拉普拉斯定理
ableton-砖胎膜砌筑规范
2023年3月16日发(作者：劳伦斯斯特恩)拉普拉斯变换
用拉普拉斯变换解线性常微分方程，可将微积分运算转化为代数运算，将微分
方程变成代数方程，而且有变换表可供利用，因而是一种较为简便的工程数学
方法。
一、拉氏变换定义
设PKI数/■("(r为实变杲),当r>OH寸有定义，冃.积分
O0
ff{ty-s,dt(s=b+丿Q是复:变量)在s的某一域内收敛则称函数f(?)的拉普拉
斯变换式为：
co
F(5)=L[/(r)J=J/(r>-s^r
F(s)称为/⑴的拉氏变换(或彖函数)，记为:
F(S)=L[/(01
若F(S)称为f(t)的拉氏变换，则称f⑴为
F(5)的拉氏反变换(或彖原函数)，记为：
拉氏反变换的计算公
I
2吗厶
二、拉氏变换的几个基本性质
（1）线性性质
武呵（o）,广（o）,…,严」>（0）为函Wa）及共各卩介导
数孤=o的值，
岂厂（Q）=厂（Q）=
象函数的微分性质
£|J-y
；
(Z)-|=swF(5)
dt
MW〜、
L^r—J-W(s)dt
儿2一、
M——J=5F(s)d广
■设口/心）］=峙（门，〔/（小二巧⑴，。、b为常数，则有.Ls巧⑴+〃巧（$）］
=0//苗（小+〃/；丫心（小=妙（7）+加（0・
设£[/(/)]=F(5),则
F(s)=L[-tf(t)],Re(5)>c一般地，有
严)($)"[(—『)”")],Rc($)>c
(3)积分性质
^U/(0J=F(5),则冇
如=丄卩0)
八/%cS
象函数的积分性质设
L[f(t)]=F(s则泌£2]
士($)力
一般地，有
f仃、g6s
(4)位移性质
^^■r.7.|/u)l=An).'；i/./.lc./!=A(.s
(5)延迟性质
)j-/•'(.s
(6)初值定理
若<[/(『)]=F($),且limsF(5)存在,则limf(f)=limsF(s)
J->sO/->O/->«o
(7)终值定理
若L|/(r)|=F(5)JI.5F(5)的所有奇点在s平面的左半平面,则lim/(/)=
limsF(s)
/—>«0S->0
三.几种典型函数的拉氏变换
1、单位阶跃函数u(t)
1r>0
0r<0
co
F(s)=J"u(^tye~srdt
o
71si
=fe~^dt=——C=—」s°s
O44
2、单•位斜坡函数
/
/
/斜率=1/
/
_______________
t/>0
/(z)=0r<0=Z1(O
3、筲加速度函数
利用微分性质
令Uf(t)]=F(s)其中/⑴""
f(,,n(t)=ml=const
则L[/ 由性质£[/(■)(『)]=rr(£)7-y(o)7-2f(o)一…严E(O) =5mF(5) 显然ms=smF(s)所以F($)=加/$加 />o| r(o=L。YO 利川木公穴讨彳4 2LLU(^)J=1/s 2LL^J=1/s? 5、指数函数 6、正弦函数 since//>0 0z<0 00 F(s)=^sn&)te^'dt =皿-)e~s,dt=pJ-)dt =—[--------------------] 2js—jcos+jco CD 余弦函数 通理|」J得：F(s)=L|cosf?x] =— S~+CD =I^(t)e~stdt+1"d(t)e~stdto-JoJo+ =[0+6(r>-5°Jr=l Jo~ 6、单位脉冲函数 /(^)=3(F)={冃有广^(『)刃 =1 J―S O/HO oo o 堡 赵 三 f e 一 U I J M ・ -U I J ) £ J ) > F - H O I -' S H ( O M 丄 ( 三 二 7 ・ ﹄ 丄 775^7 N e ) 色 7 ip 刽 H 00 CC 十 ， ” 十 1 +…+ C ( r（5）= ($— 小)（ $+2T| C.=lim(5-4])--------;--------—=— (s+3)($+1)2 C y =lim(s+3)----------"十J-----=4 $—►—3(S+3)(5+1)2 1 1 F(s)=^-+2 s+3 +丄严 __2 2、A（s）=0有重根（设5|有加重根，s 的计算同单根部分，G，・・・c,“的计算公式: 2 、 求尸(s)=—一__的原函数f("・[心+1)(s+3) rv、uGc.c4r(s)=—+——H—+- (54-1)"(54-1)S5+3 cV4-?1 U=lim(s+1)F(s)=lim---------------=—— ・宀一1$TTS(S+3)2 C=lim?[($+1)12F(5)1=lim=-| $->Tdsdss(s+3)4 5+22 C2=lim(s+1)?F(s)=lim C=limsF(s)=limo 3$T0$3($+1)2(3+3)3 C,=lim(5+3)F(s)=lim—'*、=— "3一-3心+1)212 1321 F(s)=-一2+一4+3+卫($十1)亠(s十I)ss十3 ")=Lid] .1.3—21— =r-----1------Jc*十-----------------卜---------e- 24312 上面求F（S）的拉氏变换时，是假走生翅，当6^5上面的方法不能直接使 用。 求ii、)=丄v的原函w(/)■ “、1$+2.1111 F(s)=1H—-----------=1-------------1--------- F+4S+32s+125+3 /(/)=")+£「+卜亠