复合导数

复合导数

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2023年3月4日发(作者：水库吃人鱼)

复合函数问题

一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若AB，则y关于x函数的

y=f［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.

二、复合函数定义域问题：

(1)、已知fx()的定义域，求fgx()的定义域

思路：设函数fx()的定义域为D，即

xD

，所以f的作用范围为D，又f对gx()作用，作用范

围不变，所以Dxg)(，解得

xE

，E为fgx()的定义域。

例1.设函数fu()的定义域为（0，1），则函数fx(ln)的定义域为_____________。

解析：函数fu()的定义域为（0，1）即u()01，，所以f的作用范围为（0，1）

又f对lnx作用，作用范围不变，所以01lnx

解得xe()1，，故函数fx(ln)的定义域为（1，e）

例2.若函数fx

x

()



1

1

，则函数ffx()的定义域为______________。

解析：先求f的作用范围，由fx

x

()



1

1

，知x1

即f的作用范围为xRx|1，又f对f(x)作用所以fxRfx()()且1，即ffx()中x应

满足

x

fx











1

1()

即

x

x

















1

1

1

1

，解得xx12且

故函数ffx()的定义域为xRxx|12且

（2）、已知fgx()的定义域，求fx()的定义域

思路：设fgx()的定义域为D，即

xD

，由此得gxE()，所以f的作用范围为E，又f对x作

用，作用范围不变，所以xEE，为fx()的定义域。

例3.已知fx()32的定义域为x12，

，则函数fx()的定义域为_________。

解析：fx()32的定义域为12，

，即x12，

，由此得3215x，

所以f的作用范围为15，

，又f对x作用，作用范围不变，所以x15，

即函数fx()的定义域为15，

例4.已知fx

x

x

()lg2

2

2

4

8





，则函数fx()的定义域为-------

解析：先求f的作用范围，由fx

x

x

()lg2

2

2

4

8





，知

x

x

2

28

0





解得x244，f的作用范围为()4，，又f对x作用，作用范围不变，所以x()4，，

即fx()的定义域为()4，

（3）、已知fgx()的定义域，求fhx()的定义域

思路：设fgx()的定义域为D，即

xD

，由此得gxE()，f的作用范围为E，又f对hx()作

用，作用范围不变，所以hxE()，解得

xF

，F为fhx()的定义域。

例5.若函数fx()2的定义域为11，

，则fx(log)

2

的定义域为____________。

解析：fx()2的定义域为11，

，即x11，

，由此得2

1

2

2x













，

f的作用范围为

1

2

2，













，又f对log

2

x作用，所以log

2

1

2

2x













，，解得x24，

即fx(log)

2

的定义域为24，

评注：函数定义域是自变量x的取值范围（用集合或区间表示）f对谁作用，则谁的范围是f的作用范

围，f的作用对象可以变，但f的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”

的感觉，值得大家探讨。

三、复合函数单调性问题

（1）引理证明

已知函数))((xgfy.若)(xgu在区间ba,(）上是减函数，其值域为(c，d)，又函数)(ufy在

区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数))((xgfy在区间ba,(）上是增函数.

证明：在区间ba,(）内任取两个数

21

,xx，使bxxa

21

因为)(xgu在区间ba,(）上是减函数，所以)()(

21

xgxg,记)(

11

xgu,)(

22

xgu即

),(,

21,21

dcuuuu且

因为函数)(ufy在区间(c,d)上是减函数，所以)()(

21

ufuf,即))(())((

21

xgfxgf，

故函数))((xgfy在区间ba,(）上是增函数.

（2）．复合函数单调性的判断

复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：

)(ufy

增↗减↘

)(xgu

增↗减↘增↗减↘

))((xgfy

增↗减↘减↘增↗

以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.

