齐次函数
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2023年2月27日发(作者：each的用法)平新乔《微观经济学十八讲》第6讲生产函数与规模报酬
1．生产函数为21618QKLL，工人工资为
8w
，产品价格为
1p
。
计算：（1）短期内2K，最优劳动投入是多少？
（2）最大平均产量的劳动投入为多少？此时的最大平均产量是多少？
解：（1）在短期内2K，则厂商的生产函数为221618QLL，则可得厂商的利润
函数为：
22818LpQLwLLL
利润最大化的一阶条件为：
d
480
d
L
L
解得2L，此即为短期内的最优劳动投入量。
（2）由生产函数221618QLL，可得平均产量函数为：
18
216
L
Q
APL
LL
平均产量最大化的一阶条件为：
2
d18
20
d
Q
LL
L
解得：
3L
（负值舍去）。故最大平均产量的劳动投入为3。
此时的最大平均产量为
18
2164
L
Q
APL
LL
。
2．确定下列函数是不是齐次函数，如果是，规模报酬情况如何？
（1）33,fxyxxyy
（2）1/2,23fxyxyxy
（3）1/6
43,,5fxywxyw
答：若函数,fxy满足,,kftxtytfxy，则称函数,fxy为
k
次齐次函数。同时由
规模报酬的定义可知，若,,ftxtytfxy，则为规模报酬不变；若,,ftxtytfxy，则为
规模报酬递增；若,,ftxtytfxy，则为规模报酬递减。
（1）不是齐次函数。因为33233,,ftxtytxtxytytfxy。
（2）是齐次函数，且规模报酬不变，因为1
2,23,ftxtytxtytxytfxy
。
（3）是齐次函数，且规模报酬递减，因为：
22
11
444343
33
66,,55,,,,ftxtytwtxtywtxywtfxywtfxyw
3．设某省有一个村庄，该村既生产粮食又会织布。其产品既可用来自己消费，也可以
出卖，粮食与布也可以从外边买入来满足消费。如果村外的市场价格比率是一担粮食能换
回的布少于1/2米，则该村民们会不再种粮食；如果一担粮可以换回1/2米的布，则该村
将提供24担粮食；如果一担粮可以换回1米布，则该村将提供30担粮食；最后，如一担
粮可以换回4米布，则该村会提供38担粮食。
但是，该村的劳动力与土地如用来产棉织布，也是有机会成本的。当织布的产量从零
增加到32米这一阶段，粮食产量会从38担下降到30担；如布的产量要从32米上升到38
米，则粮食产量会从30担进一步下降到24担；如布的产量从38米上升到50米，则粮食
产量更会从24担下降到零。作图：
（1）请以横轴表示粮食数量，纵轴表示以布的数量所代表的粮食的价格，做出该村粮
食的供给曲线。
（2）请以横轴表示布的数量，纵轴表示以粮食数量所代表的布的价格，做出该村布的
供给曲线。
答：根据题目的内容，可以得到如表6-1所示的布和粮食之间的关系。
表6-1布的产量和粮食的产量之间的关系
（1）以横轴表示粮食数量，纵轴表示以布的数量所代表的粮食的价格，做出的粮食的
供给曲线如图6-1所示（由加粗的线段和点构成）。
图6-1粮食的供给曲线
（2）以横轴表示布的数量，纵轴表示以粮食的数量所代表的布的价格，做出的布的供
给曲线如图6-2所示（由加粗的线段和点构成）。
图6-2布的供给曲线
4．对下面的生产函数
1/2
0123
,fKLKLKL
其中，011,2,3
i
i，那么：
（1）当
0
、
1
、
2
、
3
满足什么条件时，该生产函数呈现规模报酬不变？
（2）证明：在规模报酬不变的情况下，该函数呈现出边际生产力递减，而且边际生产
力函数是零次齐次的。
答：（1）生产函数呈现规模报酬不变是指当所有的生产要素的数量增加为原来的t
（
1t
）倍时，产出也会同比例增长，即产出也会增加为原来的t倍。对本题的生产函数而
言，规模报酬不变就意味着下式成立：
,,ftKtLtfKL
即：
11
22
01230123
tKLtKtLttKLtKtL
解得
00
t，由于
1t
，所以
0
0。即
0
0，且
1
、
2
、
3
为0到1之间任意数
时，生产函数是规模报酬不变的。
（2）规模报酬不变时，边际生产函数为11
22
13
1
,
2L
fKLKL
和
11
22
12
1
,
2K
fKLKL
。
由13
22
1
1
,0
4LL
fKLKL
，所以
L
MP递减；
由31
22
1
1
,0
4KK
fKLKL
