单位脉冲函数

单位脉冲函数

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单位脉冲函数８（ｔ）ｊ及。其性．质

唐友刚吴果林

（桂林航天工业高等专科学校计算机系数学教研室，广西桂林５４１００４）

概要：皋文给出了单位脉冲函数的定义及若干性质。

并结合傅里叶变换给出了一些性质的应用。对：ｒ－，ｌｉ技术中单

位脉冲函数的应用具有指导意义。

关键词：单位脉冲函数性质工程技术

单位脉冲函数８（ｔ）（以下简称８（０）是物理及工程技术中

的一个重要的函数．有其相当多的物理背景．其物理意义为ｔ＝

Ｏ在时刻有一个强度为ｌ的冲击。工程上一般采用弱极限来定

义，但８（ｔ）与普通函数又不一样，不是值与值的对应关系，它

是一个广义甬数，而其本质是一泛函，对于具有一般高等数学

知识的人员来说是难以理解的。下面，笔者根据８０）严格的数

学定义以及结合傅里叶变换给出它的一些性质及应用。

１．单位脉冲函数８（ｔ）的定义

设Ｄ是一∞＜ｔ＜＋∞上无限次可微且在某有限区间以外

为Ｏ的函数全体，则８（ｔ）可定义为：对一切ｆＥＤ，对应数值

ｆ（Ｏ），称这一泛函为６（ｔ）。根据实际应用，我们又可简单

地表示为．ｒ’。８（ｔ）ｆ（ｔ）ｄｔ＝ｆ（０），这一定义为数学上的严格

定义，但一般工程技术人员难以理解，所以Ｔ程上８（ｔ）的定

义一般采用弱极限来定义，在各类《积分变换》教材中均有

介绍，此处不再赘述。值得一提的是，由等式』：：８（ｔ）ｆ（ｔ）ｄｔ＝

ｆ（Ｏ）及工程实际应用，可给出如下定义：８（ｔ）为满足等式．ｒ：。

８（ｔ）ｆ（ｔ）ｄｔ＝ｆ（０）的函数。其中ｆ（ｔ）为任一连续函数。由上可

知，８（ｔ）不再是普通的值与值的对应关系．而是通过和一个

连续函数乘积在（一∞，＋∞）上的积分才与一个有限值相对

应，这个有限值我们可以称之为６（ｔ）的运算值，因此．证明

一个与８（ｔ）有关的等式成立时，是指它们的运算值相等。

２．单位脉冲函数的性质

．性质ｌ：８（ｔ）＝８（一ｔ），ｌｉＰＳ（ｔ）为偶函数。

证明：设ｆ（ｔ）为任一连续函数，ｊｉｌＪｆ（一ｘ）也为连续函数，

于是由ｆ：８（ｔ）ｆ（ｔ）ｄｔ＝ｆ（ｏ）

可得ｆ：：８（一ｔ）ｆ（ｔ）ｄｔ”可：：８（ｘ）ｆ（－ｘ）ｄ（一ｘ）＝ｆ：：８（ｘ）ｆ（－ｘ）

ｄｘ＝ｆ（Ｏ）

所以ｆ：８（ｔ）ｆ（ｔ）ｄｔ“一ｔ）ｆ（ｔ）ｄｔ＝ｆ（０）－６（－ｔ）ｆ（ｔ）ｄｔ＝ｆ（Ｏ），则有８（ｔ）＝８（一ｔ）。所以Ｌ。８（ｔ）ｆ（ｔ）ｄｔ可：，则有８（ｔ）＝８（一ｔ）。

