高中数学练习题

高中数学练习题

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2023年3月1日发(作者：环球商贸网)

1

集合

1集合与集合的表示方法

1．下列各组对象

①接近于0的数的全体；②比较小的正整数全体；

③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；

⑤2的近似值的全体．

其中能构成集合的组数有()

A．2组B．3组C．4组D．5组

2．设集合M＝{大于0小于1的有理数}，

N＝{小于1050的正整数}，

P＝{定圆C的内接三角形}，

Q＝{所有能被7整除的数}，

其中无限集是()

A．M、N、PB．M、P、Q

C．N、P、QD．M、N、Q

3．下列命题中正确的是()

A．{x｜x2＋2＝0}在实数范围内无意义

B．{(1，2)}与{(2，1)}表示同一个集合

C．{4，5}与{5，4}表示相同的集合

D．{4，5}与{5，4}表示不同的集合

4．直角坐标平面内，集合M＝{(x，y)｜xy≥0，x∈R，y∈R}的元素所对应的点是

()

A．第一象限内的点B．第三象限内的点

C．第一或第三象限内的点D．非第二、第四象限内的点

5．已知M＝{m｜m＝2k，k∈Z}，X＝{x｜x＝2k＋1，k∈Z}，Y＝{y｜y＝4k＋1，k∈

Z}，则()

A．x＋y∈MB．x＋y∈XC．x＋y∈YD．x＋yM

6．下列各选项中的M与P表示同一个集合的是()

A．M＝{x∈R｜x2＋0.01＝0}，P＝{x｜x2＝0}

B．M＝{(x，y)｜y＝x2＋1，x∈R}，P＝{(x，y)｜x＝y2＋1，x∈R}

C．M＝{y｜y＝t2＋1，t∈R}，P＝{t｜t＝(y－1)2＋1，y∈R}

D．M＝{x｜x＝2k，k∈Z}，P＝{x｜x＝4k＋2，k∈Z}

7．由实数x，－x，｜x｜所组成的集合，其元素最多有______个．

8．集合{3，x，x2－2x}中，x应满足的条件是______．

9．对于集合A＝{2，4，6}，若a∈A，则6－a∈A，那么a的值是______．

10．用符号∈或填空：

①1______N，0______N．－3______Q，0.5______Z，2______R．

②

2

1

______R，

5

______Q，｜－3|______N＋，｜－

3

｜______Z．

11．若集合A＝{x｜x2＋(a－1)x＋b＝0}中，仅有一个元素a，则a＝______，b＝

______．

2

12．已知集合P＝{0，1，2，3，4}，Q＝{x｜x＝ab，a，b∈P，a≠b}，用列举法表示

集合Q＝______．

13．用描述法表示下列各集合：

①{2，4，6，8，10，12}________________________________________________．

②{2，3，4}___________________________________________________________．

③}

7

5

,

6

4

,

5

3

,

4

2

,

3

1

{______________________________________________________．

14．已知集合A＝{－2，－1，0，1}，集合B＝{x｜x＝｜y｜，y∈A}，则B＝

______．

15．设A表示集合{2，3，a2＋2a－3}，B表示集合{a＋3，2}，若已知5∈A，且

5B，求实数a的值．

16．已知集合A＝{x｜ax2－3x＋2＝0}，其中a为常数，且a∈R

①若A是空集，求a的范围；

②若A中只有一个元素，求a的值；

③若A中至多只有一个元素，求a的范围．

2集合间的基本关系

1．集合{a，b}的子集有()

A．1个B．2个C．3个D．4个

2．下列各式中，正确的是()

A．23∈{x|x≤3}B．23∉{x|x≤3}C．23⊆{x|x≤3}D．{23≤3}

3．集合B＝{a，b，c}，C＝{a，b，d}，集合A满足A⊆B，A⊆C.则集合A的个数

是________．

4．已知集合A＝{x|1≤x<4}，B＝{x|x

5．集合A＝{x|0≤x<3且x∈Z}的真子集的个数是()

3

A．5B．6C．7D．8

6．已知集合A＝{x|－1

A．A>BB．C．．A⊆B

7．下列说法：

①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④

若，则A≠Ø.

其中正确的有()

A．0个B．1个

C．2个D．3个

8．已知2－x＋a＝0}，则实数a的取值范围是________．

9．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B⊆A，则实数m＝

________.

10．设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，求实数x，y.

