凑微分法公式
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2023年2月27日发(作者：有奖征集)第二节不定积分的凑微分法
一、不定积分的凑微分法
例6．2．1
cosxxeedx（xxedxde）
cosxxede（
cosd）
sinxeC（
sinC
）
通过凑微分公式，凑出一个中间变量（被积函数中那个复合函数的中间变量“
”），
得到一个不定积分公式的左边，从而套公式解决问题———这是《凑微分法》的主要思想.
二、不定积分的凑微分举例
例6．2．2求下列积分：
（1）3xedx；（2）
1
12
dx
x
；（3）
41
x
dx
x
；(4)
2
1
sin
dx
xx
.
解
（1）3xedx
3
1
3
3
xedx
3
1
3
xeC；
（2）
1
12
dx
x
11
12
212
dx
x
1
ln12
2
xC；
（3）
41
x
dx
x
2
2
2
11
2
1
dx
x
2
1
arcsinC
2
x；
（4）
2
1
sin
dx
xx
2
1
2
sin
dx
x
22cscxdx
2cotxC.
例6．2．3求下列积分：
(1)
1
ln
dx
xx
；（2）
1
x
x
e
dx
e
；（3）
tanxdx；（4）
secxdx.
解
(1)
1
ln
dx
xx
1
ln
ln
dx
x
lnlnxC
（注：此类积分一般都含“
lnx
”，所以“
1
lndxdx
x
”中“x”不用加绝对值.）；
（2）
1
x
x
e
dx
e
1
1
x
x
de
e
1
(1)
1
x
x
de
e
ln(1)xeC；
（3）
tanxdx
sin
cos
x
dx
x
1
cos
cos
dx
x
lncosxC
即
tanxdxlncosxC------------------------------------不定积分公式（16）；
类似可得
cotxdxlnsinxC-------------------------------不定积分公式（17）；
（4）secxdx
sec(sectan)
sectan
xxx
dx
xx
sectan
sectan
xx
dx
xx
sectan
sectan
dxx
xx
lnsectanxxC
即
secxdxlnsectanxxC------------------------------不定积分公式（18）；
类似可得
cscxdxlncsctxcoxC----------------------不定积分公式（19）.
例6．2．4求下列积分：
（1）
22
1
dx
ax
；（2）
22
1
dx
ax
；（3）
1
11
dx
xx
；（4）2cosxdx.
解
（1）
22
1
dx
ax
2
2
2
1
1
a
dx
x
a
2
11
1
x
d
aa
x
a
1
arctan
x
C
aa
；
（2）
22
1
dx
ax
1
dx
axax
111
2
dx
aaxax
1111
22
daxdax
aaxaax
1
ln
2
ax
C
aax
；
（3）
1
11
dx
xx
11
1111
xx
dx
xxxx
11
2
xx
dx
11
22
11
(1)(1)(1)(1)
22
xdxxdx
33
22
11
(1)(1)
33
xxC；
（4）2cosxdx
1
1cos2
2
xdx
11
cos22
24
dxxdx
11
sin2
24
xxC.
例6．2．5求下列积分：
（1）
2
23
32
x
dx
xx
；(2)
2
1
dx
xx
；(3)
1
xx
dx
ee
；(4)3cosxdx.
解
（1）
2
23
32
x
dx
xx
2
2
32
32
xx
dx
xx
2
2
1
32
32
dxx
xx
2ln32Cxx；
(2)
2
1
dx
xx
1
1
dx
xx
1
1
dx
xx
2
1
2
1
dx
x
2arcsinxC；
(3)
1
xx
dx
ee
21
x
x
e
dx
e
2
1
1
x
x
de
e
arctanCxe；
(4)3cosxdx
2coscosxxdx
2cossinxdx
21sinsinxdx
2sinsinsindxxdx
3
1
sinsin
3
xxC(dFxFxC).
