柯布道格拉斯生产函数

柯布道格拉斯生产函数

-

2023年3月5日发(作者：澳大利亚地理位置)

第四章生产函数

第一部分教材配套习题本习题详解

一、简答题

1.如何准确区分生产的短期和长期这两个基本概念

生产的短期：指生产者来不及调整全部生产要素的数量，至少有一种生产要素的

数量是固定不变的时间周期。短期不可调整的生产要素称不变生产要素，一般包括厂

房、大型设备、高级管理者、长期贷款等，可调整的生产要素成为可变生产要素，一

般包括原材料、燃料、辅助材料、普通劳动者等。生产的长期：指生产者可以调整全

部生产要素的数量的时间周期。生产的短期和长期是相对的时间概念,不是绝对的时间概念，

其与企业所属行业、所用技术设备和规模等因素有关。

|

2.下面是一张一种可变生产要素的短期生产函数的产量表（表４—１）：

（１）在表中填空。

（２）该生产函数是否表现出边际报酬递减如果是，是从第几单位的可变要素

投入量开始的

表４—１

可变要素的数

量

可变要素的总产

量

可变要素的平均

产量

可变要素的边际

产量

１２

２１０

《

３２４

４１２

<

５６０

６６

>

７７０

８０

９６３

解答：（１）在表４—１中填空得到表４—２。

表４—２

可变要素的数量

{

可变要素的总产量

可变要素的平均产

量

可变要素的边际产

量

１２２０

２

）

１２６１０

３２４８１２

４

|

４８１２２４

５６０１２１２

６

…

６６１１６

７７０１０４

８

|

７００

９６３７－７

·

3．区分边际报酬递增、不变和递减的情况与规模报酬递增、不变和递减的

情况。

解答：边际报酬变化是指在生产过程中一种可变要素投入量每增加一个单

位时所引起的总产量的变化量，即边际产量的变化，而其他生产要素均为固定

生产要素，固定要素的投入数量是保持不变的。边际报酬变化一般包括边际报

酬递增、不变和递减三个阶段。很显然，边际报酬分析可视为短期生产分析。

规模报酬分析方法是描述在生产过程中全部生产要素的投入数量均同比例

变化时所引起的产量变化特征，当产量的变化比例分别大于、等于、小于全部

生产要素投入量变化比例时，则分别为规模报酬递增、不变、递减。很显然，

规模报酬分析可视为长期生产的分析视角。

区别：①前提条件不同，边际报酬变化生产要素分为不变和可变生产要素，

生产要素比例发生变化；规模报酬分析研究生产要素同比例变动。②考察时间长

短不同。边际报酬变化分析的是短期生产规律；规模报酬研究长期生产规律。

③指导意义不同。边际报酬变化指出要按比例配置生产要素；规模报酬指出要

保持企业的适度规模。④由于前提条件不同，两规律独立发挥作用，不存在互

为前提，互为影响关系。

联系：随着投入要素增加，产量一般都经历递增、不变和递减三个阶段。

—

4.假设生产函数Q＝min{5L,2K}。

(1)作出Q＝50时的等产量曲线。

(2)推导该生产函数的边际技术替代率函数。

(3)分析该生产函数的规模报酬情况。

解答：(1)生产函数Q＝min{5L,2K}是固定投入比例生产函数，其等产量曲

线如图所示为直角形状，且在直角点两要素的固定投入比例为K:L=5：2。

~