（3）、复合函数))((xgfy的单调性判断步骤：

ⅰ确定函数的定义域；

ⅱ将复合函数分解成两个简单函数：)(ufy与)(xgu。

ⅲ分别确定分解成的两个函数的单调性；

ⅳ若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数

))((xgfy为增函数；若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函

数），则复合后的函数))((xgfy为减函数。

（4）例题演练

例1、求函数)32(log2

2

1

xxy的单调区间，并用单调定义给予证明

解：定义域130322xxxx或

单调减区间是),3(设

2121

),3(,xxxx且则

)32(log

1

2

1

2

11

xxy)32(log

2

2

2

2

12

xxy

)32(

1

2

1

xx

)32(

2

2

2

xx

=)2)((

1212

xxxx

∵3

12

xx∴0

12

xx02

12

xx

∴)32(

1

2

1

xx>)32(

2

2

2

xx又底数1

2

1

0

∴0

12

yy即

12

yy

∴y在),3(上是减函数

同理可证：y在)1,(上是增函数

［例］2、讨论函数)123(log)(2xxxf

a

的单调性.

［解］由01232xx得函数的定义域为

}.

3

1

,1|{xxx或

则当1a时，若1x，∵1232xxu为增函数，∴)123(log)(2xxxf

a

为增函数.

若

3

1

x，∵1232xxu为减函数.

∴)123(log)(2xxxf

a

为减函数。

当10a时，若1x，则)123(log)(2xxxf

a

为减函数，若

3

1

x，则

)123(log)(2xxxf

a

为增函数.

例3、.已知y=

a

log(2-xa)在［0，1］上是x的减函数，求a的取值范围.

解：∵a＞0且a≠1

当a＞1时，函数t=2-xa>0是减函数

由y=

a

log(2-xa)在［0，1］上x的减函数，知y=

a

logt是增函数，

∴a＞1

由x［0，1］时，2-xa2-a＞0,得a＜2,

∴1＜a＜2

当00是增函数

由y=

a

log(2-xa)在［0，1］上x的减函数，知y=

a

logt是减函数，

∴0

由x［0，1］时，2-xa2-1＞0,∴0

综上述，0

例4、已知函数2)3()2(2axaaxxf（

a

为负整数）的图象经过点Rmm),0,2(，设

)()()()],([)(xfxpgxFxffxg.问是否存在实数)0(pp使得)(xF在区间)]2(,(f上是减函

数，且在区间)0),2((f上是减函数？并证明你的结论。

［解析］由已知0)2(mf，得02)3(2amaam，

其中.0,aRm∴0即09232aa，

解得.

3

721

3

721





a

∵

a

为负整数，∴.1a

∴1)2(34)2(2xxxxf，

即.1)(2xxf242221)1()]([)(xxxxffxg，

∴.1)12()()()(24xppxxfxpgxF

假设存在实数)0(pp，使得)(xF满足条件，设

21

xx，

∴].12)()[()()(2

2

2

1

2

2

2

1

21

pxxpxxxFxF

∵3)2(f，当)3,(,

21

xx时，)(xF为减函数，

∴0)()(

21

xFxF，∴.012)(,02

2

2

1

2

2

2

1

pxxpxx

∵3,3

21

xx,∴182

2

2

1

xx,

∴11612)(2

2

2

1

ppxxp,

∴.0116p①

当)0,3(,

21

xx时,)(xF增函数,∴.0)()(

21

xFxF

∵02

2

2

1

xx,∴11612)(2

2

2

1

ppxxp,

∴0116p.②

由①、②可知

16

1

p，故存在.

16

1

p

一．指数函数与对数函数

．同底的指数函数xya与对数函数log

a

yx互为反函数；

（二）主要方法：

1．解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；

2．指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1，要注意对底数的讨论；

3．比较几个数的大小的常用方法有：①以0和1为桥梁；②利用函数的单调性；③作差．

（三）例题分析：

例1．（1）若21aba，则log

b

b

a

，log

b

a，log

a

b从小到大依次为；

（2）若235xyz，且

x

，y，z都是正数，则2x，3y，5z从小到大依次为；

（3）设0x，且1xxab（0a，0b），则

a

与b的大小关系是（）

（A）1ba（B）1ab（C）1ba（D）1ab

解：（1）由21aba得

b

a

a

，故log

b

b

a



log

b

a

1

log

a

b．

（2）令235xyzt，则1t，

lg

lg2

t

x，

lg

lg3

t

y，

lg

lg5

t

z，

∴

2lg3lglg(lg9lg8)

230

lg2lg3lg2lg3

ttt

xy







，∴23xy；

同理可得：250xz，∴25xz，∴325yxz．（3）取1x，知选（B）．

例2．已知函数

2

()