综上所述，凑微分法的关键是：利用凑微分公式凑出剩下的那个复合函数的中间变量.
凑不出，就不能用凑微分法，须考虑其它的积分法-------比如说下一节的分部积分法.
思考题6.2
1.不定积分
cscxdxlncsctxcoxC正确吗？这与不定积分公式（19）冲突吗？
2.思考凑微分公式在凑微分法中的地位与作用.（灵感的源泉）
练习题6.2
1.直接套不定积分公式计算下列积分：
（1）223(23)xdx；（2）22xedx；（3）
1
1
1
dx
x
；
（4）
sinxdx；（5）
1
1
dx
x
；（6）cot55xdx.
2.用凑微分法计算下列积分：
（1）
cos2xdx；（2）
1
x
dx
e
；（3）
221
dx
xx
；
（4）
222
dx
xx
；（5）
2
1
23
dx
xx
；（6）
23
dx
x
；
（7）5sincosxxdx；（8）
21ln
dx
xx
；（9）
2costan
dx
xx
；
（10）
2arccos1
dx
xx
；（11）
41
x
dx
x
；（12）
1sin
cos
x
dx
xx
.
练习题6.2答案
1.解
（1）223(23)xdx31
23
3
xC；
（2）22xedx2Cxe；
（3）
1
1
1
dx
x
ln1xC；
（4）
sinxdxcosxC；
（5）
1
1
dx
x
2
1
1
dx
x
arctanxC；
（6）cot55xdxlnsin5xC.
2.解
（1）
cos2xdx
1
cos22
2
xdx
1
sin2
2
xC；
（2）
1
x
dx
e
xedx
xedx
xeC；
（3）
221
dx
xx
2
1
1
dx
x
211xdx
1
1
C
x
；
（4）
222
dx
xx
2
1
1
11
dx
x
arctan(1)xC；
（5）
2
1
23
dx
xx
1
3(1)
dx
xx
111
413
dx
xx
11
ln
43
x
C
x
；
（6）
23
dx
x
1
223xdx
1
2
1
2323
3
xdx
2
23
3
xC；
（7）5sincosxxdx
5sinsinxdx
6
1
sin
6
xC；
（8）
21ln
dx
xx
2
ln
1ln
dx
x
arcsinlnxC；
（9）
2costan
dx
xx
1
tan
tan
dx
x
1
2tantanxdx
2tanxC；
（10）
2arccos1
dx
xx
1
arccos
arccos
dx
x
lnarccosxC；
（11）
41
x
dx
x
2
2
2
11
2
1
dx
x
2
1
arctanC
2
x；
（12）
1sin
cos
x
dx
xx
cos
cos
xx
dx
xx
1
cos
cos
dxx
xx
lncosxxC.
第四章不定积分
一、学习目的与要求
1、加深理解原函数与不定积分概念，熟悉不定积分的有关性质。
2、熟记不定积分的基本公式。
3、熟练掌握不定积分的三种基本解法（分解法、换元法和分部积分法）。
4、掌握有理函数、三角函数有理式的积分。
5、会求简单无理函数的不定积分。
二、学习重点
不定积分的换元法与分部积分法
三、内容提要
1、原函数与不定积分的概念若),()(xfxF
则称)()(xfxF是的一个原函数，若
)()(xfxF是的一个原函数，则
)(xf
的原函数的一般表达式为
CxF)(
（C为任意常数）。
)(xf
的原函数的一般表达式称为
)(xf
的不定积分，记作dxxf)(
，即
CxFdxxf)()(
2、基本性质（下设,a
为常数）
（1）dxxgdxxfadxxgxaf)()()()((
（2）
;)())(()())((dxxfdxxfdxfdxxf
或
.)()()()(CxfxdfCxfdxxf或
3、基本积分公式（下设
0a
）
（1）
),1(
1
1
aC
a
x
dxx
a
a（2）,||ln
1