性质２：ｆ：８（卜ｔｏ）ｆ（ｔ）ｄｔ＝ｆ（ｔｏ），其中ｆ（ｔ）为任一连续函数，ｔｏ

为一有限值（以下同）。

证明：Ｓ：６（ｔ—ｔｏ）ｆ（ｔ）ｄｔ一＝ｆ：８（ｘ）ｆ（ｘ＋ｔｏ）ｄｘ－－ｆ（Ｏ＋ｔｏ）＝ｆ（ｔｏ）。

注：ｌ玉Ｉｆ（ｔ）＝ｌ为连续函数．所以立刻可得到我们熟悉的公

式：亡８（ｔ－１０）ｄ仁ｌ。此式也是８（ｔ）在工程技术上广泛应用的依据。

性质３：８（ｔ－ｔｏ）＝８（ｔｏ－ｔ）

证明：设ｆ（ｘ）为任一连续函数，

则，：：８（ｔ。一ｔ）ｆ（ｔ）ｄｔ叫＝一，：：８（ｘ）ｆ（ｔｏ—ｘ）ｄ】【＝』：：８（ｘ）ｆ（ｔｏ－Ｘ）

ｄｔ＝ｆ（ｔｏ－Ｏ）－－ｆ（ｔｏ）

又由性质２可知，８（ｔ＾）＝８（ｔ０一ｔ）。

注：在此式中令ｔ。＝０即可得性质１。

性质４：８（ｔ－ｔｏ）ｆ（ｔ）＝８（ｔ—ｔ０）ｆ（ｔ０），其中ｆ（ｔ）为连续函数。

证明：由Ｊ．：：８（ｔ－ｔ０）ｆ（ｔ）ｄｔ＝ｆ（ｔｏ）及』：：８（ｔ－ｔｏ）ｆ（ｔｏ）ｄｔ＝ｆ（ｔｏ）即

可得此性质。

性质５：８［ａ（ｔ飞）］＝百ｔ，Ｂ（ｔ－ｔｏ），其中ａ≠０。

师：李白啊。李白！鸟儿都飞走了，你为什么还不走啊！不

要问。不要说．一切尽在（引读）。

生齐读：相看两不厌，只有敬亭山。

师：当天空中的云彩，越飘越远。李白深情地看着敬亭山，

轻轻地对他说

生：敬亭山．谢谢你。是你一直陪伴着我，你真是我最好的

朋友。

师：敬亭山深情地看着李白，轻轻地对他说……

生：李白．你很孤独，我愿一直呆在你身边，就像你的亲人

一样。

师：敬亭山啊，敬亭山！云儿都飞走了，你为什么还陪伴着

李白啊！不要问，不要说，一切尽在（引读）。

生齐读：相看两不厌．只有李太白。

师：当夕阳在山那边，快要落下去的时候。李白深情地看

着敬亭山，轻轻地对他说……

生：略。

师：敬亭山深情地看着李白。轻轻地对他说……

生：略。

师：李白啊，敬亭山！连太阳都快落山了，你为何还不相互

告别，各安其所呢？不要问，不要说，一切尽在（引读）。

生齐读：相看两不厌，只有敬亭山。相看两不厌，只有李太白。

五、要有生命的拔节

一堂简约的课堂，目标是简约的．内容是简约的．形式是

简约的．但留给学生的体验却不应是肤浅的。孙建锋老师曾说

过：三等的课堂是表面的化妆，二等的课堂是精神的化妆，一等

的课堂是生命的化妆。本色的语文就要让学生感受祖国语言文

字的魅力．切切实实地展开语言文字的训练，使学生触摸到语

言文字背后的东西，提升自我的精神境界，乃至是生命的拔节。

孙建锋老师是这样说的，更是这样做的。在一堂千人听课

的公开课上，孙老师让学生结合生活实际，说说对（做一片美

的叶子》中的句子“大树把无数的叶子结为一个整体．无数的

叶子在树上找到了自己的位置”的理解．有的说，班级就像一

棵大树，它把全班４０个学生结为一个整体。还有的说。工厂这

棵大树把许许多多的工人结为一个整体．工人在工厂里都能

找到自己的位置。学生们争先恐后地发言，惟独一个短头发的

