绝对值的化简方法口诀

绝对值的化简方法口诀

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时间：二O二一年七月二十九日

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绝对值年夜全（零点分段法、化简、最值）之阿布

丰王创作

时间：二O二一年七月二十九日

一、去绝对值符号的几种经常使用方法

解含绝对值不等式的基本思路是去失落绝对值符号,使不等式

酿成不含绝对值符号的一般不等式,而后,其解法与一般不等式的

解法相同.因此掌握去失落绝对值符号的方法和途径是解题关键.

1利用界说法去失落绝对值符号

根据实数含绝对值的意义,即|x|=

(0)

(0)

xx

xx











,有

|x|

(0)

(0)

cxcc

c













；|x|>c

(0)

0(0)

(0)

xcxcc

xc

xRc

















或

2利用不等式的性质去失落绝对值符号

利用不等式的性质转化|x|c(c>0)来解,如

|axb|>c(c>0)可为axb>c或axb<－c；|axb|

c

对含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解,也可利用结论

“a≤|x|≤b

a≤x≤b或－b≤x≤－a”来求解,这是种典范

的转化与化归的数学思想方法.

3利用平方法去失落绝对值符号

对两边都含有“单项”绝对值的不等式,利用|x|2=2x可在两

边脱去绝对值符号来解,这样解题要比按绝对值界说去讨论脱去绝

对值符号解题更为简捷,解题时还要注意不等式两边变量与参变量

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的取值范围,如果没有明确不等式两边均为非负数,需要进行分类

讨论,只有不等式两边均为非负数(式)时,才可以直接用两边平方

去失落绝对值,尤其是解含参数不等式时更必需注意这一点.

4利用零点分段法去失落绝对值符号

所谓零点分段法,是指：若数

1

x,

2

x,……,

n

x分别使含有|x－

1

x|,|x－

2

x|,……,|x－

n

x|的代数式中相应绝对值为零,称

1

x,

2

x,……,

n

x为相应绝对值的零点,零点

1

x,

2

x,……,

n

x将数轴分

为m+1段,利用绝对值的意义化去绝对值符号,获得代数式在各段

上的简化式,从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解,即令每

项即是零,获得的值作为讨论的分区点,然后再分区间讨论绝对值

不等式,最后应求出解集的并集.零点分段法是解含绝对值符号的

不等式的经常使用解法,这种方法主要体现了化归、分类讨论等数

学思想方法,它可以把求解条理化、思路直观化.

5利用数形结合去失落绝对值符号

解绝对值不等式有时要利用数形结合,利用绝对值的几何意义

画出数轴,将绝对值转化为数轴上两点间的距离求解.数形结合法

较为形象、直观,可以使复杂问题简单化,此解法适用于

||||xaxbm或||||xaxbm(m为正常数)类型不等式.对

||||axbcxdm(或

二、如何化简绝对值

绝对值的知识是初中代数的重要内容,在中考和各类竞赛中经

常呈现,含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一,解

决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义,将绝对值符号化去,

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将问题转化为不含绝对值符号的问题,确定绝对值符号内部份的正

负,借以去失落绝对值符号的方法年夜致有三种类型.

（一）、根据题设条件

例1：设化简的结果是（）.

（A）（B）（C）（D）

思路分析：由可知可化去第一层绝对值符号,

第二次绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去．

解：

∴应选（B）．

归纳点评只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零,

就能根据绝对值意义顺利去失落绝对值符号,这是解答这类问题的

惯例思路．

（二）、借助数轴

例2：实数a、b、c在数轴上的位置如图所示,则代数式

的值即是（）．

（A）（B）（C）

（D）

思路分析由数轴上容易看出

,这就为去失落绝对值符号扫清了

障碍．

解：原式

∴应选（C）．

归纳点评这类题型是把已知条件标在数轴上,借助数轴提

供的信息让人去观察,一定弄清：

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1．零点的左边都是负数,右边都是正数．

2．右边点暗示的数总年夜于左边点暗示的数．

3．离原点远的点的绝对值较年夜,牢记这几个要点就能沉着

自如地解决问题了．

（三）、采纳零点分段讨论法

例3：化简

思路分析本类型的题既没有条件限制,又没有数轴信息,要

对各种情况分类讨论,可采纳零点分段讨论法,本例的难点在于

的正负不能确定,由于x是不竭变动的,所以它们为正、

为负、为零都有可能,应当对各种情况—一讨论．

解：令得零点：；令得零点：,把数

轴上的数分为三个部份（如图）

①那时,

∴原式

②那时,,

∴原式

③那时,,

∴原式

∴

归纳点评：虽然的正负不能确定,但在某个具体的区

段内都是确定的,这正是零点分段讨论法的优点,采纳此法的一般

步伐是：

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1．求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零,求出零点

（纷歧定是两个）．

2．分段：根据第一步求出的零点,将数轴上的点划分为若干

个区段,使在各区段内每个绝对值符号内的部份的正负能够确定．

3．在各区段内分别考察问题．

4．将各区段内的情形综合起来,获得问题的谜底．

误区点拨千万不要想固然地把等都当做正数或无根据

地增加一些附加条件,以免得犯毛病的结果．

三、带绝对值符号的运算

在初中数学教学中,如何去失落绝对值符号？因为这

一问题看似简单,所以往往容易被人们忽视.其实它既是初中数学

教学的一个重点,也是初中数学教学的一个难点,还是学生容易搞

错的问题.那么,如何去失落绝对值符号呢？我认为应从以下几个

方面着手：

（一）、要理解数a的绝对值的界说.

