二次函数知识点
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2023年2月25日发(作者：郭淑芬)二次函数的知识点归纳总结
一般地，我们把形如y=ax^2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0）
的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为
常数项。x为自变量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。
注意：“变量”不同于“未知数”，不能说“二次函数是指未知数的最高
次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只
取一个值），“变量”可在一定范围内任意取值。在方程中适用“未知数”
的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知
函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中
的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者
的差别.如同函数不等于函数关系。
二次函数的几种表达式一般式
y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为
[-b/2a,(4ac-b^2)/4a]
把三个点代入式子得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的
值。
顶点式
y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k），对称轴为
x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax^2的图像相同，
有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式交点式
y=a(x-x)(x-x)(a≠0)[仅限于与x轴即y=0有交点A（x，0）和B（x，
0）的抛物线，即b^2-4ac≥0].
已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x，0）和B（x，0）,我们可
设y=a(x-x)(x-x),然后把第三点代入x、y中便可求出a。
由一般式变为交点式的步骤：X1+x2=-b/ax1·x2=c/a
y=ax^2+bx+c
=a（x^2+b/ax+c/a）
=a[﹙x^2-(x+x2)x+x1x2.=a(x-x1)(x-x2)
重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a>0
时，开口方向向上；a<0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口
大小。a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。
二次函数图像与X轴交点的情况
当=b^2-4ac>0时，函数图像与x轴有两个交点。
当=b^2-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。
当=b^2-4ac<0时，函数图像与x轴没有交点。
二次函数图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax^2+bx+c的图像，可以看
出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
如果所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由一般式平移得到
的。
注意：草图要有:
1.本身图像，旁边注明函数。
2.画出对称轴，并注明直线X=什么（X=-b/2a）
3.与X轴交点坐标（x1,y1);(x2,y2)，与Y轴交点坐标(0,c)，顶
点坐标(-b/2a,(4ac-b^2/4a).
轴对称
二次函数图像是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a
对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。
a,b同号，对称轴在y轴左侧
b=0,对称轴是y轴
a,b异号，对称轴在y轴右侧顶点
二次函数图像有一个顶点P，坐标为P(h,k)
当h=0时，P在y轴上；
当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。
h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a。开口
二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
当a>0时，二次函数图像向上开口；
当a<0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则二次函数图像的开口越小。
决定对称轴位置的因素
一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a>0,与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；因为对称轴
在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、
b要同号
当a>0,与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。因为对称轴在
右边则对称轴要大于0，也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0，所以a、
b要异号
可简单记忆为同左异右，即当a与b同号时（即ab>0），对称轴
在y轴左；当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。
事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的
该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过
对二次函数求导得到。
决定与y轴交点的因素
常数项c决定二次函数图像与y轴交点。
二次函数图像与y轴交于（0,C）
注意：顶点坐标为（h,k)，与y轴交于（0,C)。
与x轴交点个数
a0或a>0;k<0时，二次函数图像与x轴有2个交点。
k=0时，二次函数图像与x轴只有1个交点。
a<0;k0,k>0时，二次函数图像与X轴无交点。
当a>0时，函数在x=h处取得最小值ymin=k，在xh范围内是增
函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向上，函数的值
域是y>k
当a<0时，函数在x=h处取得最大值ymax=k，在xh范围内是减
函数（即y随x的变大而变大），二次函数图像的开口向下，函数的值
域是y0，则抛物线开口朝上；
a<0，则抛物线开口朝下；
极值点：（-b/2a，(4ac-b2;)/4a）；
Δ=b2-4ac,
Δ>0，图象与x轴交于两点：（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，
0）；
Δ=0，图象与x轴交于一点：（-b/2a，0）；
Δ<0，图象与x轴无交点；
特殊地，Δ=4，顶点与两零点围成的三角形为等腰直角三角形；
Δ=12，顶点与两零点围成的三角形为等边三角形。
y=a(x-h)2+k[顶点式]此时，对应极值点为（h，k），
其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4ay=a(x-x1)(x-x2)[交点式（双根
式）]（a≠0）
对称轴X=(X1+X2)/2当a>0且X(X1+X2)/2时，Y随X的增大而
增大，
当a>0且X（X1+X2）/2时Y随X的增大而减小
此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求
出解析式（一般与一元二次方程连用）。
交点式是Y=A(X-X1)(X-X2)知道两个x轴交点和另一个点坐标设
交点式。
两交点X值就是相应X1X2值。
增减性
当a>0且y在对称轴右侧时，y随x增大而增大，y在对称轴左侧
则相反
当a<0且y在对称轴右侧时，y随x增大而减小，y在对称轴左侧
则相反两个关联函数图像
对称关系
对于一般式：y=ax^2+bx+c与y=ax^2-bx+c两图像关于y轴对称
y=ax^2+bx+c与y=-ax^2-bx-c两图像关于x轴对称
y=ax^2+bx+c与y=-ax^2+bx+c-2b^2*|a|/4a^2关于顶点对称
y=ax^2+bx+c与y=-ax^2+bx-c关于原点对称。
对于顶点式：
y=a(x-h)^2+k与y=a(x+h)^2+k两图像关于y轴对称，即顶点（h,k）
和（－h,k）关于y轴对称，横坐标相反、纵坐标相同。
y=a(x-h)^2+k与y=-a(x-h)^2-k两图像关于x轴对称，即顶点（h,k）
和（h,－k）关于y轴对称，横坐标相同、纵坐标相反。
y=a(x-h)^2+k与y=-a(x-h)^2+k关于顶点对称，即顶点（h,k）和（h,k）
相同，开口方向相反。
y=a(x-h)^2+k与y=-a(x+h)^2-k关于原点对称，即顶点（h,k）和（－
h,－k）关于原点对称，横坐标、纵坐标都相反。
（其实就是对f(x)来说f(-x),-f(x),-f(-x)的情况）与一元二次方程的关
系
特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），
即ax^2+bx+c=0
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1．二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各
式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴
如下表：
解析式
顶点坐标对称轴
y=ax^2(0，0)x=0
y=ax^2+K(0，K)x=0
y=a(x-h)^2(h，0)x=h
y=a(x-h)^2+k(h，k)x=h
y=ax^2+bx+c(-b/2a，(4ac-b^2);/4a)x=-b/2a
当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h
个单位得到，当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到。
当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上
移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k（h>0,k>0）的图象
当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下
移动|k|个单位，就可得到y=a(x-h)^2+k（h>0,k<0）的图象
当h0时，将抛物线y=ax^2向左平行移动|h|个单位，再向上
移动k个单位，就可得到y=a(x+h)^2+k（h0）的图象
当h<0,k<0时，将抛物线y=ax^2向左平行移动|h|个单位，再向下
移动|k|个单位，就可得到y=a(x+h)^2+k（h<0,k<0）的图象
在向上或向下。向左或向右平移抛物线时，可以简记为“上加下减，
左加右减”。
因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般
式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的
大体位置就很清楚了。这给画图象提供了方便。
2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当
a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，
[4ac-b^2]/4a)
3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x≤-b/2a时，y随x的
增大而减小；当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大。若a<0，当x≤-b/2a
时，y随x的增大而增大；当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小。