男孩目光下垂．不敢看老师。孙老师便微笑着走近他。亲切地

说：“孩子，你对这句话一定有自己的见解，我很想听到你的声

音！”在孙老师耐心鼓励下。男孩终于胆怯地说：“家把爸爸、妈

妈和我结为一个整体．可是……可是爸爸、妈妈离婚了……我

跟奶奶过．原来的家再也没有我的位置了。”说着，伤心地哭

了。整个课堂很静，所有的目光都聚焦在男孩和孙老师身上。

只见孙老师躬身把男孩抱起来，如同抱着自己的孩子，一边用

纸巾拭去男孩脸上的泪水．一边给男孩讲起“珍珠贝”的故事。

话音剐落台下便响起热烈的掌声。这掌声是台下千名教师送

给那位孩子的．激励他做生活的强者，更是送给孙老师的，或

许正因为孙老师的这堂课。这深情的一抱，这“珍珠贝”的故

事．足以影响这孩子的一生，使其鼓足生活的勇气去战胜一切

困难．学生的生命在这灵动的课堂中得到了拔节。

万方数据

一．道竞赛题证’法再探究

李善明

（安康学院数学系，陕西安康７２５０００）

摘要：本文对一道内含丰富且具有探究价值的数学竞

赛题进行了再探究．并给出几种不同的证明方法。

关键词：竞赛题证法探完

＜中学数学教学参考）２００８年第７期（上半月·高中）刊登了

２００８年全国高中数学联赛陕西赛区预赛第二式第五题：

＾

圈１

如图１．ＡＢ是半圆０的直径。Ｃ是五Ｂ的

中点．Ｍ是弦ＡＣ的中点，ＣＨ上ＢＭ，垂足为

Ｈ。求证：ＣＨ‘＝ＡＨ·ＯＨ。

参考答案中给出了一种证法，吕建

恒老师在文献中又给出了八种证法．笔

者通过研读与探究再给出四种证法。

证明：议ｆ（ｔ）为仕一连绥幽骰，

当ａ＞０时．

，：：８［ａ（ｔ－ｔｏ）］ｆ（ｔ）ｄｔ－‘¨ｈ：上．『：：８（ｘ）ｆ（三＋ｔｏ）ｄｘ：土ｆ（旦

ｗ＝吉‰）

当ａ＜Ｏ时．

，：：８［ａ（ｔ—ｔ。）］ｆ（ｔ）ｄｔ．（‘叫“：上．『：：８（ｘ）ｆ（三＋ｔ。）ｄｘ＝一．『：：

ｌｔ（ｘ）ｆ（三＋ｔｏ）ｄＸ：一上ｆ（ｔ。）：三ｆ（１。）

又ｆ：吉８（卜ｔ０）ｆ（ｔ）ｄｔ＝吉取ｔ—ｔｏ）ｆ（ｔ）ｄｔ＝Ｉｆ（ｔｏ）

所以有８［ａ（ｔ飞）］＝Ｂ（ｔ－ｔｏ）。

３．８（ｔ）性质应用举例

例ｌ：求函数ｆ（ｔ）＝８ｉｎ（ｓｔ＋要）的傅里叶变换。

解１．ｆ（ｔ蛐（５峙）＝｛ｓｉｎ５ｔ＋孚ｃｏｓ５ｔ，

由傅里叶变换的线性性质，有

Ｆ［ｆ（ｔ）］＝了１Ｆ（ｓｉｎ５ｔ）＋孚Ｆ（ｃｏｓ５ｔ）

＝｛州８（ｗ＋５）－６（ｗ－５）］＋孚小（ｗ＋５）＋８（ｗ一５）］

州孚＋扣ｃｗ㈣帽ｃ孚÷烈ｗ㈣

解２：由傅里叶变换的位移性质，

Ｆ［ｆ（ｔ）］＝Ｆ［ｓｉｎ５（ｔ＋吾）］＝ｅ”１Ｔｉ…ｗ＋５）戈（Ｗ《）］硎

．憎．二ｈ．二

［ｅ巧６（ｗ＋５）一ｅ

峙８（ｗ一５）］

两种解法结果形式上不一致，可利用８（ｔ）性质４变形，有

ｉ－．二ｈ．二

Ｆ［ｆ（ｔ）］＝１ｒｉ［ｅ皓８（ｗ＋５）一ｅ培ａ（ｗ一５）］

证法一：如图２，连结ＯＣ，ＢＣ，ＯＭ。

‘．‘ＣＨ上ＢＭ，ＣＯ上ＡＢ。