在中学数学教科书中,数a的绝对值是这样界说的,“在数轴

上,暗示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值.”学习这个界

说应让学生理解,数a的绝对值所暗示的是一段距离,那么,不论数

a自己是正数还是负数,它的绝对值都应该是一个非负数.

（二）、要弄清楚怎样去求数a的绝对值.

从数a的绝对值的界说可知,一个正数的绝对值肯定是它的自

己,一个负数的绝对值肯定是它的相反数,零的绝对值就是零.在这

里要让学生重点理解的是,当a是一个负数时,怎样去暗示a的相

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反数（可暗示为“-a”）,以及绝对值符号的双重作用（一是非负

的作用,二是括号的作用）.

（三）、掌握初中数学罕见去失落绝对值符号的几种

题型.

1、对形如︱a︱的一类问题只要根据绝对值的3个性质,判断出a

的3种情况,便能快速去失落绝对值符号.当a>0时,︱a︱=a

(性质1：正数的绝对值是它自己)；当a=0时,︱a︱=0(性

质2：0的绝对值是0)；当a<0时；︱a︱=–a(性质

3：负数的绝对值是它的相反数).

2、对形如︱a+b︱的一类问题

首先要把a+b看作是一个整体,再判断a+b的3种情况,根据

绝对值的3个性质,便能快速去失落绝对值符号进行化简.

当a+b>0时,︱a+b︱=(a+b)=a+b(性质1：正数的绝对值是

它自己)；当a+b=0时,︱a+b︱=(a+b)=0(性质2：0的绝对值

是0)；当a+b<0时,︱a+b︱=–(a+b)=–a-b(性质3：负数的

绝对值是它的相反数).

3、对形如︱a-b︱的一类问题

同样,仍然要把a-b看作一个整体,判断出a-b的3种情况,

根据绝对值的3个性质,去失落绝对值符号进行化简.

但在去括号时最容易呈现毛病.如何快速去失落绝对值符号,

条件非常简单,只要你能判断出a与b的年夜小即可（不论正负）.

因为︱年夜-小︱=︱小-年夜︱=年夜-小,所以当a>b时,︱a-b︱=

（a-b）=a-b,︱b-a︱=（a-b）=a-b.

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口诀：无论是年夜减小,还是小减年夜,去失落绝对值,都是年夜减

小.

4、对数轴型的一类问题,

根据3的口诀来化简,更快捷有效.如︱a-b︱的一类问题,只

要判断出a在b的右边（不论正负）,即可获得︱a-b︱=（a-b）

=a-b,︱b-a︱=（a-b）=a-b.

5、对绝对值符号前有正、负号的运算

非常简单,去失落绝对值符号的同时,不要忘记打括号.前面是

正号的无所谓,如果是负号,忘记打括号就惨了,差之毫厘失之千里

也！

6、对绝对值号里有三个数或者三个以上数的运算

万变不离其宗,还是把绝对值号里的式子看成一个整体,

把它与0比力,年夜于0直接去绝对值号,小于0的整体前面加负

号.

四、去绝对值化简专题练习

（1）设化简的结果是（B）.

（A）（B）（C）（D）

(2)实数a、b、c在数轴上的位置如图所示,则代数式

的值即是（C）.

（A）（B）（C）（D）

(3)已知,化简的结果是x-8.

(4)已知,化简的结果是-x+8.

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(5)已知,化简的结果是-3x.

(6)已知a、b、c、d满足且

,那么a+b+c+d=0（提示：可借助数轴

完成）

(7)若,则有（A）.

（A）（B）（C）（D）

(8)有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示,则式子

化简结果为

（C）．

（A）（B）（C）（D）

(9)有理数a、b在数轴上的对应点如图所示,那么下列四个式

子,中负数的个数是（B）．

（A）0（B）1（C）2（D）3

(10)化简=

(1)-3x(x2)

(11)设x是实数,下列四个结论中正确的是

（D）.