当产量Q＝50时，有5L＝2K＝50，即L＝10，K＝25。相应的Q＝50的等产量曲线如图

所示。

(2)由于该生产函数为固定投入比例，即L与K之间没有替代关系，所以，边际技术替

代率MRTSLK＝0。

(3)因为Q＝f(L，K)＝min{5L,2K}

f(λL，λK)＝min{5λL,2λK}＝λmin{5L,2K}，所以该生产函数呈现出规模报酬不变

的特征。

%

5.已知柯布道格拉斯生产函数为Q＝ALαKβ。请讨论该生产函数的规模报酬情况。

解答：因为Q＝f(L，K)＝ALαKβ

f(λL，λK)＝A(λL)α(λK)β＝λα＋βALαKβ

所以当α＋β>1时，该生产函数为规模报酬递增；当α＋β＝1时，该生产函数为规

模报酬不变；当α＋β<1时，该生产函数为规模报酬递减。

6.如果一个生产函数呈规模报酬不变,那么,该生产函数的边际技术替代率是否一定是不变的

为什么

）

【答案】规模报酬和边际技术替代率是两个不同的概念。规模报酬这一概念是用

来分析当全部生产要素同比例变化时导致的产量变化情况。如果产量变化的比例

等于全部生产要素变化的比例，这种情况被称为规模报酬不变，边际技术替代率

是指在产量给定的条件下，增加一单位要素所能替代的另一种要的数量。事实上，

在生产函数呈规模报酬不变的性质时，其边际技术替代率可以不变，也可以递减。

例如线性生产函数Q＝f（L,K）＝aL＋



K，具有规模援酬不变的性质，它

的边际技术替代率是不变的常数，对柯布道格拉断生产数Q＝ALaK



来说，当a

＋



＝1时，也具有规模报酬不变的性质，但它的边际技术替代率是递减的。固

定投入比例生产函数Q（L．K）＝min{aL，bK}，也具有規模振酬不変的性质，

但在其等产量曲线的水平部分有MRTS=0，在等产量曲线的垂直部分,MRTS=∞。

由此可见，规授酬不变与边际技替代率是渉及生产技术的两个不同概念，两

者之间没有直接的联系。

—

7.如何区分固定投入比例的生产函数与具有规模报酬不变特征的生产函数

【答案】固定投入比例生产函数又称里昂惕夫生产函数，其反映了这样一种生产

技术，即在任何产量水平上，各种生产要素使用量之间的比例是固定不变的。在

两种生产要素的情况下，固定投入比例生产函数的一般形式Q（L．K）＝min{aL，

bK}，即有固定的生产要素投入比例

a

b

K

L



，相应的等产量曲线是一直角形式。

规模报酬不变的概念表示当全部要素使用量都按一定比例变化时，产量变化的比

例等于全部要素使用量变化的比例。对固定投入比例生产函数来说，当所有的要

素使用量按相同比例变化时有Q（



L，K）＝min{a



L，b



K}=min



（L，

K）=



Q（L．K）所以，固定投入比例生产函数具有规模报酬不变的性质。

除了固定投入比例生产函数之外，其他形式的生产函数也可以呈现规模报酬

不变的特征例如，线性生产函数Q＝f（L,K）＝aL＋



K、柯布一道格拉斯生产

函数Q＝ALaK



当a＋B＝1时等，都具有规模报酬不变的性质。

总之，固定投入比例生产函数具有规模报不变的性质，但规模报不变的生产

函数可以是固定投入比例生产函数，也可以是其他形式的生产的函数。

)

