微积分入门

2024年2月6日发(作者：)

微积分入门

微积分入门

一.微商（导数）

1.用来分析变化的工具

2.斜率=dy/dx

3.极限：一个值无限接近另一个值的状态。表示：lim(x→0)f(x)=b

4.正向接近（+∞）与负向接近（-∞）。当从两侧接近的结果不同时，不存在极限

5.极限的模式：lim(x→a)f(x) 不存在（如lim(x→a)1/x) lim(x→a)f(x)存在，但不

是f(a)(如lim(x→1)（x^2-3*x+2)/(x-1))

lim(x→a)f(x)存在，是f(a).

6.求导公式：lim(h→0)( f(x+h) -f(x))/h

二．导函数

1对f(x)求导得到的导函数也是函数。f ’(x)=lim(h→0)( f(x+h)

-f(x))/h=lim(dx→0)dy/dx

2.导数表示的两种方式:A.如上 B.(莱布尼茨法）dy/dx df(x)/dx F’’(x)=(d/dx)*(d/dx)*y

3.求导基本公式：p=C p’=0(p为常数）(px)’=p {f(x)+g(x)}’=f’(x)+g’(x)

4.常用求导公式：（x^n)’=lim(h→0)((x+h)

‘=lim(h→0)[{f(x+h)g(x+h)}-{f(x)g(x)}]/h

=lim(h→0)[{f(x+h)-f(x)}*g(x+h)+f(x)*{g(x+h)-g(x)}] /h

=f ‘(x)*g(x)+f(x)*g’(x)

4.[(x+b)^n]’=n(x+b)^(n-1)

5.[(ax+b)^n]’=an(ax+b)^(n-1)

五.二项式定理（展开(x+h)^n)

1.(x+h)^n=x+Cxh+Cxh+.......+Cnn1n1n2n22nnhn

∆.nCk表示“从n个数中挑选k个数的组合数”（有几种组合方式）

如 nC1=n.

1 1

(x+h)^2=x^2+2xh+h^2

1 2 1

(x+h)^3=x^3+3x^2h+3xh^2+h^3

1 3 3 1

(x+h)^4=x^4+4x^3h+6x^2h^2+4xh^3+h^4→

→

→

2.(x+h)^1=x+h →

1 4 6 4 1

（系数）3.(x1)=(!/(k!(xk)!)x

k杨辉三角

(1x)1(1x)1/2=1/(1+x)=1-x+x^2-x^3+......

1/2(1/21)=1x=1+1x+x^2+......

21*k系数(1)...(k1)

函数x的导数：(xo)xx1o...x/xx1...（最初比）

令o=0,得最末比（流数）导数x & 反流数（1/+1）x

11六．使用导数绘制图形

y ’ =6x^2+6x-12=0

X1=-2 →y=26 x2=1 →y=-1

maxmin例1：绘制y=2x^3+3x^2-12x+6的图像

x

f ’(x)

f(x)

... -2 ...

1

+

0

↑

26

-

0

↓

-1

...

+

↑

要点：求导找到极值点 求极值点间的增减趋势

例1图

例2：判断曲线凹凸的方法→求二次微分f ’’(x)的正负

下凸→切线斜率增大→f ‘(x)为增函数→f ‘’(x)>0

上凸→切线斜率减小→f ‘(x)为减函数→f ‘’(x)<0

凹凸性增减表（f(x)=x^3-3x f

‘(x)=3x^2-3)

x .. .. .. ...

f ’(x)

‘’(x)

-1 .

0

-

0

-

0

. 1

0

+

.

+ - - +

f - - + +

↑ ↓ ↓ ↑

f(x) 2 0 -2

增加上凸 减小上凸

减小下凸 增加下凸

例2图

由上凸→下凸拐点坐标（0 , 0）拐点处切线:y= - 3x

f ’(x)=3ax^2+2bx+c

七．积分（面积）与导数（斜率）的关系

1.积分是导数的逆向运算，即f(x)=(d/dx)f(t)dt(关于t求f(t)积分）

x0 f(x)=ax^3+bx^2+cx+d

导数(x^n)’=? 积分（?)’=nx^(n-1)

为积分符号（Summation合计)

2.对f(x)求不定积分得到的函数为原函数，如2xdx=(1/3)x^3+C(C为积分常数）

求导函数（导数算式）+初始条件（信息） 基础函数（原函数）

3.af(x)bg(x)dxaf(x)dxbg(x)dxaF(x)bG(x)



证明：设F’(x)=f(x) , G’(x)=g(x)

[aF(x)+bG(x)] ’=aF’(x)+bG’(x)=af(x)+bg(x)

af(x)bg(x)dxaf(x)dxbg(x)dxaF(x)bG(x)

例：

=axdxbxdxcxdxddx

32(axbxcxd)dx32

=(a/4)x^4+(b/3)x^3+(c/2)x^2+dx+K(K为积分常数）

4.不定积分的原函数有无数个

证明：F(x)和G(x)均为f(x)的不定积分

F’(x)=f(x)

g’(x)=f(x)(F(x)-G(x))’=F’(x)-G’(x)=0F(x)-G(x)=C

八．1.定积分babf(x)dxF(x)F(b)F(a)a（从a到b )