Cxdx
x
（3）
,Cedxexx（4）
,ln/Caadxaxx
（5）,cossinCxxdx
（6）,sincosCxxdx
（7）
,tansec
cos
1
2
2
Cxxdxdx
x
（8）Cxxdxdx
x
cotcsc
sin
1
2
2
（9）,|cos|lntanCxxdx
（10）,|sin|lncotCxxdx
（11）,|tansec|lnsecCxxxdx
（12）,|cotcsc|lncscCxxxdx
（13）,sectansecCxxdxx
（14）,csccotcscCxxdxx
（15）
,arctan
11
22
C
a
x
a
dx
xa
（16）
,arcsin
1
22
C
a
x
dx
xa
（17）
,ln
2
11
22
C
xa
xa
a
dx
xa
（18）
,||ln
1
22
22
Caxxdx
ax
（19）,Cchxshxdx
（20）.Cshxchxdx
4、基本积分法
（I）分项积分法),()()()]()([为常数adxxgdxxfadxxgxaf
（II）凑微分法（第一换元法）若)(,)()(xCxFdxxf且连续，则
.))(()())(()())((CxFxdxfdxxxf
（III）换元法（第二换元法）若
)(xf
连续，
)(tx
有连续导数，
,)()())(()(,0)(CtGdtttfdxxfx且则
CxGdxxf))(()(1
（IV）分部积分法若)()(,)(),(xduxvxvxu可导
存在，则
).()()()()()(xduxvxvxuxdvxu
5、几类初等函数的积分
（I）有理函数dxxRxR)()(的积分
一般方法：假分式化为整式与真分式之和，真分式化为最简式：
),4(,
)(
,
)(
2
2
Nnqp
qpxx
BAx
ax
A
nn
之和.
（II）三角函数dxxxRxxR)cos,(sin)cos,(sin的积分
通常通过适当代换化为有理函数的积分，常用的变换：令
2
tan
x
t（万能代换），
xtxtxttan,sin,cos
等。
（III）简单的无理函数的积分
通常是先作代换，使被积函数有理化后再积分，常用的代换有：
;,,t
dcx
bax
dx
dcx
bax
xRnn
令
;
22
sin,),(22
ttaxdxxaxR令
;
22
tan,),(22
ttaxdxxaxR令
.
2
0sec,),(22
tttaxdxaxxR且令
四、思考题
1、原函数与不定积分的概念有何联系与区别？
2、有理函数的原函数是否为有理函数？初等函数的原函数是否一定为初等函数？
3、dxxfdxxf)())((
对吗？并由此正确理解微分与积分之间的互逆关系。
4、同一个被积函数的不定积分可以有不同的表达形式吗？举例说明。
5、若CxFdxxf)()(，是否有?)]([)]([CxgFdxxgf
6、初等函数的不定积分都可以表示成有限形式吗？
五、典型例题分析
例1计算下列积分dx
xex
x
dx
xx
x
dx
xx
x
x)1(
1
)3(;
)ln(
ln1
)2(;
cossin
)ln(tan
)1(
2
分析本题均可用凑微分法。一般采用此法，要求熟悉一些常见函数的微分形式，对不易观
察到的，不妨拿出某一部分求其导数，从而决定如何凑微分。如
)];[ln(tan
cossin
,
cossin
1
])[ln(tan1xd
xx
dx
xx
x
所以可利用凑微分）（
);ln()ln1(,,ln1)ln(2xxddxxxxx
所以）（
。所以）（)1()1(,),1()1(3xxxxxeddxxexexe
解
Cxtgxdxdx
xx
x
2)][ln(tan
2
1
)ln()ln(tan
cossin
)ln(tan
1）（
C
xx
xx
xxd
dx
xx
x
ln
1
)ln(
)ln(
)ln(
ln1
2
22
）（
dx
xexe
xe
dx