二、计算题

1.已知生产函数Q＝f(L，K)=2KL-0.5L，假定厂商目前处于短期生产，且K＝10，求：

(1)写出在短期生产中该厂商关于劳动的总产量TPL函数、劳动的平均产量APL函数

和劳动的边际产量MPL函数。

(2)分别计算当总产量TPL、劳动平均产量APL和劳动边际产量MPL各自达到极大值时

的厂商劳动的投入量。

(3)什么时候APL＝MPL它的值又是多少

解答：（1）把K=10代入生产函数得短期关于劳动的总产量函数为：

^22,2100.50.510

L

TPfLKLL2200.550LL

劳动的平均产量函数为：

2200.55050

200.5L

L

TP

LL

APL

LLL





劳动的边际产量函数为：2200.55020

LL

MPTPLLL







（2）当

0

L

MP

时，即20L=0L=20时，

L

TP

达到极大值。

当

LL

APMP时，即

50

200.5L20L

L

，L=10时，

L

AP达到极大值。



L

MP20-L1



，说明

L

MP始终处于递减阶段，所以L=0时，MP最大。

（3）

LL

APMPL10，把L10代入AP和MP函数得：

50

200.5=2055=10

L

APL

L

，20=2010=10

L

MPL，即L=10时，

L

AP达到极大值，

LL

APMP。

（

2．已知生产函数为Q＝min(KL3,2)。求：

（1）当Q＝36时，L与K值分别是多少

（2）如果生产要素的价格分别为

L

P=2，

K

P=5，则生产480单位产量时的最小成

本是多少

解：（1）生产函数为Q＝min(KL3,2)表示该函数是一个固定投入比例的生产函数，

所以，厂商进行生产时，总有Q＝2L＝3K。

因为已知产量Q＝36,则2L＝3K=36，所以，L＝18，K＝12。

（2）由Q＝2L＝3K=480，可得：L＝240，K＝160。

又因为P

L

＝2，P

K

＝5，所以有：TC＝P

L

L＋P

K

K＝2×240＋5×160＝1280。即生产480

单位产量最小成本为1280。

？

3.假设某厂商的短期生产函数为Q＝35L＋8L2－L3。求：

(1)该企业的平均产量函数和边际产量函数。

(2)如果企业使用的生产要素的数量为L＝6，是否处理短期生产的合理区间为什么

解答：(1)平均产量函数：AP(L)＝L＝35＋8L－L2

边际产量函数：MP(L)＝Q′(L)＝35＋16L－3L2

(2)首先需要确定生产要素L投入量的合理区间。

在生产要素L投入量的合理区间的左端，有AP＝MP，于是，有35＋8L－L2

＝35＋16L－3L2。解得L＝0和L＝4。L＝0不合理，舍去，故取L＝4。

:

在生产要素L投入量的合理区间的右端，有MP＝0，于是，有35＋16L－3L2

＝0。(5+3L)(7-L)=0，解得L＝－5/3和L＝7。L＝－5/3不合理，舍去，故取L

＝7。

由此可得，生产要素L投入量的合理区间为[4,7]。因此，企业对生产要素

L的使用量为6是处于短期生产的合理区间的。

4.已知生产函数为

12

33QALK。

判断：（1）在长期生产中，该生产函数的规模报酬属于哪一种类型

（2）在短期生产中，该生产函数是否受边际报酬递减规律的支配

解：（1）12

33,QfLKALK

12

12

33

33,,fLKALKALKfLK,所以，在长期生产中，该生

产函数属于规模报酬不变。

<

（2）假定资本的投入量不变，用K表示，L投入量可变，

所以，生产函数

1

2

3

3QALK

，这时，劳动的边际产量为

2

2

3

3

1

3L

MPALK





5

2

3

3

2

0

9

L

dMP

ALK

dL

，说明：当资本使用量即定时，随着使用的劳动量的增加，

劳动的边际产量递减。

同理，

11

33

2

3K

MPALK，

4

1

3

3

2

0

9

K

dMP

ALK

dK

，说明：当劳动使用量即定

时，随着使用的资本量的增加，资本的边际产量递减。

综上，该生产函数受边际报酬递减规律的作用。

5．令生产函数f（L，K）=a

0

＋a

1

(LK)1/2＋a

2

K＋a

3

L，其中0≤ai≤1i=0，1，2，3。

#（1）当满足什么条件时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征。

（2）证明：在规模报酬不变的情况下，相应的边际产量是递减的。

解：（1）根据规模报酬不变的定义f(λL，λK)=λf（L，K）于是有

f(λL，λK)＝a

0

＋a

1

(λL)(λK)1/2＋a

2

(λK)＋a

3

(λL)

