三角函数公式推导
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2023年2月27日发(作者：缠论原文)一、任意角的三角函数
在角
的终边上任取
．．
一点
),(yxP
，记：22yxr
，
正弦：
r
y
sin
余弦：
r
x
cos
正切：
x
y
tan
二、同角三角函数的基本关系式
商数关系：
cos
sin
tan
，平方关系：1cossin22，2
2
1
cos
1tan
三、诱导公式
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）=sinαcos（2kπ＋α）=cosαtan（2kπ＋α）=tanα
公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）=-sinαcos（π＋α）=-cosαtan（π＋α）=tanα
公式三：
任意角α与-α的三角函数值之间的关系：
sin（-α）=-sinαcos（-α）=cosαtan（-α）=-tanα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π-α）=sinαcos（π-α）=-cosαtan（π-α）=-tanα
公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π-α）=-sinαcos（2π-α）=cosαtan（2π-α）=-tanα
公式六：
2
±α及
2
3
±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（
2
-α）=cosαcos（
2
-α）=sinα
sin（
2
+α）=cosαcos（
2
+α）=-sinα
sin（
2
3
-α）=-cosαcos（
2
3
-α）=-sinα
sin（
2
3
+α）=-cosαcos（
2
3
+α）=sinα
三、两角和差公式
sincoscossin)sin(
sincoscossin)sin(
sinsincoscos)cos(
sinsincoscos)cos(
tantan1
tantan
)tan(
tantan1
tantan
)tan(
四、二倍角公式
cossin22sin
2222sin211cos2sincos2cos…
)(
2tan1
tan2
2tan
二倍角的余弦公式
)(
有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）
2cos22cos12sin22cos1
2)cos(sin2sin12)cos(sin2sin1其它公式
五、辅助角公式：
)sin(cossin22xbaxbxa（其中
a
b
tan
）
其中：角的终边所在的象限与点),(ba所在的象限相同，(以上k∈Z)
六、其它公式：
1、正弦定理：R
C
c
B
b
A
a
2
sinsinsin
（R为ABC外接圆半径）
2、余弦定理
Abccbacos2222
Baccabcos2222
Cabbaccos2222
3、三角形的面积公式
高底
2
1
ABC
SBcaAbcCabS
ABC
sin
2
1
sin
2
1
sin
2
1
（两边一夹角）
万能公式推导
sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*，
（因为cos^2(α)+sin^2(α)=1）
再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=2tanα/(1+tan^2(α))
然后用α/2代替α即可。
同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。
三倍角公式推导
tan3α=sin3α/cos3α
=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)
=(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα－sin^3(α))/(cos^3(α)－cosαsin^2(α)－2s
in^2(α)cosα)
上下同除以cos^3(α)，得：
tan3α=(3tanα－tan^3(α))/(1-3tan^2(α))
sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα
=2sinαcos^2(α)+(1－2sin^2(α))sinα
=2sinα－2sin^3(α)+sinα－2sin^3(α)
=3sinα－4sin^3(α)
cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα－sin2αsinα
=(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α)
=2cos^3(α)－cosα+(2cosα－2cos^3(α))
=4cos^3(α)－3cosα
即
sin3α=3sinα－4sin^3(α)
cos3α=4cos^3(α)－3cosα
和差化积公式推导
首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb
我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb
所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb
所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb
所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
这样,我们就得到了积化和差的四个公式:
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.
我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2
把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:
sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)