11．若集合M＝{x|x2＋x－6＝0}，N＝{x|(x－2)(x－a)＝0}，且N⊆M，求实数a的

值．

12．(10分)已知集合M＝{x|x＝m＋

1

6

，m∈Z}，N＝{x|x＝

n

2

－

1

3

，n∈Z}，P＝{x|x

＝

p

2

＋

1

6

，p∈Z}，请探求集合M、N、P之间的关系．

4

3集合的基本运算

1．设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合∁

U

(A∩B)中的元

素共有()

A．3个B．4个

C．5个D．6个

2．已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和

N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩(Venn)图是()

3．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x4}，那么集合

A∩(∁

U

B)等于________．

4．设集合A＝{x|－5≤x≤3}，B＝{x|x4}，求A∩B，(∁

R

A)∪(∁

R

B)．

5．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，M＝{1,3,5,7}，

N＝{5,6,7}，则∁

U

(M∪N)＝()

A．{5,7}B．{2,4}

C．{2,4,8}D．{1,3,5,6,7}

6．已知U＝{x|－1≤x≤3}，A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|x2－2x－3＝0}，C＝{x|－

1≤x＜3}，则下列关系正确的是()

A．∁

U

A＝BB．∁

U

B＝C

C．(∁

U

B)⊇CD．A⊇C

7.

设U=Z，A={1,3,5,7,9}，B={1,2,3,4,5}，则图中阴影部分表示的集合是()

A．{1,3,5}

B．{1,2,3,4,5}

C．{7,9}

D．{2,4}

8．设全集U＝A∪B＝{x|1≤x<10，x∈N＋}，若A∩(∁

U

B)＝{m|m＝2n＋1，n＝

0,1,2,3,4}，则集合B＝________.

9．设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2

R

(A∪B)及(∁

R

A)∩B.

10．集合A＝{x|x≤－2或x≥3}，B＝{x|a

A∪B＝R，求实数a，b.

5

集合习题答案

一、选择题

1．A2．B3．C4．D5．A

6．C解析：在选项A中，M＝，P＝{0}，是不同的集合；

在选项B中，有M＝{(x，y)｜y＝x2＋1≥1，x∈R}，P＝{(x，y)｜x＝y2＋1≥1，y∈

R}，是不同的集合，在选项C中，y＝t2＋1≥1，t＝(y－1)2＋1≥1，则M＝{y｜y≥1}，P＝

{t｜t≥1}，它们都是由不小于1的全体实数组成的数集，只是用不同的字母代表元素，因

此，M和P是同一个集合，在选项D中，M是由…，0，2，4，6，8，10，…组成的集合，

P是由…，2，6，10，14，…组成的集合，因此，M和P是两个不同的集合．答案：C．

二、填空题

7．28．x≠3且x≠0且x≠－1

根据构成集合的元素的互异性，x满足



























.2

,32

,3

2

2

xxx

xx

x

解之得x≠3且x≠0且x≠－1．

9．2或410．①∈，∈，∈，，∈．②∈，，∈，．11．m＝3，n＝

2．

12．Q＝{0，2，3，4，6，8，12}

13．①{x｜x＝2n，n∈N*且n≤6}，

②{x｜2≤x≤4，x∈N}，或{x｜(x－2)(x－3)(x－4)＝0}

③}6,

2

|{*



nn

n

n

xx且N

14．B＝{0，1，2}解析：∵y∈A，∴y＝－2，－1，0，1，∵x＝｜y｜，∴x＝2，1，

0，∴B＝{0，1，2}

15．解：∵5∈A，且5B．

∴















,53

，5322

a

aa

即













.2

,24

a

aa或

∴a＝－4

16．解：①∵A是空集∴方程ax2－3x＋2＝0无实数根

∴













,089

,0

a

a

解得

8

9

a

②∵A中只有一个元素，

∴方程ax2－3x＋2＝0只有一个实数根．

当a＝0时，方程化为－3x＋2＝0，只有一个实数根

3

2

x；

当a≠0时，令＝9－8a＝0，得

8

9

a，这时一元二次方程ax2－3x＋2＝0有两个相

等的实数根，即A中只有一个元素．

6

由以上可知a＝0，或

8

9

a时，A中只有一个元素．

③若A中至多只有一个元素，则包括两种情形，A中有且仅有一个元素，A是空集，由

①、②的结果可得a＝0，或

8

9

a．

1．【解析】集合{a，b}的子集有Ø，{a}，{b}，{a，b}共4个，故选D.