∆..定积分的结果不是函数，而是常数

∆x与dx的最大区别在于是否引入了极限的概念

2.定积分的性质

f(x)g(x)dxbabaf(x)dxg(x)dxab

aaf(x)dx0

 ④bacbaf(x)dxf(x)ba

cbbf(x)dxf(x)dxf(x)dxF(x)F(x)F(c)F(a)F(b)F(c)F(x)acacab

⑤(axb)nndx(1/a(n1))(axb)n1C

3.常用初等函数积分公式

xdx(1/n1)xC(n1)

n1 sinxdxcosxC

cosxdxsinxC

④edxexxC

⑤(dx/x)InxC

九．

lim(n→0)长方形1+长方形2+...+长方形n

=lim(n→0)宽*（长1+长2+...+长n）

=lim(n→0)宽*长(n)=lim(n→0)((b-a)/n){f(x1)+f(x2)+...+f(xn)}

1.

.S1S2

n1kk0 S1=lim(n→0)((b-a)/n)f(x)

S2=lim(n→0)((b-a)/n)f(x)

kk1n 如果长方形宽无限缩小，那么S1S2

f(k)f(a)f(a1)...f(b)

kab2.例：求函数f(x)=x^2在[0 ，1]之间，函数图象与x轴围成的图形面积

S=lim(n→0)(k/n)n1k02n-1(1/n)(1/n^3)lim(n0)k2k0

=lim(n→0)(1/n^3)((n-1)n(2n-1)/6)=lim(n→0)(1/6)(1-1/n)(2-1/n)=1/3

公式：kn1k02(n1)n(2n1)6

f(xk)=f(a+k(b-a)/n)=(k/n)^2

十．定积分的推导

Slim(x0)f(x)x



f(x)lim(x0)F(xx)F(x)

kk0n1x

S=lim(∆x→0)[(F(xn)-F(xn-1))+(F(xn-1)-F(xn-2))+...+(F(x1)-F(xo))]

=F(b)-F(a)

=F(xn)-F(x0)

∆S=S(x+∆x)-S(x) & ∆S=f(x)∆xS’(x)=f(x)

对S(x),由S’(x)=f(x)得：S(x)=f(x)dx=F(x)+C

当x=a时：S(a)=0 S(a)=F(a)+C=0

S(x)=F(x)-F(a)

当x=b时:S=F(b)-F(a)

面积函数：F(x)=f(t)dt

0x

微积分的基本定理：f(x)=(d/dx)f(t)dt

0x证明：设f(x)和其产生面积S(x) dS(x)=f(x)dx

(d/dx)S(x)f(x)

S(x)d

dxx0x0f(t)dt

aF(x)bf(t)dtf(x)十一．积分所求面积为负：f(x)值为负 积分方向相反（bF(x)a与）

例1：若f(x)=(x-1)(x+1),求函数y=f(x)与x

轴围成的部分面积



例2：求y=(x-1)(x-2)(x-3)和x轴围成的图形面积

S(x1)(x2)(x3)dx(x1)(x2)(x3)dx122311(x1)(x1)dx（负）→11f(x)dx

SF(x)141(x3x)11331

=1/4+1/4=1/2

十二．1. 二次函数图象与x轴所围面积公式（y(x)(x))

Sf(x)dxx32()xdx2

11 =x()x32x

=1()631()2226

2.

Sf(x)g(x)dx

例：求f(x)=x^2, g(x)= - x^2+2x+4所围成的图形面积



十三．1.换元积分

21S(x2(x22x4))dx9

若x=g(u) , 则dx=g ‘(u)du ,则f(x)dxf(g(u))g'(u)du

2.分步积分

由d(uv)=udv+vdu可得：udvuvvdu

十四.

展开

1.微商在函数逼近中的应用：泰勒级数和小量 在x=xo附近可以把函数y=f(x)展开为泰勒级数

f(x)1(n)1f(xo)(xxo)nf(xo)f'(xo)(xxo)f''(xo)(xxo)2...2!n0n!n(n1)2x2!

(1x)n1nx... (x<<1)

tanxx13x...3!

x3sinxx...3!

x2cosx1...2!

ex1x12x...2!(x<<1)

(位移二次求导得a）

2.物理公式中的微积分

F=ma→ d2xmgm2dtd2xFm2dt(加速度） →(关于t求积分）

mdx（速dt度）mgtCmgt →

mx(位移）=(1/2)mgt^2+D

设t=0时，x=0, 则：mx=(1/2)mgt^2 →

x=(1/2)gt^2

以初速度Vo将球斜向上抛出

水平方向（x）: F(x)=0 → x=vtDvt

xx

11xxxvxtygt2vytyg()2vy()22vxvx2

ax =12bx(运行轨迹）

dx•vxxdt

•dvxd2x••axvx2xdtdt