1

x

x

fxa

x







(1)a，

求证：（1）函数()fx在(1,)上为增函数；（2）方程()0fx没有负数根．

证明：（1）设

12

1xx，

则12

12

12

12

22

()()

11

xx

xx

fxfxaa

xx







1212

1212

1212

223()

11(1)(1)

xxxx

xxxx

aaaa

xxxx







，

∵

12

1xx，∴

1

10x，

2

10x，

12

0xx，

∴12

12

3()

0

(1)(1)

xx

xx







；

∵

12

1xx，且1a，∴12

xxaa，∴120xxaa，

∴

12

()()0fxfx，即

12

()()fxfx，∴函数()fx在(1,)上为增函数；

（2）假设

0

x是方程()0fx的负数根，且

0

1x，则0

0

0

2

0

1

x

x

a

x







，

即0

00

000

23(1)

3

1

111

x

xx

a

xxx







，①

当

0

10x时，

0

011x，∴

0

3

3

1x





，∴

0

3

12

1x





，而由1a知01xa，

∴①式不成立；

当

0

1x时，

0

10x，∴

0

3

0

1x





，∴

0

3

11

1x





，而00xa，

∴①式不成立．

综上所述，方程()0fx没有负数根．

例3．已知函数()log(1)x

a

fxa（0a且1a）．

求证：（1）函数()fx的图象在y轴的一侧；

（2）函数()fx图象上任意两点连线的斜率都大于0．

证明：（1）由10xa得：1xa，

∴当1a时，0x，即函数()fx的定义域为(0,)，此时函数()fx的图象在y轴的右侧；

当01a时，0x，即函数()fx的定义域为(,0)，此时函数()fx的图象在y轴的左侧．

∴函数()fx的图象在y轴的一侧；

（2）设

11

(,)Axy、

22

(,)Bxy是函数()fx图象上任意两点，且

12

xx，则直线AB的斜率12

12

yy

k

xx







，

1

12

2

12

1

log(1)log(1)log

1

x

xx

aaa

x

a

yyaa

a







，

当1a时，由（1）知

12

0xx，∴121xxaa，∴12011xxaa，

∴1

2

1

01

1

x

x

a

a







，∴

12

0yy，又

12

0xx，∴0k；

当01a时，由（1）知

12

0xx，∴121xxaa，∴12110xxaa，

∴1

2

1

1

1

x

x

a

a







，∴

12

0yy，又

12

0xx，∴0k．

∴函数()fx图象上任意两点连线的斜率都大于0．

同步练习

（二）同步练习：

1、已知函数

)x(f

的定义域为

]1,0[

，求函数

)x(f2的定义域。

答案：

]1,1[

2、已知函数

)x23(f

的定义域为

]3,3[

，求

)x(f

的定义域。

答案：

]9,3[

3、已知函数

)2x(fy

的定义域为

)0,1(

，求

|)1x2(|f

的定义域。

答案：

)

2

3

,1()0,

2

1

(

4、设

x

x

xf







2

2

lg，则

























x

f

x

f

2

2

的定义域为（）

A.4,00,4B.4,11,4

C.2,11,2D.4,22,4

解：选C.由

2

0

2

x

x







得，()fx的定义域为|22xx。故

22,

2

2

22.

x

x



















，解得

4,11,4x。故

























x

f

x

f

2

2

的定义域为4,11,4

5、已知函数)(xf的定义域为)

2

3

,

2

1

(x，求)0)(()()(a

a

x

faxfxg的定义域。

［解析］由已知，有







































.

2

3

2

,

2

3

2

1

,

2

3

2

1

,

2

3

2

1

ax

a

a

x

a

a

x

ax

（1）当1a时，定义域为}

2

3

2

1

|{xx；

（2）当a

a2

3

2

3

，即10a时，有

22

1a

a

，

定义域为}

2

3

2

|{ax

a

x；

（3）当a

a2

3

2

3

，即1a时，有

22

1a

a

，

定义域为}

2

3

2

1

|{

a

x

a

x.

故当1a时，定义域为}

2

3

2

1

|{

a

x

a

x；

当10a时，定义域为}.