2．【解析】23表示一个元素，{x|x≤3}表示一个集合，但23不在集合中，故

23∉{x|x≤3}，A、C不正确，又集合{23}{x|x≤3}，故D不正确．【答案】B

3．【解析】若A＝Ø，则满足A⊆B，A⊆C；若A≠Ø，由A⊆B，A⊆C知A是

由属于B且属于C的元素构成，此时集合A可能为{a}，{b}，{a，b}．【答案】4

4．【解析】

将数集A表示在数轴上(如图所示)，要满足A⊆B，表示数a的点必须在表示4的点

处或在表示4的点的右边，所以所求a的集合为{a|a≥4}．

5．【解析】由题意知A＝{0,1,2}，其真子集的个数为23－1＝7个，故选C.

6．【解析】如图所示，

，由图可知，故选C.

7．【解析】①空集是它自身的子集；②当集合为空集时说法错误；③空集不是

它自身的真子集；④空集是任何非空集合的真子集．因此，①②③错，④正确．故选

B.

8．【解析】∵2－x＋a＝0}，

∴方程x2－x＋a＝0有实根，

∴Δ＝(－1)2－4a≥0，a≤

1

4

.

9．【解析】∵B⊆A，∴m2＝2m－1，即(m－1)2＝0∴m＝1，当m＝1时，A＝{－

1,3,1}，B＝{3,1}满足B⊆A.【答案】1

10．【解析】从集合相等的概念入手，寻找元素的关系，必须注意集合中元素的

互异性．因为A＝B，则x＝0或y＝0.

(1)当x＝0时，x2＝0，则B＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去．

(2)当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1.由(1)知x＝0应舍去．

综上知：x＝1，y＝0.

11．【解析】由x2＋x－6＝0，得x＝2或x＝－3.

因此，M＝{2，－3}．

若a＝2，则N＝{2}，此时；

若a＝－3，则N＝{2，－3}，此时N＝M；

若a≠2且a≠－3，则N＝{2，a}，

此时N不是M的子集，

故所求实数a的值为2或－3.

7

12．【解析】M＝{x|x＝m＋

1

6

，m∈Z}

＝{x|x＝

6m＋1

6

，m∈Z}．

N＝{x|x＝

n

2

－

1

3

，n∈Z}

＝













x|x＝

3n－2

6

，n∈Z

P＝{x|x＝

p

2

＋

1

6

，p∈Z}

＝{x|x＝

3p＋1

6

，p∈Z}．

∵3n－2＝3(n－1)＋1，n∈Z.

∴3n－2,3p＋1都是3的整数倍加1，

从而N＝P.

而6m＋1＝3×2m＋1是3的偶数倍加1，

∴＝P.

1．【解析】A∩B＝{4,7,9}，A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，∁

U

(A∩B)＝{3,5,8}，故选A.

2．【解析】∵M＝{－1,0,1}，N＝{0，－1}，∴，故选B.

3．【解析】由图1易得∁

U

B＝{x|－1≤x≤4}，则A∩(∁

U

B)＝{x|－1≤x≤3}．

4．【解析】A∩B＝{x|－5≤x≤3}∩{x|x4}＝{x|－5≤x<－2}，

∁

R

A＝{x|x3}，

∁

R

B＝{x|－2≤x≤4}．

∴(∁

R

A)∪(∁

R

B)

＝{x|x3}∪{x|－2≤x≤4}

＝{x|x<－5或x≥－2}．

5．【解析】M∪N＝{1,3,5,6,7}，∴∁

U

(M∪N)＝{2,4,8}，故选C.

6．【解析】B＝{－1,3}，∁

U

A＝{－1,3}，∴∁

U

A＝B.【答案】A

7.【解析】由Venn图可知阴影部分表示的集合为B∩(∁

U

A)＝{2,4}．【答案】D

8．【解析】∵x∈N*，∴U＝A∪B＝{1,2,3，…，9}．又∵A∪B＝U，∴∁

U

B＝A，

∴A∩(∁

U

B)＝∁

U

B＝{1,3,5,7,9}，∴B＝{2,4,6,8}．【答案】{2,4,6,8}

9．【解析】把全集R和集合A、B在数轴上表示如下：

由图知，A∪B={x|2

∴∁R(A∪B)={x|x≤2或x≥10}．

∵∁RA={x|x<3或x≥7}，

∴(∁RA)∩B={x|2

10．集合A＝{x|x≤－2或x≥3}，B＝{x|a

A∪B＝R，求实数a，b.

【解析】∵A∩B＝Ø，A∪B＝R.

∴A与B互为补集．

故B＝∁

R

A＝{x|－2

8

又B＝{x|a