xex
x
xx
x
x)1(
)1(
)1(
1
3
）（
C
xe
xe
C
u
u
uu
du
x
x
uxex
1
ln
1
ln
)1(
1令
例2计算
2)1(xe
dx
。
分析本题的困难之处在于分母出现2)1(xe。我们可从两个简单积分中得到启发，由积分
Cedx
e
e
x
x
x
)1ln(
1
，进一步考虑积分Cedx
e
e
e
dx
x
x
x
x
)1ln(
11
。从
此联想到本题可通过分解的方法化为简单积分。
解C
e
edx
e
e
e
dx
e
ee
e
dx
x
x
x
x
xx
xx
x
1
1
)1ln()
)1(1
1
(
)1(
1
)1(222
例3计算
14
x
dx
。
分析对于积分dx
x
x
dx
x
x
1
1
1
1
4
2
4
2
和我们可变形后用凑微分法求解，如设
0x
，
C
x
x
x
x
x
xd
x
x
x
dx
x
x
2
1
arctan
2
1
2)
1
(
)
1
(
1
1
1
1
12
2
2
2
2
4
2
同理
C
xx
xx
dx
x
x
12
2
12
2
ln
22
1
1
4
1
2
若对前面两个积分比较熟悉，就会联想到本题采用如下巧妙的分解，便可以得到结果。
)
1
1
1
1
(
2
1
1
)1()1(
2
1
1
1
4
2
4
2
4
22
4
x
x
x
x
x
xx
x
解设
0x
，C
xx
xx
x
x
dx
x
x
dx
x
x
x
dx
12
12
ln
24
1
2
1
arctan
22
1
1
1
2
1
1
1
2
1
12
22
4
2
4
2
4
。
例4计算dx
xx
x
)1(
arcsin
。
分析被积函数中出现
x
dx
，在分子出现x，可考虑利用凑微分
xd
x
dx
2
，又再次可凑
微分)(arcsin
1
xd
x
xd
，从而使积分化简。也可考虑直接令
txarcsin
使积分化
简。
解法1Cxxdxxd
x
x
dx
xx
x
2)(arcsin)(arcsinarcsin2
1
arcsin
2
)1(
arcsin
解法2令,2sin,sin,arcsin2tdtdxtxtx
CxCttdtdt
tt
tt
dx
xx
x
22
22
)(arcsin2
cossin
2sin
)1(
arcsin
例5计算)0(,
adx
xa
xa
。
分析对于简单无理函数的积分，基本思想是设法使其有理化。
解
dttadx
xa
xa
dx
xa
xatax)sin1(
)(sin
22
2
令
=Cxa
a
x
aCtaat22arcsincos
例6计算
122
xx
dx
。
分析本题除可采用三角换元法之外，常常可按形如
cbxaxx
dx
2
的积分，利用倒代换
t
x
1
，使积分化简。
解法1令,sec,tan2tdtdxtx
C
x
x
C
t
t
td
dt
t
t
dt
tt
t
xx
dx
2
222
2
22
1
sin
1
sin
sin
sin
cos
sectan
sec
1
解法2令
,
1
,
1
2
dt
t
dx
t
x
C
x
x
Ctdt
t
t
xx
dx
2
2
222
1
1
11
例7计算
dx
x
x
1
arctan3。
分析本题是典型的用分部积分法求解的题目，只要熟悉
dvu、
选择的规律，是很容易求解
的。其
dvu、
选择的原则：①v易求得；②
udv
易积出，其一般规律符合LIATE选择
法：L：对数函数，I：反三角函数，A：幂函数，T：三角函数，E：指数函数.被积函
数如遇其中任何两种函数的乘积，先选出现在LIATE中的函数为u，剩下的函数为
v
。
显然本题中选dvdxxu
x
3,
1
arctan
解dx
x
x
x
xdx
x
x
1
4
11
arctan
4
11
arctan
2
4
43
=Cx
x
x
x
xdx
x
x
x
x
)
3
arctan
1
arctan(
