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2018数学一
-
2023年3月6日发(作者：热爱祖国的诗)精选
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1
．设
1i
2i
1i
z
，则
||z
A
．0B
．
1
2
C
．1D
．2
2
．已知集合220Axxx
，则
A
R
ð
A
．12xx
B
．12xx
C
．|1|2xxxxUD
．|1|2xxxxU
3
．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番
.
为更好地了解该
地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，
得到如下饼图：
建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例
则下面结论中不正确的是
A
．新农村建设后，种植收入减少
B
．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
精选
C
．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D
．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4
．记
n
S
为等差数列
n
a
的前
n
项和
.
若
324
3SSS
，
1
2a
，则
5
a
A
．12B
．10C
．10
D
．12
5
．设函数32()(1)fxxaxax.
若
()fx
为奇函数，则曲线
()yfx
在点
(0,0)
处的切
线方程为
A
．
2yxB
．
yx
C
．
2yx
D
．
yx
6
．在ABC△中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB
uuur
A
．
31
44
ABAC
uuuruuur
B
．
13
44
ABAC
uuuruuur
C
．
31
44
ABAC
uuuruuur
D
．
13
44
ABAC
uuuruuur
7
．某圆柱的高为
2
，底面周长为
16
，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应
点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N
的路径中，最短路径的长度为
A
．172B
．52C
．
3
D
．
2
8
．设抛物线
C
：
y2=4x
的焦点为
F
，过点（
–2
，
0
）且斜率为
2
3
的直线与
C
交于
M
，
N
两点，
则FMFN
uuuuruuur
=
A
．
5B
．
6C
．
7
D
．
8
9
．已知函数
e0
()
ln0
xx
fx
xx
，，
，，
()()gxfxxa
．若
g
（
x
）存在
2
个零点，则
a
的
精选
取值范围是
A
．
[–1
，
0
）
B
．
[0
，
+∞
）
C
．
[–1
，
+∞
）
D
．
[1
，
+∞
）
10
．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆
的直径分别为直角三角形
ABC
的斜边
BC
，直角边
AB
，
AC
．ABC△的三边所围成的
区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自
Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为
p
1，
p
2，
p
3，则
A
．
p
1
=p
2
B
．
p
1
=p
3
C
．
p
2
=p
3
D
．
p
1
=p
2
+p
3
11．已知双曲线C：
2
21
3
x
y，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条
渐近线的交点分别为M、N.若OMN△为直角三角形，则|MN|=
A．
3
2
B．3C．23D．4
12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所
得截面面积的最大值为
A．
33
4
B．
23
3
C．
32
4
D．
3
2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若x，y满足约束条件
220
10
0
xy
xy
y
，则
32zxy
的最大值为_____________．
14．记
n
S
为数列
n
a
的前n项和.若
21
nn
Sa
，则
6
S
_____________．
15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法
共有_____________种．（用数字填写答案）
16．已知函数2sinsin2fxxx，则fx的最小值是_____________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
精选
（一）必考题：60分。
17．（12分）
在平面四边形ABCD中，90ADCo，45Ao，2AB，5BD.
（1）求cosADB；
（2）若22DC，求BC.
18．（12分）
如图，四边形ABCD为正方形，,EF分别为,ADBC的中点，以DF为折痕把DFC△
折起，使点C到达点P的位置，且PFBF.
（1）证明：平面PEF平面ABFD；
（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
19．（12分）
设椭圆
2
2:1
2
x
Cy的右焦点为F，过F的直线l与C交于,AB两点，点M的坐标
为(2,0).
（1）当l与
x
轴垂直时，求直线AM的方程；
（2）设O为坐标原点，证明：OMAOMB.
20．（12分）
某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，
如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再
根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为
)10(pp，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不
合格品的概率为)(pf,求)(pf的最大值点
0
p．
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的
0
p作为p
的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件
不合格品支付25元的赔偿费用．
精选
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，
求EX;
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作
检验？
21．（12分）
已知函数
1
()lnfxxax
x
．
（1）讨论()fx的单调性；
（2）若()fx存在两个极值点
12
,xx，证明：
12
12
2
fxfx
a
xx
．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线
1
C的方程为||2ykx.以坐标原点为极点，
x
轴正半轴为
极轴建立极坐标系，曲线
2
C
的极坐标方程为22cos30.
（1）求
2
C
的直角坐标方程；
（2）若
1
C与
2
C
有且仅有三个公共点，求
1
C的方程.
23
．
[
选修
4
—
5
：不等式选讲
]
（
10
分）
已知
()|1||1|fxxax
.
（
1
）当1a时，求不等式
()1fx
的解集；
（
2
）若
(0,1)x
时不等式
()fxx
成立，求
a
的取值范围
.
精选
参考答案：
1112
CBABDABDCABA
13.614.6315.1616.
33
2
17.（12分）
解：（1）在ABD△中，由正弦定理得
sinsin
BDAB
AADB
.
由题设知，
52
sin45sinADB
，所以
2
sin
5
ADB.
由题设知，90ADB，所以
223
cos1
255
ADB
.
（2）由题设及（1）知，
2
cossin
5
BDCADB.
在BCD△中，由余弦定理得
2222cosBCBDDCBDDCBDC
精选
2
2582522
5
25.
所以5BC.
18.（12分）
解：（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.
又BF平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.
（2）作PH⊥EF，垂足为H.由（1）得，PH⊥平面ABFD.
以H为坐标原点，HF
uuur
的方向为y轴正方向，
||BF
uuur
为单位长，建立如图所示的空间直
角坐标系H−xyz.