＝a

0

＋λa

1

（LK)1/2＋λa

2

K＋λa

3

L

＝λ[a

0

＋a

1

(LK)1/2＋a

2

K＋a

3

L]＋（1－λ）a

0

＝λf（L，K）＋（1－λ）a

0

由上式可见：当a

0

＝0时，对于任何的λ＞0，有f(λL，λK)=λf（L，K）成立，

*

即当a

0

＝0时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征。

（2）在规模报酬不变，即a

0

＝0时，生产函数可以写成

f（L，K）＝a

1

（LK)1/2＋a

2

K＋a

3

L

相应地，劳动与资本的边际产量分别为：

MP

L

(L，K)＝

dL

KLdf),(

＝

2

1

a

1

L-1/2K1/2＋a

3

，

MP

K

(L，K)＝

dK

KLdf),(

＝

2

1

a

1

L1/2K-1/2＋a

2

，

可求：

dL

KLdMP

L

),(

＝-

4

1

a

1

L-3/2K1/2<0，

dL

KLdMP

K

),(

＝-

4

1

a

1

L1/2K1-3/2<0

显然，劳动和资本的边际产量是递减的。

…

6.假定某厂商的短期生产函数为Q=f(L,K),给定生产要素价格PL、PK和产品价格P,且利润π>0。

证明:该厂商在短期生产的第一阶段不存在利润最大化点。

证明

，

^

》

L

2

为区域Ⅰ的右界点，设厂商的生产函数为Q=f(K，L)，其中L为可变投

入，K为不变投入。由题意，单位产品的价格P和单位生产要素的价格P

L

及P

K

都不随产量Q的变化而变化。则利润π=PQ-(LP

L

+KP

K

)(1)

dd

ddL

Q

PP

LL





(2)

因为，π＞0，可得PQ＞LP

L

+KP

K

(3)

由(3)式两边同时除以LP，得：

1

()LK

L

PP

QK

APLL

LPLP



又因为在第一区域MP

L

＞AP

L，

所以得：

MP

L

d

d

Q

L



＞LK

L

PP

QK

AP

LPLP



>

1

()L

P

LL

P

即:

d

d

Q

L

>

1

()L

P

LL

P

P

d

d

Q

L

>P

LP

d

d

Q

L

->P

L

>0

即

d

dL



>0(L＜L

1

)

QD

}

CTPL

第Ⅰ阶段第Ⅱ阶段第Ⅲ阶段

B

B′APL

MPLC′

OL1L2L3L

这表明利润π将随着可变投入L的增加而增加，且在区域Ⅰ中这一趋势将一

直保持到其右界点(即L=L

1

时),所以在区域Ⅰ中不存在使利润最大的点。

~

7.已知某厂商的固定投入比例的生产函数为Q=min2L,3K。

(1)令P

L

=1,P

K

=3。求厂商为了生产120单位产量所使用的K、L值以及最

小成本。如果要素价格变化为P

L

=4,P

K

=2,厂商为了生产120单位产量所使用

的K、L值以及最小成本又是多少请予以比较与说明。

(2)令P

L

=4,P

K

=3。求C=180时的K、L值以及最大产量。

解答：(1)L=3K=120，解得：L=120，K=40，当P

L

=1,P

K

=3时，最小成本

C=120+3X40=240

当P

L

=4,P

K

=2时，生产120单位产量所使用的K、L值也要满足：L=3K=120，解

得：L=120，K=40。最小成本C=120X4+40X2=560。

虽然生产要素价格变了，但是固定投入比例的生产函数反映生产要素之间比

例是固定的、不存在替代关系，生产要素之间比例是由生产技术决定的，是技术

问题非经济问题，不受生产要素价格的影响。生产一定产量生产要素数量不变。

但是生产要素价格变化，故成本变化了。

】

(2)由已知可得方程组：

43180

3

LK

LK





解得L=36，K=12

最大产量Q=L=3K=36

8.已知某厂商使用L和K两种要素生产一种产品,其固定替代比例的生产函数为Q=4L+3K。

(1)作出等产量曲线。

(2)边际技术替代率是多少

(3)讨论其规模报酬情况。

)

(4)令PL=5,PK=3。求C=90时的K、L值以及最大产量。

(5)令PL=3,PK=3。求C=90时的K、L值以及最大产量。

(6)令PL=4,PK=3。求C=90时的K、L值以及最大产量。

(7)比较(4)、(5)和(6),你得到什么结论

解答：(1)由生产函数为Q=4L+3K，可得K=

4

33

Q

L

.