4
1
)
1
1
1(
4
11
arctan
4
13
4
2
24
例8计算dx
x
xex
232
arctan
)1(
。
分析当你对常见函数的微分形式熟悉时，会很快考虑到两次利用凑微分法，得到
x
xx
de
x
x
darctgx
x
xe
dx
x
xe
arctan
22
arctan
232
arctan
11
)1(
然后采用分部积分法就很清楚了。
解
232
arctanarctan
2
232
arctan
)1(
1
)1(x
dx
ee
x
x
dx
x
xe
xx
x
=xxde
x
e
x
x
arctan
2
arctan
21
1
1
（再次分部积分）
=dx
x
xe
e
x
e
x
xx
xx
232
arctan
arctan
2
arctan
2)1(
1
1
1
故此题属方程型，解一简单代数方程得：
Ce
x
x
dx
x
xe
x
x
arctan
2
232
arctan
1
1
2
1
)1(
例9计算)1(,
2
xdx
e
xe
x
x
。
分析本题如上题的考虑方法，可综合运用换元、分部及无理函数积分法。
解)2(
22
x
xx
x
ed
e
x
dx
e
xe
（凑微分）22xexd（再凑微分）
=dxeexxx2222（分部积分，2xev）
=du
u
u
exx
2
4
22
2
2
（出现无理函数，令2xeu）
=C
u
uexx)
2
arctan2(422
=C
e
ex
x
x1
2
arctan242)2(2。
例10设
)2(
sin
正整数m
x
dx
I
m
m
，试导出递推公式：
2
11
2
sin)1(
cos
m
m
m
I
m
m
xm
x
I
。
分析建立积分递推公式，常利用分部积分法，关键是恰当选择
dvu,
，且选法可以多样。
一般对于
m
mxf
dx
I
)]([
型，可按下式分解：
1)]([
)(1
)]([
)()(1
m
mm
m
Idx
xf
xf
dx
xf
xfxf
I
或
2
222
)]([
)(1
)]([
)()(1
m
mm
m
Idx
xf
xf
dx
xf
xfxf
I
式中dx
xf
xf
m)]([
)(1
或dx
xf
xf
m)]([
)(12
可通过直接积分或利用分部积分，并解一简单代数
方程得到。
类似地，对于dxxfIm
m
)]([型，可按下式分解：
dxxfxfIdxxfxfIm
m
m
m
]1)([)]([]1)(1[)]([1
1
1
或dxxfxfIdxxfxfIm
m
m
m
]1)([)]([]1)(1[)]([22
2
22
解法1
)(sin
sin
cos
sin
sinsin1
2
22
xd
x
x
Idx
xx
I
m
m
m
m
=
2
1
21
1
sin
cos
1
1
m
m
m
I
m
x
x
m
I=
xm
x
I
m
m
m
m
1
2sin)1(
cos
1
2
解法2从分母中拿出
x2sin
，让,cot,
sin2
xv
x
dx
dv
dx
x
x
xm
x
x
x
xd
I
mmm
m
122sin
cos
cot)2(
sin
cot
sin
cot
=))(2(
sin
cos
sin
sin1
)2(
sin
cos
2
1
2
1
mm
mmm
IIm
x
x
dx
x
x
m
x
x
，
所以
2
11
2
sin)1(
cos
m
m
m
I
m
m
xm
x
I
解法3分子分母同第乘
xsin
，让
xvxdxdvcos,sin
))(1(
sin
cos
sin
cos
)1(
sin
cos
sin
cos
2
12
2
11
mm
mmmm
m
IIm
x
x
dx
x
x
m
x
x
x
xd
I
所以
m
m
m
I
m
m
xm
x
I
1
sin)1(
cos
1
2
,即
2
11
2
sin)1(
cos
m
m
m
I
m
m
xm
x
I
例11计算.
