三角函数积化和差
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2023年2月27日发(作者：酒器)三角函数和差化积记忆方法与巧记口诀
和差化积记忆口诀1：
正和正在先，sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
正差正后迁，sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
余和一色余，cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
余差翻了天，cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
（前提是角度(α+β)/2在前，(α-β)/2在后的标准形式）
和差化积记忆口诀2：
正加正，正在前：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
余加余，余并肩：cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
正减正，余在前：sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
余减余，负正弦，cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
和差化积：有相关的口诀正加正，正在前，余加余，余并肩正减正，余在前，余减余，
负正弦反之亦然
注意事项在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名，必须用诱导
公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次口诀正加正，正在前，余加余，
余并肩正减正，余在前，余减余，负正弦反之亦然。
生动的口诀3：（和差化积）
帅+帅=帅哥[1]
帅-帅=哥帅
哥+哥=哥哥
哥-哥=负嫂嫂??反之亦然。
语文老师教的口诀4：
口口之和仍口口cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
赛赛之和赛口留sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
口口之差负赛赛cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
赛赛之差口赛收sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
（前提是角度(α+β)/2在前，(α-β)/2在后的标准形式）：
语文老师教的口诀5：
正弦加正弦，正弦在前面，sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
正弦减正弦，余弦在前面，sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
余弦加余弦，余弦全部见，cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
余弦减余弦，余弦（负）不想见，cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
记忆方法和差化积公式的形式比较复杂，记忆中以下几个方面是难点，下面指出了各自的
简单记忆方法。如何只记两个公式甚至一个我们可以只记上面四个公式的第一个和第三个。
而第二个公式中的-sinβ=sin（β+π），也就是sinα-sinβ=sinα+sin（β+π），这
就可以用第一个公式解决。同理第四个公式中，cosα-cosβ=cosα+cos（β+π），这就
可以用第三个公式解决。如果对诱导公式足够熟悉，可以在运算时把cos全部转化为sin，
那样就只记住第一个公式就行了。用的时候想得起一两个就行了。结果乘以2这一点最简
单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。sin和cos的值域都是[-1,1]，其积的值域也
应该是[-1,1]，而和差的值域却是[-2,2]，因此乘以2是必须的。也可以通过其证明来记
忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如：cos（α-β）-cos
（α+β）=[(cosαcosβ+sinαsinβ）-(cosαcosβ-sinαsinβ）]=2sinαsinβ故最
后需要乘以2。只有同名三角函数能和差化积无论是正弦函数还是余弦函数，都只有同名
三角函数的和差能够化为乘积。这一点主要是根据证明记忆，因为如果不是同名三角函数，
两角和差公式展开后乘积项的形式都不同，就不会出现相抵消和相同的项，也就无法化简
下去了。乘积项中的角要除以2在和差化积公式的证明中，必须先把α和β表示成两角
和差的形式，才能够展开。熟知要使两个角的和、差分别等于α和β，这两个角应该是
（α+β）/2和（α-β）/2，也就是乘积项中角的形式。注意和差化积和积化和差的公式
中都有一个“除以2”，但位置不同；而只有和差化积公式中有“乘以2”。使用哪两种三
角函数的积这一点较好的记忆方法是拆分成两点，一是是否同名乘积，二是“半差角”
（α-β）/2的三角函数名。是否同名乘积，仍然要根据证明记忆。注意两角和差公式中，
余弦的展开中含有两对同名三角函数的乘积，正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积。
所以，余弦的和差化作同名三角函数的乘积；正弦的和差化作异名三角函数的乘积。（α-β）
/2的三角函数名规律为：和化为积时，以cos（α-β）/2的形式出现；反之，以sin（α-β）
/2的形式出现。由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。如果要使和化为积，那么α和
β调换位置对结果没有影响，也就是若把（α-β）/2替换为（β-α）/2，结果应当是一
样的，从而（α-β）/2的形式是cos（α-β）/2；另一种情况可以类似说明。余弦-余弦
差公式中的顺序相反/负号这是一个特殊情况，完全可以死记下来。当然，也有其他方法可
以帮助这种情况的判定，如（0，π]内余弦函数的单调性。因为这个区间内余弦函数是单
调减的，所以当α大于β时，cosα小于cosβ。但是这时对应的（α+β）/2和（α-β）
/2在（0，π）的范围内，其正弦的乘积应大于0，所以要么反过来把cosβ放到cosα前
面，要么就在式子的最前面加上负号。