&

(2)边际技术替代率为等产量曲线斜率的绝对值，所以MRTSKL=

4

3

，是个常数。

(3)当所有生产要素使用量变动λ倍时，f(λL，λK)=4λL+3λK=λf(L，

K)，导致产量也变动λ倍，所以为规模报酬不变。

(4)本题生产函数边际技术替代率为MRTSKL=

4

3

，给定的厂商预算方程（等成本线）5L＋3K＝90

所对应的厂商预算线的斜率绝对值为

5

3

L

K

P

P

,即所有等产量曲线的斜率绝对值小于厂商预算

线的斜率绝对值。

…

-

在此题，厂商的决策原则是厂商预算线（投入成本）既定的情况下，

实现最大的产量。

如图（a）所示，三条平行的等产量曲线Q

1

、Q

2

和Q

3

的斜率绝对值均小

于厂商预算线AB的斜率绝对值，等产量曲线与预算线AB所能达到的最大产

量为等产量曲线Q

3

与厂商预算线的交点A点，厂商的全部成本都用来使用要

素K，要素L的使用量为零。于是，厂商的要素使用量为K＝90÷3＝30，L

＝0，最大产量Q＝4L＋3K＝4x0＋3X30＝90。

在等产量曲线的斜率绝对值小于预算线的斜率绝对值时，即不等式左边

表示在保持产量不变，厂商在生产中用1单位要素L可以替代约1．3单位

要素K。不等式右边表示在市场上厂商按要素价格可以用1单位要素L换取

约单位要素K。因此，厂商自然会全部使用要素K．而要素L的使用量为零。

或者，也可以这样理解，不等式左边表示保持产量不变，厂商在生产中用1

单位要素K能替代Q．75单位要素L；不等式右边表示在市场上厂商按要素

K

30A

#等成本线

等产量线

Q1Q2Q3

K

30

等成本线

A

等产量线

%

Q1Q2

价格用1单位要素K也只能换取0．6单位要素L。由此，厂商自然不会使用

要素L，而全部使用要素K，即K＝30，L＝0。

（5）根据题意，如图（b）所示，生产函数Q＝4L＋3K所对应的等产量

曲线Q的斜率绝对值MRTS

KL

=

4

3

,它大于厂商预算线方程3L+3K=90所对应的

预算线的斜率绝对值

3

1

3



，等产量曲线Q2

与预算线AB在横轴的交点B是厂

商实现最大产量的均衡点。在B点，厂商的全部成本都用来购买要素L，要

素K的使用量为零．于是，厂商的要素L使用量为L＝90／3＝30，K＝0，最

大产量Q－4L＋3K－4×30－1＋3x0＝120。

与（4）中的原因相类似，在等产量曲线的斜率绝对值大于预算线的斜率

绝对值时，即在>

3

1

3

L

K

P

P

＝时，不等式左边表示在保持产量不变时，厂商

在生产中用1单位要素L可以替代约1．3单位要素K；不等式右边表示在市

场上厂商按要素价格可以用1单位要素L換取1

—

由此，厂商自然会全部使用要素L，而要素K使用量为零，即L＝30，K＝0。

（6）根据题意，生产函数Q＝4L＋3K所对应的等产量曲线Q的斜率绝对

值仍然为MRTS

KL

=

4

3

刚好等于预算线方程4L＋3K＝90所对应的预算线的斜率

绝对值

4

3

L

K

P

P

，此时，等产量线Q2与预算线AB重合。这意味着厂商实现最

大产量的均衡点可以位于该重合线的任何位置，即有L0，K0，且满足预

算约束条件4L＋43K＝90。然后，将L和K值代入生产函数4L＋3K＝90得到

最大产量为Q＝4L＋3K＝90。

厂商这种选择背后的经济原因是；在等产量曲线的斜率绝对值等于预算

线的斜率绝对債时，MRTS

KL

=

4

3

=

4

3

L

K

P

P

时，不等式左边表示厂商在生产中用

1单位要素L可以替代约13单位要素K，且保持产量不变：不等式右边表示

在市场上厂商按要素价格也可以用1单位要素L换取单位要素K。因此，厂

商总会按照这一固定的比例来购买并在生产中使用要素L和要素K，至于要

素L和要素K的具体使用数量是无关紧要的，只要满足预算约束条件C＝4L

＋3K＝90就可以了。

（7）比较以上（4），（5）和（6，可以得到一的结论：

①对于固定替代比例的生产函数而言，如果等产量曲线的斜率绝对值小