)1(22xx
dx
分析此题为一比较简单的有理函数的积分，关键是将被积函数分解为部分分式之和，若采
用待定系数法，让
22221)1(
1
x
DCx
x
B
x
A
xx
求待定数A，B，C，D，一般较为麻
烦，对复杂一些的有理函数，其分解更为困难。我们有时可采用加减某些量的方法进
行分解：
2222
22
221
11
)1(
1
)1(
1
xxxx
xx
xx
应用这种方法，你会感到形如
xx
dx
dx
x
x
xx
dx
xx
dx
mmcossin
,,
2sin
cos
,
cossin
,
cossin2532
的积分并不困难。
例12计算dx
xx
xx
cos3sin2
cos8sin
。
分析被积函数的分子、分母均具有
xbxacossin
的形式。利用此形式函数的导数具有同
一形式的特点，可考虑将分子分解为两部分：一部分与分母的导数成比例，另一部分
与分母本身成比例，从而使积分化简。
解)cos3sin2()cos3sin2(cos8sin
xxBxxAxx
xBAxBAcos)23(sin)32(求得A=2，B=1，
从而原式=
Cxxxdx
xx
xx
cos3sin2ln2]
cos3sin2
)cos3sin2(
2[
例13计算
xx
dx
22cos2sin
。
分析对形如dxxxR)cos,(sin的积分，总可采用万能代换，但有时运算颇为烦琐，故一般
尽可能利用适当的三角恒等变形或以下换元方式，使积分化简。
（1）若;sin),cos,(sin)cos,(sintxxxRxxR则令
（2）;cos),cos,(sin)cos,sin(txxxRxxR则令
（3）;tan),cos,(sin)cos,sin(txxxRxxR则令
（4）.,cossin)cos,(sin则进行积化和差nxmxxxR
本题被积函数属（3）形式，可令
txtan
。
解C
x
t
dt
tgxx
dx
xx
dx
2
tan
arctan
2
2
2)2(coscos2sin22222
。
例14已知)(,10,tan2cos)(sin22xfxxxxf求时当
分析本题求解的关键是利用函数记号的含意写出)(xf
。
解
,sin2
sin1
1
1
sin1
1
sin21)(sin2
22
22x
xx
xxf
即x
x
xf2
1
1
)(
所以)10.()1ln()2
1
1
()()(2
xCxxdxx
x
dxxfxf
例15设
)(xf
的原函数为dxxfxxx)(,ln)sin1(
求。
分析被积函数出现)(xfx
，可采用分部积分法，且应取,)(dxxfdv
同时在具体问题中，
要注意搞清楚原函数的概念。
解
x
x
xxxxxf
sin1
lncos]ln)sin1[()(
Cxxxxfdxxfxxfdxxfx
ln)sin1()()()()(
Cxxxxx)ln1)(sin1(lncos
例16设
0sin
0
)(
2
xx
xx
xf
，
，
，求
)(xf
的不定积分。
分析
),()(为在xf
内连续的分段函数，它在
),(
内原函数存在。原函数亦为分段
函数，而且在分段点处连续、可导。为了保证这一点，可先分别求
)(xf
各分段在相应
区间
),0)(0,(
内的原函数，然后由原函数在
0x
处的连续性确定两个不是相互独
立的常数之间的关系（这同时必然保证原函数在
0x
处可导，其原因从略），便可得到
),()(在xf内的不定积分。
解分别在
),0)(0,(
内求原函数：
.0,cossin
,0,
3
1
)(
2
1
32
xCxxdx
xCxdxx
xF
当
当
由于
)(xf
在
0x
处连续，因此原函数
)(xF
在该点连续。
令)cos(lim)
3
1
(lim
2
0
1
3
0
CxCx
xx
从而得,11
12
CCC
故