2

3

2

|{ax

a

x

［点评］对于含有参数的函数，求其定义域，必须对字母进行讨论，要注意思考讨论字母的方法。

练习二

（5）同步练习：

1．函数y＝

2

1

log（x2－3x＋2）的单调递减区间是（）

A．（－∞，1）B．（2，＋∞）

C．（－∞，

2

3

）D．（

2

3

，＋∞）

解析：先求函数定义域为（－o，1）∪（2，＋∞），令t（x）＝x2＋3x＋2，函数t（x）在（－∞，

1）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y＝

2

1

log（x2－3x＋2）

在（2，＋∞）上单调递减．

答案：B

2找出下列函数的单调区间.

（1）)1(232aayxx；

（2）.2322xxy

答案：(1)在]

2

3

,(上是增函数，在),

2

3

[上是减函数。

（2）单调增区间是]1,1[，减区间是]3,1[。

3、讨论

)0,0(),1(logaaayx

a

且

的单调性。

答案：,1a时),0(为增函数，01a时，)0,(为增函数。

4．求函数y＝

3

1

log（x2－5x＋4）的定义域、值域和单调区间．

解：由（x）＝x2－5x＋4＞0，解得x＞4或x＜1，所以x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），当x∈

（－∞，1）∪（4，＋∞），｛｜＝x2－5x＋4｝＝R＋，所以函数的值域是R＋．因为函数y＝

3

1

log（x2

－5x＋4）是由y＝

3

1

log（x）与（x）＝x2－5x＋4复合而成，函数y＝

3

1

log（x）在其定义域

上是单调递减的，函数（x）＝x2－5x＋4在（－∞，

2

5

）上为减函数，在［

2

5

，＋∞］上为增函数．考

虑到函数的定义域及复合函数单调性，y＝

3

1

log（x2－5x＋4）的增区间是定义域内使y＝

3

1

log（x）

为减函数、（x）＝x2－5x＋4也为减函数的区间，即（－∞，1）；y＝

3

1

log（x2－5x＋4）的减区间

是定义域内使y＝

3

1

log（x）为减函数、（x）＝x2－5x＋4为增函数的区间，即（4，＋∞）．

变式练习

一、选择题

1．函数f（x）＝)1(log

2

1

－x的定义域是（）

A．（1，＋∞）B．（2，＋∞）

C．（－∞，2）D．]21(，

解析：要保证真数大于0，还要保证偶次根式下的式子大于等于0，

所以











0)1(log

01

2

1

－

＞－

x

x

解得1＜x≤2．

答案：D

2．函数y＝

2

1

log（x2－3x＋2）的单调递减区间是（）

A．（－∞，1）B．（2，＋∞）

C．（－∞，

2

3

）D．（

2

3

，＋∞）

解析：先求函数定义域为（－o，1）∪（2，＋∞），令t（x）＝x2＋3x＋2，函数t（x）在（－∞，

1）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y＝

2

1

log（x2－3x＋2）

在（2，＋∞）上单调递减．

答案：B

3．若2lg（x－2y）＝lgx＋lgy，则

x

y

的值为（）

A．4B．1或

4

1

C．1或4D．

4

1

错解：由2lg（x－2y）＝lgx＋lgy，得（x－2y）2＝xy，解得x＝4y或x＝y，则有

x

y

＝

4

1

或

y

x

＝1．

答案：选B

正解：上述解法忽略了真数大于0这个条件，即x－2y＞0，所以x＞2y．所以x＝y舍掉．只有x

＝4y．

答案：D

4．若定义在区间（－1，0）内的函数f（x）＝

a2

log（x＋1）满足f（x）＞0，则a的取值范围为

（）

A．（0，

2

1

）B．（0，1）

C．（

2

1

，＋∞）D．（0，＋∞）

解析：因为x∈（－1，0），所以x＋1∈（0，1）．当f（x）＞0时，根据图象只有0＜2a＜l，解得

0＜a＜

2

1

（根据本节思维过程中第四条提到的性质）．

答案：A

5．函数y＝lg（

x－1

2

－1）的图象关于（）

A．y轴对称B．x轴对称

C．原点对称D．直线y＝x对称

解析：y＝lg（

x－1

2

－1）＝

x

x

－

＋

1

1

lg，所以为奇函数．形如y＝

x

x

－

＋

1

1

lg或y＝

x

x

－

＋

1

1

lg的函数都为奇

函数．

答案：C