，所以
K
MP递减。
此外11
0
22
13
1
,,
2LL
ftKtLtKtLtfKL，所以,
L
fKL也是零齐次的；
同样11
0
22
12
1
,,
2KK
ftKtLtKtLtfKL，所以,
K
fKL是零次齐次的。
5．判断下列结论是否正确，并说明理由。
（1）边际产出大于零，则总产量将随着投入的增加而上升；平均产量则不一定上升。
（2）如果生产是有效率的，生产的可能性边界一定是外凸的。
答：（1）两句话都正确。理由如下：
①因为边际产出等于总产出曲线的斜率，所以边际产出大于零就意味着斜率大于零，即
总产量随着投入的增加而上升。
②假设厂商的生产函数为fx，则平均产出
fx
APx
x
，平均产出关于x求导，得
到：
2
1
fxxfx
APxMPxAPx
x
x
①
根据①式可知：当0MPxAPx时，0APx，即平均产量随着投入的增加而上
升；当0MPxAPx时，0APx，即平均产量随着投入的增加而下降。由此可见平
均产量随着产量的增加而上升和边际产出是否大于零（
0MP
）没有必然的联系，见图6-3。
图6-3平均成本和边际成本之间的关系
（2）错误。理由如下：
以两种要素生产两种产品为例，在埃奇沃斯盒子中，当生产的要素组合位于契约线上时，
生产是有效率的，即不存在帕累托改进；而在契约线之外的任何点生产都不是帕累托有效的。
生产可能性边界（同书中生产转换曲线）指在技术水平一定时，用一定总量的劳动投入
与资本投入可以生产出的两种产品x和
y
的产出组合。
通常情况下，生产可能性边界为外凸的，即为凹形，如图6-4所示。但是凸向原点的生
产可能性曲线也是存在的，例如生产函数为0.70.7xkl
，0.60.8ykl；假设资本（
k
）和劳动
（
l
）的总量分别为20和10，生产可能性边界如图6-5所示。
图6-4凹的生产可能性集图6-5凸的生产可能性集
在生产是有效率时，当要素密集度不同时，递增的规模报酬相对应的生产可能性曲线是
凸的；当要素密集度相似时，规模报酬递增会导致生产可能性曲线为凸的。
6．假定一家企业的生产函数：1/3yL，产出品价格
3p
，工资率
4w
，固定资产成
本为2。问：
（1）最优要素投入量*L
。
（2）最优供给量*y。
（3）计算这家企业的利润量。
（4）这家企业应不应关闭？
解：（1）由已知可得
2
3
1
3L
MPL
，对于追求利润最大化的企业，最优要素投入量应当满
足该要素的边际产品价值等于要素价格，即：
L
pMPw
，则有：
2
3
1
34
3
L
解得最优要素投入量
1
8
L
。
（2）最优供给量
1
2
1
2
yL
。
（3）厂商利润
11
23241
28
PywL
。
（4）该企业不应关闭。因为关闭后，企业的损失等于固定资产成本2；但是如果坚持
经营，那么损失只有1，即企业继续经营的收益不仅可以弥补可变成本，还可以弥补部分固
定成本，所以企业不应当关闭。
7．证明：若某家企业的生产函数为aAL
（
01a
），如果该企业的资本支出为一常数
J
，则：
（1）其供给量
q
随产品价格P上升而上升。
（2）
q
随工资率w上升而下降。
证明：（1）假设该企业支付的工资率为常数w，企业的利润函数为：
aPALwLJ
利润最大化的一阶条件为：
1
d
0
d
aaALPw
L
解得
1
1aw
L
aAP
，所以企业的供给函数为1
a
a
a
w
qALA
aAP
，供给函数关于产品
价格求导，就有：
11
11
22
11
0
11
aaqawwaww
A
PaaAPaAaaaAP
PP
所以供给量
q
随产品价格P上升而上升。
（2）供给函数关于工资率求导，就有：
11
11111
0
11
aaqaww
A
waaAPaAPaPaAP
所以
q
随着工资率w上升而下降。
8．已知一家企业的生产函数为11
24,4FKLKL，产品价格为1，工资率为
1
4
，利率为
1
2
。
固定资本成本为K。求：
（1）
:LK
的最优比率。
（2）L与K的最优量。
解：（1）由生产函数11
24,4FKLKL，可得：
1111
2424
1
42
2K
MPKLKL
1313
2424
1
4
4L
MPKLKL
对于追求利润最大化的企业，企业决定最优要素比例的必要条件为：K
L
MP
r
MPw
，即：
11
24
13
24
1
2
2
2
1
4
K
L
MP
KLr
MPw
KL
解得
:1:1KL
，即KL。
（2）把
L
MP、P和w的表达式代入·
L
MPPw中，得