上海第二工业大学
2021-2021学年第二学期不定积分测验试卷答案
一、填空题（每题3分，共15分）
1）
(0)3f
；2）
()
2ln(1)
fx
dxxc
x
；3）xxexeedxec；
4）
1
2
tan
2(cos)
cos
x
dxxc
x
；5）222
1
()()
4
xxfxfxdxec
。
二、选择题（每题3分，共15分）
1．（D）()()dfxdxfxdx2．（C）31yx；
3．（C）22
1
(1)
2
xc4．（B）cosx；5．（C）2
1
2
xx；
三、计算题（每题6分，共60分）
1．
2
32
111
lnarctan
1
xx
dxdxdxxxc
xxxx
2．
2
3
33
1111
(23ln)(23ln)
32
23ln23ln
dxdxxc
xxx
3．
33
24
222
(arctan)(arctan)11
ln(1)(arctan)
11124
xxxx
dxdxdxxxc
xxx
4．
65
62
3
,,6
5
632
3
1111
6()
6()61
()
xtxtdxtdtxt
dxtdtdt
tttdttt
xxx
=
6
6
11
[lnln(1)][ln]
66
1
x
ttcc
x
5．
tan
422
22
11cos2
cosseccos
(1)2
xtt
dxttdttdtdt
x
2
111
(sin2)(arctan)
2221
x
ttcxc
x
2f
6．sinsin[sincos]sincosxxxxxxexdxxdeexexdxexexdx
sincossincos(sin)xxxxxexxdeexexexdx，
1
sin(sincos)
2
xexdxxxc
7．222
2
1
arctanarctanarctan
1
xt
xdxtdttttdt
t
2arctanarctantanarctanttttcxarvxxxc。
8．
2
2222
5126161(613)8
613
xxdxx
dxdxdx
xxxxxxxx
22
2
(3)13
2ln6138ln6132arctan
(3)422
dxx
xxxxc
x
9．
11
ln11ln(11)
1
1
xet
xx
x
dx
tdtttceec
t
e
10．
tan
2
2
2
2
2
2
1
1
1
3cos2
3
1
12
tanarctancos
22
22
x
td
t
dtdt
t
xt
t
tx
arvcc
四、（本题10分）设
sin2,0
()0,0
ln(21),0
xx
fxx
xx
，求()fx的一个原函数()Fx。
解：当
0x
，
1
1
()sin2cos2
2
Fxxdxxc；
当
0x
时，
2
()Fxc；
当
0x
时，
F()ln(21)ln(21)(ln(21)xxdxxxxdx
21
ln(21)ln(21)1
2121
x
xxdxxxdx
xx
3
1
ln(21)ln(21)
2
xxxxc
由于()Fx连续，
211
0
33
0
11
(0)lim(cos2)
22
1
lim(ln(21)ln(21))
2
x
x
Fcxcc
xxxxcc
取
23
0cc，
11
cos2,0
22
()0,0
1
ln(21)ln(21),0
2
xx
Fxx
xxxxx
。
第二节康普顿效应
一、教学目标
1、知识目标
了解康普顿效应及其解释；
了解光既具有波动性，又具有粒子性；
了解光是一种概率波。
2、能力目标
能通过日常和实验事例理解概率的意义；
培养学生对问题的分析和解决能力，初步建立光与实物粒子的波粒二象性以及用概率
描述粒子运动的观念．
3、德育目标
理解人类对光的本性的认识和研究经历了一个十分漫长的过程，这一过程也是辩证发
展的过程。
二、教学重点、难点