二、填空题

已知y＝

a

log（2－ax）在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是__________．

解析：a＞0且a≠1

（x）＝2－ax是减函数，要使y＝

a

log（2－ax）是减函数，则a＞1，

又2－ax＞0

a＜

x

2

（0＜x＜1）

a＜2，所以a∈（1，2）．

答案：a∈（1，2）

7．函数f（x）的图象与g（x）＝（

3

1

）x的图象关于直线y＝x对称，则f（2x－x2）的单调递减

区间为______．

解析：因为f（x）与g（x）互为反函数，所以f（x）＝

3

1

log

x

则f（2x－x2）＝

3

1

log（2x－x2），令（x）＝2x－x2＞0，解得0＜x＜2．

（x）＝2x－x2在（0，1）上单调递增，则f［（x）］在（0，1）上单调递减；

（x）＝2x－x2在（1，2）上单调递减，则f［（x）］在［1，2）上单调递增．

所以f（2x－x2）的单调递减区间为（0，1）．

答案：（0，1）

8．已知定义域为R的偶函数f（x）在［0，＋∞］上是增函数，且f（

2

1

）＝0，

则不等式f（log

4

x）＞0的解集是______．

解析：因为f（x）是偶函数，所以f（－

2

1

）＝f（

2

1

）＝0．又f（x）在［0，＋∞］上是增函数，

所以f（x）在（－∞，0）上是减函数．所以f（log

4

x）＞0log

4

x＞

2

1

或log4x＜－

2

1

．

解得x＞2或0＜x＜

2

1

．

答案：x＞2或0＜x＜

2

1

三、解答题

9．求函数y＝

3

1

log（x2－5x＋4）的定义域、值域和单调区间．

解：由（x）＝x2－5x＋4＞0，解得x＞4或x＜1，所以x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），当x∈

（－∞，1）∪（4，＋∞），｛｜＝x2－5x＋4｝＝R＋，所以函数的值域是R＋．因为函数y＝

3

1

log（x2

－5x＋4）是由y＝

3

1

log（x）与（x）＝x2－5x＋4复合而成，函数y＝

3

1

log（x）在其定义域

上是单调递减的，函数（x）＝x2－5x＋4在（－∞，

2

5

）上为减函数，在［

2

5

，＋∞］上为增函数．考

虑到函数的定义域及复合函数单调性，y＝

3

1

log（x2－5x＋4）的增区间是定义域内使y＝

3

1

log（x）

为减函数、（x）＝x2－5x＋4也为减函数的区间，即（－∞，1）；y＝

3

1

log（x2－5x＋4）的减区间

是定义域内使y＝

3

1

log（x）为减函数、（x）＝x2－5x＋4为增函数的区间，即（4，＋∞）．

10．设函数f（x）＝

53

2

＋x

＋

x

x

23

23

lg

＋

－

，

（1）求函数f（x）的定义域；

（2）判断函数f（x）的单调性，并给出证明；

（3）已知函数f（x）的反函数f－1（x），问函数y＝f－1（x）的图象与x轴有交点吗?若有，求出交

点坐标；若无交点，说明理由．

解：（1）由3x＋5≠0且

x

x

23

23

＋

－

＞0，解得x≠－

3

5

且－

2

3

＜x＜

2

3

．取交集得－

2

3

＜x＜

2

3

．

（2）令（x）＝

53

2

＋x

，随着x增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数；

x

x

23

23

＋

－

＝－1＋

x23

6

＋

随着x增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数．

又y＝lgx在定义域内是增函数，根据复合单调性可知，y＝

x

x

23

23

lg

＋

－

是减函数，所以f（x）＝

53

2

＋x

＋

x

x

23

23

lg

＋

－

是减函数．

（3）因为直接求f（x）的反函数非常复杂且不易求出，于是利用函数与其反函数之间定义域与值域

的关系求解．

设函数f（x）的反函数f－1（x）与工轴的交点为（x

0

，0）．根据函数与反函数之间定义域与值域的

关系可知，f（x）与y轴的交点是（0，x

0

），将（0，x

0

）代入f（x），解得x

0

＝

5

2

．所以函数y＝f－1

（x）的图象与x轴有交点，交点为（

5

2

，0）。