．·．０、Ｂ、Ｃ、Ｈ四点共圆。

．·．￡ＢＨＯ＝￡ＢＣ０＝＿４５。．［０ＡＭ－－４５。．

于是０、Ａ、Ｍ、Ｈ四点共圆，

故￡０ＨＡ＝［０ＭＡ＝９００，

在ＲｔＡＢＭＣｑｂ．旦：里：罂：三，

’ＣＨＢＨＢＣ

２

．‘．ＭＨ＝二ＣＨ．ＢＨ＝２ＣＨ。

２

又０．Ｍ分别为ＡＢ、ＡＣ的中点，

则有Ｓ△ＳＨＣ＝Ｓ△眦＝２ＳＡＯＨＡ，

图２

ｉ．（一）．三

ｉ．５．三

：喇［ｅ

１５８（ｗ＋５）一ｅ”ａ（ｗ一５）］

邵ｉ｛［ｃｏｓ（一号）“ｓｉｎ（一号）］８（ｗ＋５卜［ｃｏｓ詈“ｓｉｎ詈］８（ｗ－５）】

日

州笪２＋１２ｉ）８（ｗ＋５）州孚一扣（ｗ－５）

最终两种解法可得到同样的结果。

例２：求函数ｆ（ｔ）＝ｃｏｓ５ｔ的傅里叶变换。

解：由公式Ｆ［ｃｏｓｔ］＝盯［８（ｗ＋１）＋８（ｗ—１）］及傅里叶变换的

反比特性，有

Ｆ［ｃｏｓ５ｔ］＝面１１ｒ［８（詈＋１）＋８（詈一１）］

＝了１小（孚＋１）＋８（孚）］（由６（ｔ）性质５得到）

＝１１

ｗｒ［１５１Ｂ（ｗ＋５）＋１５ｂ（ｗ一５）］

＝１Ｔ［８（ｗ＋５）＋８（ｗ一５）］

注：类似此例也可得到公式Ｆ［ｃｏｓｗ一］＝Ｔｒ［８（州＿ｗ０）＋８（ｗ－ｗ。）］

例３：求Ｆ（ｗ）：三ｅ一＋叮ｒ８（ｗ）的傅里叶逆变换。

ＩＷ

解：因为Ｆ（ｗ）：－１ｅ’ｉｗ＋１Ｔ８（ｗ）：三ｅ一＋１Ｔ８（ｗ）ｅ一“

ＩＷ

ＩＷ

：ｅ１“【土＋１Ｔ８（ｗ）］－Ｆ［ｕ（ｔ－１）］

ｌＷ

贝０有Ｆ一１［！一ｅ－ｊ。＋，丌８（ｗ）］：ｕ（ｔ—１）

ＩＷ

注：此例反用８（ｔ）性质４，使解题过程简洁。

由以上三例可以看出，只有熟悉８（ｔ）甬数的性质，才能在

工程技术应用中。才能真正实现单位脉冲函数８（ｔ）的价值。

参考文献：

［１］张韵琴．单位脉冲函数中的若干问题［Ｊ］．工科数学，

１９９４，（３）：１１６—１２０．

［２］程其襄，张奠宙，魏国强．实变函数与泛函分析基础

［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９８３．

［３］陈洪．贾积身，王杰．复变函数与积分变换［Ｍ］．北京：

高等教育出版社，２００２．

万方数据

单位脉冲函数δ(t)及其性质

作者：唐友刚，吴果林

作者单位：桂林航天工业高等专科学校,计算机系,数学教研室,广西,桂林,541004

刊名：

考试周刊

英文刊名：KAOSHIZHOUKAN

年，卷(期)：2008(36)

被引用次数：1次

1.陈洪;贾积身;王杰复变函数与积分变换2002

2.程其襄;张奠宙;魏国强实变函数与泛函分析基础1983

3.张韵琴单位脉冲函数中的若干问题1994(03)

1.王珍.郭方.赵洪健基于LabVIEW的机械系统频率特性测试的脉冲法实验系统[期刊论文]-实验技术与管理

2009(10)

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