于厂商预算线的斜率绝对值，则厂商生产的均衡点位于等产量曲线与预线在

纵轴的交点。

②如果等产虽曲线的斜率绝对值大于厂商预算线的斜率绝对值，则厂商

生产的均衡点位于等产量曲线与预算线在横轴的交点，在以上两种情況中，

均衡点为角解，厂商只使用一种要素进行生产，另一种要素使用量为零。

③如果等产量曲线的料率绝对值等于厂商预算线的率对值，即两线重合，

则厂商生产的均衡点可以发生在该重合线上的任意位置，只需满定预算约束

条件即可。

三、论述题

￥

1.用图说明短期生产函数Q＝f(L，

k

)的TP

L

曲线，AP

L

曲线和MP

L

曲线的特征及

其相互之间的关系。

(1)总产量线TP、边际产量线MP和平均产量线AP都是先呈上升趋势，达到

本身的最大值以后，再呈下降趋势。见图4-1。

(2)首先，总产量与边际产量的关系：

①MP=TP′(L,K)，TP(L，

k

)=∫MP

L

dL

②MP等于TP对应点的斜率，边际产量线是总产量线上各点的斜率值曲线。

③MP＝0时，TP最大；边际产量线与横轴相交。MP>0时，TP递增；MP

<0时，TP递减。

其次，平均产量与边际产量关系。

@

①若MP＞AP，则AP递增；边际产量大于平均产量时，平均产量上升。

②若MP＜AP，则AP递减；边际产量小于平均产量时，平均产量下降。

③若MP＝AP，则AP最大。MP交AP的最高点。

最后，总产量与平均产量的关系。

①AP=

TP

L

②原点与TP上一点的连线的斜率值等于该点的AP。

③从原点出发,与TP相切的射线，切点对应AP最大。

（

%

2

1

()()()

TPTPLTP

APLMPAP

LLL









QD

CTPL

第Ⅰ阶段第Ⅱ阶段第Ⅲ阶段

<

B

B′

C′APL

图４—１短期生产函数三条产量曲线的关系

&

2.假定某厂商的生产技术给定,在该生产技术下可以采用四种生产方法来

生产2000单位产量,如表42所示。

表42

生产方法劳动使用量资本使用量

方法A100600

方法B160500

方法C165700

方法D90700

(1)请剔除表42中无效率的生产方法。

(2)“生产方法B是最有效率的。因为它所使用的资源总量最少,只有660

单位。”你认为这种说法正确吗为什么

(3)在(1)中剔除了无效率的生产方法后,你能在余下的生产方法中找出有

效率的生产方法吗请说明理由。

解答：（1）方法C在技术上是无效率的，与方法B相比，它使用本与劳动

的数量都要较方法A多，而产量相同；同样，与方法D相比，它使用的资本相

等，但使用劳动较多且产量相同，所以厂商不会选择C这种生产方法。

（2）这种说法不对，与方法A和方法D相比，方法B耗用的资本数较高，

而劳动数较少。判断技术上的效率不能以耗用资源的总数为尺度。

（3）要判断哪种生产方法在经济上是有效率的，必须知道劳动及资本的价

格，根据TC＝LP

L

＋KP

K

分别计算其耗用总成本，成本最低者就是在经济上有效

率的生产方法。

3.比较第三章消费者选择中的无差异曲线分析法与本章生产函数中的等产

量曲线分析法。

（1）不同点

a含义不同：无差异曲线就是表示能给消费者带来同等程度满足的两种

商品的不同数量组合的点的轨迹。等产量曲线在一定的技术条件下，生产同

一产量的两种可变生产要素的各种不同组合的轨迹。

b研究的对象不同：

无差异曲线主要用于分析消费者行为中不同的消费组合所带来的相同效

用而等产量线主要用于分析生产者的各种不同的生产要素的投入对相同的

产出。

c斜率绝对值名称不同。无差异曲线斜率绝对值称为边际替代率；等产

量线斜率绝对值称为边际技术替代率。

d投入品和产出品不同：无差异曲线研究投入的是消费品，产出的是效

用；等产量线研究投入的是生产要素，产出的是产品与服务。

（2）相同点

a一般形状相同和特征相同

第一，向右下方倾斜的线，斜率是负。第二，距离原点越远的曲线所代表的

投入多，产出也多。第三，任何两条曲线不能相交。第四，曲线通常是凸向

原点的，斜率的绝对值是递减的。

b都研究投入与产出关系。