极限运算

极限运算

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2023年3月6日发(作者：lob)

极限运算技巧

极限是高等数学中最基本，也是非常重要的内容。高等数学就是以极限为基本工具，来

研究函数的微分和积分。高等数学中几乎所有的基本概念，如连续、导数、定积分等，都是

用极限来描述的。因此，学好极限，会计算极限，是学好高等数学的一个关键。

我们看到一道极限题的时候，首先是看它的基本形式，是属于什么形式就用什么方法。

一、不定式。

对于

0

0

、





、0、、00、1、0型的不定式，我们常用洛必达法则和两

个重要极限来计算，但也不能忽视其它一些技巧的运用。

（一）、恒等变形的运用。

在极限的运算中，常常要进行下面的恒等变形：

（1）运用因式分解，约简分式；

（2）运用共轭根式，有理化分子或分母；

（3）运用三角公式，进行恒等变形。

（4）幂指函数)()(xbxa=)(ln)(xaxbe

例1求极限

11lim22



xxxx

x

解:这是含有无理根式的型不定式，通常先采取有理化的方法来变形。

11lim22



xxxx

x

=

11

)11)(11(

lim

22

2222





xxxx

xxxxxxxx

x

=

11

2

lim

22xxxx

x

x

=

22

11

1

11

1

2

lim

x

x

x

x

x





=1

例2求极限)tan(seclim

2

xx

x







解：这是型不定式，可利用三角公式变形为

0

0

型，用洛必达法则来解决。

)tan(seclim

2

xx

x







=)

cos

sin

cos

1

(lim

2

x

x

x







=

cos

sin1

lim

2

x

x







=

x

x

x

sin

cos

lim

2









=0

例3求极限x

x

xtan

2

)(sinlim





解：法一：这是1型，可采用重要极限exx

x





1

0

)1(lim来解决，先用三角公式

xx2cos1sin（x0）变形。

x

x

xtan

2

)(sinlim





=

2

tan

)cos1(lim2

2

x

x

x







=x

x

x

x

x

xcos2

sin

)cos(

cos

1

2

2

2

2)cos1(lim











=0e=1

法二：这是幂指函数)()(xbxa的极限问题，可用恒等变形)()(xbxa=)(ln)(xaxbe解决。

x

x

xtan

2

)(sinlim





=

xx

xe

sinlntanlim

2



=

x

x

xe

cos

sinln

lim

2



=

x

x

xe2

2

sin

cos

lim







=0e=1

（二）变量替换的运用。

例4求极限

x

x

x

arcsin

lim

0

解：令xuarcsin，则uxsin，且当0x时，0u。因此有

x

x

x

arcsin

lim

0

=

u

u

usin

lim

0

1

（三）等价无穷小代换。

等价无穷小代换是最能简化运算的，等价代换的公式主要有：

当0x时，xx~sin，xx~tan，

2

~cos1

2

2

x

x，xx~arcsin，xx~arctan，

xex~1，xx~)1ln(，

n

x

xn~11。

需要注意的是等价无穷小代换是有适用条件的，即：在含有加减运算的式子中不能直

接代换，在部分式子的乘除因子也不能直接代换，那么如果一般方法解决不了问题的话，必

须要等价代换的时候，必须拆项运算，不过，需要说明，拆项的时候要小心，必须要保证拆

开的每一项极限都存在。

例5求极限

3

0)(arctan

sintan

lim

x

xx

x





解：不能直接用等价无穷小xx~tan，xx~sin代换，而可用

x

代换xarctan。

3

0)(arctan

sintan

lim

x

xx

x





=

3

0

sin

cos

sin

lim

x

x

x

x

x





=

xx

xx

xcos

)cos1(sin

lim

3

0





=

x

x

x

x

x

xcos

1cos1sin

lim

2

0









=

2

1

（四）泰勒公式的运用。

例6求极限)23(lim4

34

3

23xxxx

x





解：)23(lim4

34

3

23xxxx

x





=])

2

1()

3

1[(lim4

1

3

1

xx

x

x





=)]

1

(

2

4

1

1)

1

(

3

3

1

1[lim

x

o

xx

o

x

x

x





=)

1

)

1

(

2

3

(lim

x

x

o

x





=

2

3

(五)数列极限转化为函数极限。

例7求极限

n

n

n

)1ln(

lim





解：这是





型不定式，但只有函数形式有洛必达法则，故先计算相应的函数形式的极

限。



x

x

x

)1ln(

lim





=

1

1

1

lim

x

x





=0



n

n

n

)1ln(

lim





=0

二、数列的通项是

n

项连加或连乘

因为当

n

无限增加时，项数也无限增加，所以不能直接应用和或积的极限运算法则，

常用的方法是先求和或求积，再求极限。求和除了用求和公式外，通常还有下面两种方法：

（一）拆项法；

（二）倍和法。

例8求极限

























)14)(34(

1

95

1

51

1

lim

nnn



解：

























)14)(34(

1

95

1

51

1

lim

nnn



=























)

14

1

34

1

(

4

1

)

9

1

5

1

(

4

1

5

1

1(

4

1

lim

nnn



=)

14

1

1(

4

1

lim





nn

=

4

1

例9求极限















n

n

n

22

3

2

2

2

1

lim

32



解：设

nn

n

nn

S

22

1

2

3

2

2

2

1

132











则

12222

1

2

3

2

2

12









nn

n

nn

S

两式相减，得到

nnn

SSS2

=

nn

n

22

1

12















因为

x

x

x

2

lim



=

2ln2

1

lim

x

x

=0

所以0

2

lim



n

n

n

故2lim



n

n

S

三、运用夹逼准则求极限。

例10求极限n

nn

n2

11

1lim



解：因为当1n时

2

11

1

2

11

11

n

nnn

n

且11lim

n

1

11

1lim

2

















n

nn

所以由夹逼准则可得n

nn

n2

11

1lim



=1

四、利用级数收敛的必要条件求极限。

例11求极限

n

nn

n!

lim



解：由比值审敛法判定奇数

1

!

n

nn

n

收敛，故

n

nn

n!

lim



=0

五、利用无穷小的性质求极限。

有限个无穷小的和是无穷小，有界函数与无穷小乘积是无穷小。

例12求极限

x

x

xln

)1sin(sin

lim

0





解：0x时0

ln

1



x

，为无穷小量。)1sin(sinx为有界量

故0

ln

)1sin(sin

lim

0





x

x

x