由（1）可得，DE⊥PE.又DP=2，DE=1，所以PE=
3
.又PF=1，EF=2，故PE⊥PF.
可得
33
,
22
PHEH.
则
3333
(0,0,0),(0,0,),(1,,0),(1,,),
2222
HPDDP
uuur
3
(0,0,)
2
HP
uuur
为平面
ABFD的法向量.
设DP与平面ABFD所成角为，则
3
3
4
sin||
4
||||
3
HPDP
HPDP
uuuruuur
uuuruuur
.
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为
3
4
.
19.（12分）
解：（1）由已知得(1,0)F，l的方程为x=1.
由已知可得，点A的坐标为
2
(1,)
2
或
2
(1,)
2
.
精选
所以AM的方程为
2
2
2
yx或
2
2
2
yx.
（2）当l与x轴重合时，0OMAOMB.
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以OMAOMB.
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为(1)(0)ykxk，
1221
(,),(,)AyxyxB，
则
12
2,2xx，直线MA，MB的斜率之和为
2
12
1
22MAMBxx
yy
kk
.
由
1122
,ykkxykxk得
1212
12
(
23()4
2)(2)MAMB
xxxxkk
xx
k
kk
.
将(1)ykx代入
2
21
2
x
y得
2222(21)4220kxkxk.
所以，
2
1
2
21
2
2
2
422
,
2121
xxx
kk
k
x
k
.
则
3
1
3
1
3
22
2
441284
23()40
21
kkkkk
kkk
k
xxxx
.
从而0
MAMB
kk，故MA，MB的倾斜角互补，所以OMAOMB.
综上，OMAOMB.
20.（12分）
解：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为2218
20
()C(1)fppp.因此
218217217
2020
()C[2(1)18(1)]2C(1)(110)fpppppppp
.
令()0fp
，得0.1p.当(0,0.1)p时，()0fp
；当(0.1,1)p时，()0fp
.
所以()fp的最大值点为
0
0.1p.
（2）由（1）知，0.1p.
（i）令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知(180,0.1)YB:，
精选
20225XY，即4025XY.
所以(4EXEYEY.
（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.
由于400EX，故应该对余下的产品作检验.
21.（12分）
解:（1）()fx的定义域为(0,)，
2
22
11
()1
axax
fx
xxx
.
（i）若2a，则()0fx
，当且仅当2a，1x时()0fx
，所以()fx在(0,)
单调递减.
（ii）若2a，令()0fx
得，
24
2
aa
x
或
24
2
aa
x
.
当
2244
(0,)(,)
22
aaaa
x
U
时，()0fx
；
当
2244
(,)
22
aaaa
x
时，()0fx
.所以()fx在
2244
(0,),(,)
22
aaaa
单调递减，在
2244
(,)
22
aaaa
单调递
增.
（2）由（1）知，()fx存在两个极值点当且仅当2a.
由于()fx的两个极值点
12
,xx满足210xax，所以
12
1xx，不妨设
12
xx，则
2
1x.由于
1212122
12121212
2
2
()()lnlnlnln2ln
1
122
1
fxfxxxxxx
aaa
xxxxxxxx
x
x
，
所以12
12
()()
2
fxfx
a
xx
等价于
22
2
1
2ln0xx
x
.
设函数
1
()2lngxxx
x
，由（1）知，()gx在(0,)单调递减，又(1)0g，从
而当(1,)x时，()0gx.
精选
所以
22
2
1
2ln0xx
x
，即12
12
()()
2
fxfx
a
xx
.
22
．
[
选修
4
—
4
：坐标系与参数方程
]
（
10
分）
解
:
（
1
）由
cosx
，
siny
得
2
C的直角坐标方程为22(1)4xy．
（
2
）由（
1
）知
2
C是圆心为
(1,0)A
，半径为2的圆由题设知，
1
C
是过点
(0,2)B
且
关于
y
轴对称的两条射线．记
y
轴右边的射线为
1
l
，
y
轴左边的射线为
2
l
．由于B在
圆
2
C的外面，故
1
C
与
2
C有且仅有三个公共点等价于
1
l
与
2
C只有一个公共点且
2
l
与
2
C
有两个公共点，或
2
l与
2
C
只有一个公共点且
1
l与
2
C
有两个公共点．
当
1
l与
2
C
只有一个公共点时，A到
1
l所在直线的距离为2，所以
2
|2|
2
1
k
k
，故
4
3
k
或0k．
经检验，当0k时，
1
l与
2
C
没有公共点；当
4
3
k
时，
1
l与
2
C
只有一个公共点，
2
l
与
2
C
有两个公共点．
当
2
l
与
2
C
只有一个公共点时，A到
2
l
所在直线的距离为2，所以
2
|2|
2
1
k
k
，故0k
或
4
3
k
．
经检验，当0k时，
1
l
与
2
C
没有公共点；当
4
3
k
时，
2
l
与
2
C
没有公共点．
综上，所求
1
C
的方程为
4
||2
3
yx
．
23
．
[
选修
4
—
5
：不等式选讲
]
（
10
分）
解：（
1
）当1a时，
()|1||1|fxxx
，即
2,1,
()2,11,
2,1.
x
fxxx
x
故不等式
()1fx
的解集为
1
{|}
2
xx
．
（
2
）当
(0,1)x
时
|1||1|xaxx
成立等价于当
(0,1)x
时
|1|1ax
成立．
若0a，则当
(0,1)x
时
|1|1ax
；
精选
若0a，
|1|1ax
的解集为
2
0x
a
，所以
2
1
a
，故02a．
综上，
a
的取值范围为
(0,2]
.