考研数学一真题

考研数学一真题

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2023年2月28日发(作者：网购的弊端)

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2016考研数学（一）真题完整版

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项

符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸

．．．

指定位置上.

（1）若反常积分

0

1

1b

a

dx

xx





收敛，则（）

11111111AabBabCaabDaab且且且且

（2）已知函数

21,1

ln,1

xx

fx

xx

















，则fx的一个原函数是（）

























22

22

1,11,1

ln1,1ln11,1

1,11,1

ln11,1ln11,1

xxxx

AFxBFx

xxxxxx

xxxx

CFxDFx

xxxxxx

































（3）若22

222211,11yxxyxx是微分方程ypxyqx



的两

个解，则qx（）

22

22

3131

11

xx

AxxBxxCD

xx





（4）已知函数

,0

111

,,1,2,

1

xx

fx

xn

nnn



















，则（）

（A）0x是fx的第一类间断点（B）0x是fx的第二类间断点

（C）fx在0x处连续但不可导（D）fx在0x处可导

（5）设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（）

（A）TA与TB相似（B）1A与1B相似

（C）TAA与TBB相似（D）1AA与1BB相似

（6）设二次型222

3

,,444fxxxxxxxxxxxx，则

123

,,2fxxx在

空间直角坐标下表示的二次曲面为（）

（A）单叶双曲面（B）双叶双曲面（C）椭球面（C）柱面

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（7）设随机变量0,~2NX，记2XPp，则（）

（A）p随着的增加而增加（B）p随着的增加而增加

（C）p随着的增加而减少（D）p随着的增加而减少

（8）随机试验E有三种两两不相容的结果

321

,,AAA，且三种结果发生的概率均为

3

1

，将

试验E独立重复做2次，X表示2次试验中结果

1

A发生的次数，Y表示2次试验中结果

2

A

发生的次数，则X与Y的相关系数为（）

二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸

．．．

指定位置上.

（9）



__________

cos1

sin1ln

lim

2

0

0







x

dttttx

x

（10）向量场zkxyjizyxzyxA,,的旋度_________rotA

（11）设函数vuf,可微，yxzz,由方程yzxfxyzx,122确定，则



_________

1,0

dz

（12）设函数

21

arctan

ax

x

xxf



，且10''f，则________a

（13）行列式

100

010

001

4321



















____________.

（14）设

12

,,...,

n

xxx为来自总体2,N的简单随机样本，样本均值9.5x，参数的

置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则的置信度为0.95的双侧置信区间为

______.

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题

．．

纸

．

指定位置上.解答应写出文字说明、

证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）已知平面区域,221cos,

22

Drr













，

计算二重积分

D

xdxdy.

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（16）（本题满分10分）设函数()yx满足方程'''20,yyky其中01k.

证明：反常积分

0

()yxdx收敛；

若'(0)1,(0)1,yy求

0

()yxdx的值.

（17）（本题满分10分）设函数(,)fxy满足2

(,)

(21),xy

fxy

xe

x









且(0,)1,

t

fyyL

是从点(0,0)到点(1,)t的光滑曲线，计算曲线积分

(,)(,)

()

t

L

fxyfxy

Itdxdy

xy







，并

求()It的最小值

（18）设有界区域由平面222zyx与三个坐标平面围成，为整个表面的外侧，

计算曲面积分zdxdyydzdxdydzxI3212



（19）（本题满分10分）已知函数()fx可导，且(0)1f，

1

0'()

2

fx，设数列

n

x

满足

1

()(1,2...)

nn

xfxn



，证明：

（I）级数

1

1

()

nn

n

xx







绝对收敛；

（II）lim

n

n

x



存在，且0lim2

n

n

x



.

（20）（本题满分11分）设矩阵

11122

21,1

1112

AaBa

aa

















当a为何值时，方程AXB无解、有唯一解、有无穷多解？

（21）（本题满分11分）已知矩阵

011

230

000

A















（I）求99A

（II）设3阶矩阵

23

(,,)B

满足2BBA，记100

123

(,,)B

将

123

,,分别表

示为

123

,,的线性组合。

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（22）（本题满分11分）设二维随机变量(,)XY在区域2,01,Dxyxxyx

上服从均匀分布，令

1,

0,

XY

U

XY













（I）写出(,)XY的概率密度；

（II）问U与X是否相互独立？并说明理由；

（III）求ZUX的分布函数()Fz.

（23）设总体X的概率密度为















其他,0

0,

3

,3

2







x

x

xf，其中，0为未知参数，

321

,,XXX为来自总体X的简单随机样本，令

321

,,maxXXXT。

（1）求T的概率密度

（2）确定a，使得aT为的无偏估计

参考答案：

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