13
24
1
4
KL
。
把KL代入式
13
24
1
4
KL
中，就有：
1
4
1
4
L
，解得**44256LK
。
9．某总公司有甲、乙、丙三个分公司，每个分公司都生产X和Y两种产品。下面是三
个分公司用其全部资源可生产的X与Y的最大产量：
表6-2分公司用其全部资源可生产的X与Y的最大产量
请画出该总公司的生产可能性曲线（以X为横轴，Y为纵轴）。
答：对该公司而言，所有可能的产量组合为如表6-3所示。
表6-3总公司所有可能的产量组合
在两种商品的产量组合图上，画出所有的点，可知A、B、
C
、D四点是最有效率的
生产组合（因为它们的右上方没有任何的点）。这样如果再假设生产集是凸的，那么A、B、
C
、D四点的连线就是生产可能性边界（严格的讲，A、B、
C
、D四点的连线和横轴与
纵轴围成的区域只是生产可能性集的内界，但由于本题没有给出其他信息，所以无法准确的
作出生产可能性边界），如图6-6所示。
图6-6生产可能性边界
10．在落日湾用手挖海蚶只需要劳动投入。每小时可获得的海蚶总量（
q
），由100qL
给出。其中，L是每小时的劳动投入。
（1）用图表示出
q
与L之间的关系。
（2）落日湾中劳动的平均生产力为多少？用图表示出这一关系，并表明随着劳动投入
的增加
L
AP下降。
（3）证明落日湾的劳动边际产出为：50/
L
MPL。
用图表示出这一关系并证明对于所有的L值，
LL
MPAP。请解释它。
解：（1）
q
与L之间的关系如图6-7所示。
图6-7挖海蚶的生产函数
（2）由生产函数100qL可得平均生产力为：
100100
L
L
AP
L
L
L
AP
关于L分别求一阶和二阶导数得：
3
2500
L
APL
，
5
2750
L
APL
，所以
L
AP
随
着L的上升而下降，且
L
AP
是一个凸函数，如图6-8所示。
图6-8平均产出和边际产出函数
（3）根据生产函数100qL，可得
d50
dL
q
MP
L
L
。
由
100100
L
L
AP
L
L
，可知
LL
MPAP，如图6-8所示。
LL
MPAP的原因在于：因为
边际产出递减，这就意味着额外增加一单位的投入，所多生产的产品比前面任何一个多增加
的劳动力所多生产的都少，所以它自然也少于所有劳动力产出量的平均值，即
LL
MPAP
。
11．某公司使用两种类型的除草机割草。小型除草机具有24英寸刀片，并适用于具有
较多树木与障碍物的草坪。大型的除草机恰为小型除草机的两倍大，并适用于操作不太困
难的空旷场地。
两种生产函数的情况如表6-4所示：
表6-4大型除草机和小型除草机的生产函数
（1）对应于第一种生产函数，图示出
4000q
平方英尺的等产量线。如果这些要素没
有浪费地结合起来，则需使用多少K与L？
（2）对应于第二种函数回答（1）中的问题。
（3）如果4000平方英尺中的一半由第一种生产函数完成，一半由第二种生产函数完
成，则K与L应如何无浪费地配合？如果3/4的草坪由第一种生产函数完成，而1/4的草
坪由第二种生产函数完成，则K与L应如何配合？
（4）在你考虑（3）中问题的基础上，画出
4000q
的联合生产函数的等产量线。
解：对于每一种除草机，由于它们需要的资本投入和劳动投入的比例是固定的，所以生
产函数是固定比例型的生产函数，即：
1
11222
8000min,5000min,
2
K
FLFKL
（1）等产量线如图6-9（a）所示。
图6-9（a）使用大型除草机的等产量线
把
1
4000F
代入大型除草机的生产函数，得：
1
1
1
min,
22
K
L
由此可知最优投入为
1
1K
，
1
1
2
L。
（2）等产量线如图6-9（b）所示。
图6-9（b）使用小型除草机的等产量线
把
2
4000F代入小型除草机的生产函数，得：
22
4
min,
5
KL
由此可知最优投入为
2
4
5
K
，
2
4
5
L
。
（3）①将
1
2000F，
2
2000F分别代入大型除草机和小型除草机的生产函数，得到：
1
1
1
min,
42
K
L
22
2
min,
5
KL
解得：
1
1
2
K，
1
1
4
L；
2
2
5
K
，
2
2
5
L
。从而得到：
12
129
2510
KKK
12
1213
4520
LLL
②如果3/4的草坪由第一种生产函数完成，而1/4的草坪由第二种生产函数完成，类似
于①所采用的方法，可得
19
20
K
，
23
40
L
。
（4）假设大型除草机完成4000平方英尺草坪中的
