直角三角形内切圆半径公式
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2023年3月16日发(作者：云南录取分数线)……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………
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三角形的外接圆与内切圆半径的求法
一、求三角形的外接圆的半径
1、直角三角形
如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边.
例1已知：在△ABC中，AB＝13，BC＝12，AC＝5
求△ABC的外接圆的半径.
解：∵AB＝13，BC＝12，AC＝5，
∴AB2＝BC2＋AC2，
∴∠C＝90°，
∴AB为△ABC的外接圆的直径，
∴△ABC的外接圆的半径为6.5.
2、一般三角形
①已知一角和它的对边
例2如图，在△ABC中，AB＝10，∠C＝100°，
求△ABC外接圆⊙O的半径.（用三角函数表示）
分析：利用直径构造含已知边AB的直角三角形.
解：作直径BD，连结AD.
则∠D＝180°－∠C＝80°，∠BAD＝90°
∴BD＝
Dsin
AB
＝
80sin
10
∴△ABC外接圆⊙O的半径为
80sin
5
.
注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求出三
角形的外接圆的半径.
例3如图，已知，在△ABC中，AB＝10，∠A＝70°，∠B＝50°
求△ABC外接圆⊙O的半径.
分析：可转化为①的情形解题.
解：作直径AD，连结BD.
则∠D＝∠C＝180°－∠CAB－∠BAC＝60°，∠DBA＝90°
∴AD＝
Dsin
AB
＝
60sin
10
＝3
3
20
∴△ABC外接圆⊙O的半径为3
3
10
.
②已知两边夹一角
例4如图，已知，在△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠C＝60°
求△ABC外接圆⊙O的半径.
分析：考虑求出AB，然后转化为①的情形解题.
解：作直径AD，连结BD.作AE⊥BC，垂足为E.
则∠DBA＝90°，∠D＝∠C＝60°，CE＝
2
1
AC＝1，AE＝3，
BE＝BC－CE＝2，AB＝22BEAE＝7
A
B
C
O
A
B
C
O
D
A
B
C
O
D
A
B
C
O
DE
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∴AD＝
Dsin
AB
＝
60sin
7
＝21
3
2
∴△ABC外接圆⊙O的半径为21
3
1
.
③已知三边
例5如图，已知，在△ABC中，AC＝13，BC＝14，AB＝15
求△ABC外接圆⊙O的半径.
分析：作出直径AD，构造Rt△ABD.只要求出△ABC中BC边
上的高AE，利用相似三角形就可以求出直径AD.
解：作直径AD，连结BD.作AE⊥BC，垂足为E.
则∠DBA＝∠CEA＝90°，∠D＝∠C
∴△ADB∽△ACE∴
AB
AE
AD
AC
设CE＝x,∵AC2-CE2＝AE2＝AB2-BE2∴132-x2＝152-(14-x)2x=5,即CE＝5
∴AE＝12∴
15
12
AD
13
AD＝
4
65
∴△ABC外接圆⊙O的半径为
8
65
.
二、求三角形的内切圆的半径
1、直角三角形
例6已知：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c
求△ABC外接圆⊙O的半径.
解：可证四边形ODCE为正方形.设⊙O的半径为r，
则CD=CE=r,BD=a-r,AE=b-r，∴(a-r)+(b-r)=c,
∴r=
2
cba
,即△ABC外接圆⊙O的半径为
2
cba
.
2、一般三角形
①已知三边
例7已知：如图，在△ABC中，AC＝13，BC＝14，AB＝15
求△ABC内切圆⊙O的半径r.
分析：考虑先求出△ABC的面积，再利用“面积桥”，从而
求出内切圆的半径.
解：利用例5的方法，或利用海伦公式S△＝)cs)(bs)(as(s(其中s=
2
cba
)可求
出S△ABC＝84，从而
2
1
AB•r+
2
1
BC•r+
2
1
AC•r=84,∴r=4
②已知两边夹一角
例8已知：如图，在△ABC中，cotB＝
3
4
,AB＝5，BC＝6
求△ABC内切圆⊙O的半径r.
分析：考虑先通过解三角形，求出△ABC的面积及AC的长，
再利用“面积桥”，从而求出内切圆的半径.
解：作△ABC的高AD.解直角三角形可得AD＝3，CD＝2，AC＝13，
因为
2
1
AB•r+
2
1
BC•r+
2
1
AC•r=
2
1
BC•AD,可求得r=
6
1311
A
B
C
O
DE
A
B
C
O
E
D
b
c
a
A
B
C
O
E
F
D
A
B
C
O
D
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③已知两角夹一边
例9已知：如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°,BC＝6
求△ABC内切圆⊙O的半径r.(精确到0.1)
分析：思路方法同上，读者可完成.
总之，只要通过边、角能确定三角形，就可以借鉴上面的方法求
出这个三角形的外接圆和内切圆的半径.
A
B
C
O
D