重点：康普顿效应及其解释、光的波粒二象性
难点：光是一种概率波
三、教学过程
（一）引入新课：,
光在传播过程中,遇到两种均匀媒质的分界面时,会产生反射和折射现象。但当光在
不均匀媒质中传播时,情况就不同了。由于一部分光线不能直线前进,就会向四面八方散
射开来,形成光的散射现象。地球周围由空气形成的大气层,就是这样一种不均匀媒质。
因此,我们看到的天空的颜色，实际上是经大气层散射的光线的颜色。科学家的研究表明,
大气对不同色光的散射作用不是“机会均等”的,波长短的光受到的散射最厉害。当太阳
光受到大气分子散射时,波长较短的蓝光被散射得多一些。由于天空中布满了被散射的蓝
光,地面上的人就看到天空呈现出蔚蓝色。空气越是纯净、干燥,这种蔚蓝色就越深、越
艳。如果天空十分纯净,没有大气和其他微粒的散射作用，我们将看不到这种璀璨的蓝色。
比如在2万米以上的高空，空气气体分子特别稀薄，散射作用已完全消失，天空也会变得
暗淡。
同样道理,旭日初升或日落西山时,直接从太阳射来的光所穿过的大气层厚度,比正午时
直接由太阳射来的光所穿过的大气层厚度要厚得多。太阳光在大气层中传播的距离越长,
被散射掉的短波长的蓝光就越多,长波长的红光的比例也显著增多。最后到达地面的太阳
光,它的红色成分也相对增加。因此,才会出现满天红霞和血红夕阳。实际上,发光的太阳
表面的颜色始终没有变化。
二、新课教学
（一）康普顿效应
一般的光散射知识告诉我们，只有当光通过光学性质不均匀的媒质时，光散射现象才
会发生．但是实验发现，当波长很短的光（电磁波），如X射线、射线等通过不含杂质的
均匀媒质时，也会产生散射现象，且一反常态，在散射光中除有与原波长相同的射线外，
还有比原波长大的射线出现．这现象首先由美国物理学家康普顿于1922～1923年间发现，
并作出理论解释，故称康普顿效应，亦称康普顿散射．
康普顿效应的规律可归纳如下：
康普顿效应中波长的改变与原入射光波长和散射物质无关，而与散射方向有关．当散射
角（散射线与入射线之间的夹角）增大时，也随之增大．
1、康普顿散射现象的解释：
(1)光子不仅有能量hν,而且有动量hν/λ
(2)模型：“X射线光子与静止的自由电子的弹性碰撞”
（3）在碰撞过程中能量和动量守恒
光子与物质中的”自由电子”碰撞,把部分能量传给电子,光子的能量¯,散射X射线的
频率¯，波长;光子与物质中被原子核束缚很紧的电子碰撞,应看做是光子和整个原子
的碰撞。原子的质量远大于光子的质量,在弹性碰撞中散射光子的能量(波长)几乎不改变,
故在散射线中还有与原波长相同的射线。
2、康普顿效应的意义进一步验证了光的粒子性：
(1)首次实验证实了爱因斯坦提出的“光子具有动量”的假设;
(2)支持了“光子”概念,证实了普朗克假设=h；
(3)证实了在微观领域,动量和能量守恒定律仍然成立。
（二）光的波粒二象性
光具有波动性：光的干涉、光的衍射
光具有粒子性：光电效应、康普顿效应
光具有波粒二象性
玻恩用概率波很好的解释了光的波粒二象性
1、动画（参考媒体资料中的动画“光的波粒二象性”）：当我们用很弱的光做双缝干
涉实验时，将感光胶片放在屏的位置上，会看到什么样的照片呢？为什么会有这种现象？
分析图片：
结论：
1、左侧图片清晰的显示了光的粒子性．
2、光子落在某些条形区域内的可能性较大（对于波的干涉即为干涉加强区），说明光
子在空间各点出现的可能性的大小可以用波动规律进行解释．
得出：光波是一种概率波，概率表征某一事物出现的可能性．
2、让学生回忆道尔顿板实验：
教师总结：道尔顿板实验中，单个小球下落的位置是不确定的,但是它落在中间狭槽
的可能性要大一些，即小球落在中间的概率较大．
3、思考与讨论：
（书中的思考）根据你的理解，说明概率的意义，举出几个日常生活中的或科学中的
事例，说明哪些事件是个别出现时看不出什么规律，而大量出现时则显示出一定的规律性．