEF．

18、只用圆规，把一个已知圆的圆心四等分．

AFOEPBO2O4O1O3O5yDO1x19、如图，四边形ABCD内接于圆，AB=AD，其对角线交于点E，点F在线段AC上，使BE得∠BFC=∠BAD，若∠BAD=2∠DFC，求 的值．

DE

BEDCFA

34

20、如图，已知AB是⊙O的弦，过O作AB的平行线交⊙O于点C，交⊙O过点B的切线于D，求证：∠ACB=∠D．

21、如图，AB是半圆O的直径，C是AB的中点，M是弦AC的中点，CH⊥BM，垂足为H，求证：CH2=AH·OH．

22、AB是⊙O的一条弦，它的中点为M，过点M作一条非直径的弦CD，过点C和D做⊙O的两条切线分别与直线交于P、Q两点，求证PA=QB．

23、如图，AB是⊙O的直径，AB=d，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，使AC=AB，联结OC交⊙O于D，BD的延长线交AC于E，求AE．

AECODBAMHCBDAOCOB

35

24、如图，P为⊙O外一点，过P作⊙O的两条切线，切点分别为A、B，过A作PB的平行线交⊙O于点C，联结PC交⊙O于点E，联结AE并延长AE交PB于K，求证：PE·AC=CE·KB．

EKP

AOBC25、在半径为r的⊙O中，AB为直径，C为AB的中点，D为BC的三分之一分点，且DB的长度是CD长的两倍，连结AD并延长交⊙O的切线CE于点E（C为切点），求AE的长．

26、在锐角△ABC，中，AD⊥BC，D为垂足，DE⊥AC，E为垂足，DF⊥AB，F为垂足，O为△ABC的外心，求证

（1）△AEF∽△ABC；

（2）AO⊥EF．

36