（A）y没有最小值

（B）有有限多个x使y取到最小值

（C）只有一个x使y取得最小值

（D）有无穷多个x使y取得最小值

五、绝对值培优教案

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绝对值是初中代数中的一个基本概念,是学习相反数、有理数

运算及后续二次根式的基础．绝对值又是初中代数中的一个重要

概念,在解代数式化简求值、解方程（组)、解不等(组)、函数中

距离等问题有着广泛的应用,全面理解、掌握绝对值这一概念,应

从以下方面人手：

l．绝对值的代数意义：



















)0(

)0(0

)0(

aa

a

aa

a

2．绝对值的几何意义从数轴上看,a暗示数a的点到原点的距离

(长度,非负)；

ba暗示数a、数b的两点间的距离．

3．绝对值基赋性质

①非负性：0a；②baab；③)0(b

b

a

b

a

；④22

2aaa．

培优讲解

（一）、绝对值的非负性问题

【例1】若3150xyz,则xyz.

总结：若干非负数之和为0,.

（二）、绝对值中的整体思想

【例2】已知4,5ba,且abba,那么ba=．

变式1.若|m－1|=m－1,则m_______1;若|m－1|>m－1,则

m_______1;

（三）、绝对值相关化简问题（零点分段法）

【例3】阅读下列资料并解决有关问题：

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我们知道





0

0

0

0





















x

x

x

x

x

x,现在我们可以用这一个结论来化简含有

绝对值的代数式,如化简代数式21xx时,可令01x和

02x,分别求得2,1xx（称2,1分别为1x与2x的零点

值）.在有理数范围内,零点值1x和2x可将全体有理数分成不

重复且不遗漏的如下3种情况：

（1）那时1x,原式=1221xxx;

（2）那时21x,原式=321xx；

（3）那时2x,原式=1221xxx.

综上讨论,原式=





2

21

1

12

3

12





















x

x

x

x

x

通过以上阅读,请你解决以下问题：

（1）分别求出2x和4x的零点值；（2）化简代数式

42xx

变式1.化简(1)12x；

(2)31xx；

23xx的最小值是a,23xx的最年夜值为b,求ba的值.

（四）、ba暗示数轴上暗示数a、数b的两点间的距离．

【例4】（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距

离4与

2

,3与5,

2

与6,

4

与3.

并回答下列各题：

（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？

答：___.

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（2）若数轴上的点A暗示的数为x,点B暗示的数为―1,则A与B

两点间的距离

可以暗示为______________.

（3）结合数轴求得23xx的最小值为,取得最小值时x的取值

范围为___.

（4）满足341xx的x的取值范围为______.

（5）若1232008xxxx的值为常数,试求x的取值范

围．

（五）、绝对值的最值问题

【例5】（1）当x取何值时,3x有最小值？这个最小值是几多？

（2）当x取何值时,25x有最年夜值？这个最年夜值是几多？

（3）求54xx的最小值.（4）求987xxx的最小值.

【例6】．已知1,1yx,设421xyyyxM,求M的最

年夜值与最小值．

课后练习：

1、若

|1|ab

与2(1)ab

互为相反数,求321ab的值.

2．若

1ba

与2)1(ba

互为相反数,则

a

与b的年夜小关系是

()．

A．baB．baC．baD．ba

3．已知数轴上的三点A、B、C分别暗示有理数

a

,1,一l,那么

1a

暗示()．

A．A、B两点的距离B．A、C两点的距离

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C．A、B两点到原点的距离之和D．A、C两点到原点的

距离之和

23xx

,可以看出,这个式子暗示的是

x

到2的距离与

x

到3的

距离之和,它暗示两条线段相加：⑴那时

x

,发现,这两条线段的

和随

x

的增年夜而越来越年夜；⑵那时

x

,发现,这两条线段的和

随

x

的减小而越来越年夜；⑶那时x,发现,无论

x

在这个范围取

何值,这两条线段的和是一个定值,且比⑴、⑵情况下的值都小.因

此,总结,

23xx

有最小值,即即是到的距离

5.利用数轴分析

71xx

,这个式子暗示的是

x

到7的距离与

x

到1的距离之差它暗示两条线段相减：⑴那时x,发现,无论

x

取

何值,这个差值是一个定值；⑵那时x,发现,无论

x

取何值,这个

差值是一个定值；

⑶那时

x

,随着

x

增年夜,这个差值渐渐由负变正,在中点处是零.

因此,总结,式子

71xx

那时

x

,有最年夜值；那时

x

,有最小

值；

9．设0cba,0abc,则

c

ba

b

ac

a

cb









的值是（）．

A．-3B．1C．3或-1D．-3或1

10．若2x,则

x11

；若

aa

,则

21aa

．

12．设cba、、分别是一个三位数的百位、十位和个位数字,而且

cba,则

accbba

可能取得的最年夜值是．

4、当b为______时,5-

12b

有最年夜值,最年夜值是_______

当a为_____时,1＋|a+3|有最小值是_________.

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5、当a为_____时,3＋|2a－1|有最小值是________；当b为

______时,1-|2＋b|有最年夜值是_______.

2、已知b为正整数,且a、b满足|2a－4|＋b＝1,求a、b的值.

7.化简：⑴

13xx

；⑵

213xx

4、如果2x＋|4－5x|＋|1－3x|＋4恒为常数,求x的取值范围.

7、若

|5||2|7xx

,求

x

的取值范围.

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