S
份，其余的由小型除草机完成，则：
40008000min,
2
K
SL
400015000min,SKL
解得：
1
KS
，
12
S
L；
22
4
1
5
KLS
。
进一步得到：
12
44
1
55
S
KKKSS
12
483
1
2510
SS
LLLS
即：
54SK
，
1
810
3
SL
。
所以：
1
54810
3
KL
，即
42
33
KL
，
4
,1
5
K
。
如图6-9（c）所示。
图6-9（c）同时使用大型除草机和小型除草机的等产量线
12．假定，aqLK，
01
，
01
，
1
。
（1）证明
,qL
e，
,qK
e。
（2）证明
0
L
MP，0
K
MP；220qL，220qK。
（3）证明
MRTS
只取决于
/KL
，而不依赖于生产规模，而且
MRTS
（L对K）随着
/LK
的增加而递减。
证明：（1）由生产函数aqLK，根据弹性的定义可得：
1
1
qL
qK
qLL
eLK
Lqq
qKK
eLK
Kqq
（2）由生产函数aqLK，可得10
L
q
MPLK
L
，10
K
q
MPLK
K
；
2
2
2
10
q
LK
L
，2
2
2
10
q
LK
K
。
（3）
1
1
1
/
L
K
LK
LK
MP
K
MRTS
MRLLK
，所以
MRTS
只取决于
/KL
，而不依
赖于生产规模，且随
/LK
的增加而递减。
13．欧拉定理意味着规模报酬不变的生产函数,qfKL
，有
KL
qfKfL
运用这一结论，证明对于这种生产函数，如果
LL
MPAP
，则
K
MP
必为负数。这意味着
生产应在何处进行呢？一个企业能够在
L
AP
递增的点进行生产吗？
证明：（1）由题意知：
··
kl
qfKfL
，对该式变形得：
LL
LLL
KK
LAPMP
qLfLAPLMP
MPf
KKK
由于
LL
MPAP，所以
0LL
K
LAPMP
MP
K
，即
K
MP为负数。
（2）这意味着企业应该在
LL
MPAP
，即劳动力的平均产出递减的产量处生产。
（3）由（2）可知，一个企业不能够在
L
AP
递增的点进行生产，因为
L
AP
递增就意味着
LL
MPAP，从而
K
MP为负数，此时增加资本投入量反而会导致产量下降。
14．再次运用欧拉定理证明，对于只有两种投入（K与L）的一个规模报酬不变的生
产函数，
KL
f必定为正。解释这一结论。
证明：（1）对于规模报酬不变的生产函数,fKL而言，下式恒成立：
,
KL
fKLfKfL①
从①式中解得：
,
L
K
fKLLf
f
K
②
上式两边关于L求导得：
1
KLLLLLLL
L
fffLff
KK
如果边际产出递减的假设成立，那么
0
LL
f，即0
KL
f。
（2）
0
KL
f说明，在规模报酬不变和边际产出递减的假设条件下，任何一种要素的边
际产出都会随着另一种要素投入的增加而增加。
15．生产函数形式如下
1/21/2qKLKL
（1）劳动与资本的平均生产力是多少？（
L
AP
将取决于K，而
K
AP
则取决于L。）
（2）图示当
100K
时的
L
AP
曲线。
（3）证明
1
2LL
MPAP，
1
2KK
MPAP。运用这一信息，加一个
L
MP
函数到（2）图中。
这一曲线有何特别的地方？
（4）画出
10q
时的等产量线。
（5）运用（3）中的结果，在点
10KL
，
25K
，4L及4K，
25L
处，
10q
的等产量线上的
MRTS
是多少？这一函数呈现边际技术替代率递减吗？
解：（1）由生产函数1/21/2qKLKL，可得：
劳动的平均生产力为
L
KLK
AP
LL
；
资本的平均生产力为
K
qKLL
AP
KKK
。
（2）当
100K
时，
10
L
AP
L
，如图6-10所示。
图6-10劳动的平均产量和边际产量
（3）
11
22LL
qK
MPAP
LL
，
11
22KK
qL
MPAP
KK
。
L
MP曲线如图6-10所示，
其中
L
MP曲线的纵坐标是相应
L
AP曲线的纵坐标的一半。
（4）当
10q
时，等产量线的函数式为
10KL
，对应的等产量线如图6-11所示。
（5）当
10KL
时，1L
K
MP
K
MRTS
MPL
；
当
25K
，4L时，
25
4
MRTS；
当4K，
25L
时，
4
25
MRTS
。
可见，
MRTS
随
L
K
的增加而递减，呈现边际技术替代率递减，如图6-11所示。
图6-11等产量曲线