函数极限定义

函数极限定义

维尔斯卡-二元泰勒公式

高等数学函数的极限知识点归纳整理

引语：函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成

的。

1.定义

设函数在点

的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数（无论它多么

小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的函数值都满足不等式：

那么常数A就叫做函数当时的极限，记作

2.概念

函数极限可以分成

以的极限为例，f(x)在点

以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数

，使得当x满足不等式

时，对应的函数值f(x)都满足不等式：

，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。

3.数列的极限形式（1种）和函数极限形式（6种）：

附课堂老师提到的相关概念和知识

1.“ε－N”定义需要的时刻是自变量从此刻开始往无穷大（小）的方向变化；

“ε－δ”定义需要的时刻是自变量从此刻开始往某一个点无穷接近的方向变

化；

2.去心邻域：

在高等数学中，我们经常会用到一种特殊的开区间(a-δ，a+δ)，称这个开区间为点a

的邻域，记为U(a，δ)，即

U(a，δ)=(a-δ，a+δ)，

称点a为邻域的中心，δ为邻域的半径。

通常δ是较小的实数，所以，a的δ邻域表示的是a的邻近的点，如下图所示。

点a的邻域

有时候，我们只考虑点a邻近的点，不考虑点a，即考虑点集{x|a-δ我们称这个点集为点a的去心的邻域，记为Ů(a，δ)，即

Ů(a，δ)={x|a-δ如下图所示。

点a的去心的邻域

3.函数的有界和无界

函数的有界性指的是函数值取值范围的有限性,例如正弦函数f(x)=sinx,取值范围

是-1到1,是一个有限的范围,因此可以说这个函数有界,而y=x这个函数的取值范

围是R,是一个无限的范围,所以可以说这个函数无界.

用数学语言描述：存在M∈R,使任意x∈f(x)的定义域,都有|f(x)|≤M,则称函数f(x)

有界

4.有极限的函数必有界,有界的函数不一定有极限

解释：有极限说明它会趋于一个定值,那肯定不会趋向无穷大,所以必有界；而有界表

示不会趋向无穷大,但不一定会趋于一个定值,可以在一些位置上来回波动,比如

(-1)^n,一直在-1和1之间波动,没有极限.

再如lim(x→0）sin1/x，它的极限不存在，但它有界sin1/x的绝对值小于等于1。