位置关系有哪些

位置关系有哪些

-金属镁

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2.3.4圆与圆的位置关系

学习目标核心素养

1．掌握圆与圆的位置关系及判定方法．(重

点)

2．了解两圆相离、相交或相切时一些简单的

几何性质的应用．(重点)

3．掌握利用圆的对称性灵活解决问题的方

法．(难点)

1．通过学习圆与圆的位置关

系，培养直观想象的核心素养．

2．借助圆与圆的位置关系的判

断，培养数学运算的核心素养．

奥运五环象征着什么？圆与圆的位置关系有哪些？

1．圆与圆的位置关系

圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．

2．圆与圆的位置关系的判定

(1)几何法：若两圆的半径分别为r

1

、r

2

，两圆的圆心距为d，则两圆的位

置关系的判断方法如表：

位置关系外离外切相交内切内含

图示

d与r

1

、r

2

的关系

d＞r

1

＋r

2

d＝r

1

＋r

2

|r

1

－r

2

|

＜d＜r

1

＋r

2

d＝|r

1

－r

2

|d＜|r

1

－r

2

|

(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．

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





圆C

1

方程

圆C

2

方程

――→

消元

一元二次方程









Δ>0⇒相交

Δ＝0⇒内切或

外切

Δ<0⇒外离或

内含

思考：用代数法消元后若Δ＜0成立，是否两圆相离？

[提示]相离或内含．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．

()

(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．

()

(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在

的直线方程．()

[答案](1)×(2)×(3)×

[提示](1)错误，还可能是内切．

(2)错误，还需要大于两半径之差的绝对值．

(3)错误，在相交的情况才是．

2．两圆x2＋y2－4x－6y＋9＝0和x2＋y2＋12x＋6y－19＝0的位置关系是

()

A．外离B．外切

C．相交D．内切

B[两圆的圆心分别为(2,3)，(－6，－3)，半径分别为2,8．所以两圆的圆

心距d＝2＋62＋3＋32＝10，∴10＝2＋8，即d＝r1

＋r

2

．]

3．两圆x2＋y2＝r2与(x－2)2＋(y＋1)2＝r2(r＞0)外切，则r的值是()

A．5B．5

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C．

5

2

D．25

C[∵两圆外切，

∴圆心距d＝0－22＋0＋12＝2r，

解得r＝

5

2

．]

4．已知两圆x2＋y2＋4x＋6y＋10＝0与x2＋y2－2x＋8y＋6＝0相交于A，B

两点，则直线AB的方程为．

3x－y＋2＝0[两圆的方程相减得6x－2y＋4＝0，即3x－y＋2＝0．]

圆与圆位置关系的判定

【例1】已知圆C

1

：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C

2

：x2＋y2＋2x－

2my＋m2－3＝0．

(1)当m为何值时，圆C

1

与圆C

2

外切？

(2)当圆C

1

与圆C

2

内含时，求m的取值范围？

[思路探究]本题主要考查两圆的位置关系，关键将圆的方程表示为标准

方程，然后再利用外切、内含的条件列出方程或不等式即可．

[解]对于圆C

1

与圆C

2

的方程，经配方后，有

C

1

：(x－m)2＋(y＋2)2＝9．C2

：(x＋1)2＋(y－m)2＝4．

∴两圆的圆心C

1

(m，－2)，C

2

(－1，m)，半径r

1

＝3，r

2

＝2，且|C

1

C

2

|＝

m＋12＋m＋22．

(1)若圆C

1

与圆C

2

相外切，则|C

1

C

2

|＝r

1

＋r

2

，

即m＋12＋m＋22＝5．

解得m＝－5或m＝2．

(2)若圆C

1

与圆C

2

内含，则0≤|C

1

C

2

|＜|r

2

－r

1

|＝1，

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即m＋12＋m＋22＜1．

解得－2＜m＜－1．

1．判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围问题有以

下几个步骤：

(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径；

(2)计算两圆圆心的距离d；

(3)通过d，r

1

＋r

2

，|r

1

－r

2

|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，

必要时可借助于图形，数形结合．

2．应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰

的，要理清圆心距与两圆半径的关系．

[跟进训练]

1．当实数k为何值时，两圆C

1

：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C

2

：x2＋y2－2x

－14y＋k＝0相交、相切？

[解]将两圆的一般方程化为标准方程，C

1

：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，

C

2

：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k．

圆C1

的圆心为C

1

(－2,3)，半径r

1

＝1；

圆C2

的圆心为C

2

(1,7)，半径r

2

＝50－k(k＜50)．

从而|C1

C

2

|＝－2－12＋3－72＝5．

当1＋50－k＝5，k＝34时，两圆外切．

当|50－k－1|＝5，50－k＝6，k＝14时，两圆内切．

当|r2

－r

1

|＜|C

1

C

2

|＜r

2

＋r

1

，

即14＜k＜34时，两圆相交．

两圆相交的有关问题

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【例2】已知圆C

1

：x2＋y2－10x－10y＝0和圆C

2

：x2＋y2＋6x＋2y－40

＝0相交于A，B两点，求弦AB的长．

[思路探究]本题主要考查两圆的相交弦问题，关键是要寻找关于弦AB的

相交量．由于两圆方程已知，可先求A，B的坐标，再求弦长，也可转化为直

线AB与圆C1

或圆C

2

的相交问题．

[解]法一：两圆方程相减得4x＋3y－10＝0，此即为两圆相交弦所在直线

AB的方程．

由











4x＋3y－10＝0，

x2＋y2－10x－10y＝0，

解得











x＝－2，

y＝6

或











x＝4，

y＝－2.

∴A，B的坐标分别为(－2,6)，(4，－2)．

∴|AB|＝－2－42＋6＋22＝10．

即弦AB的长为10．

法二：由解法一得直线AB为4x＋3y－10＝0．

圆心C1

(5,5)到直线AB的距离为

d＝

|20＋15－10|

5

＝5，

而圆C1

的半径为r＝52．

由圆的性质可知

|AB|＝2r2－d2＝250－25＝10．

即弦AB的长为10．

1．求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共

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弦所在直线方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此

求解，否则应先调整系数．

2．求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公

式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦

长的一半构成的直角三角形求解．

3．已知圆C

1

：x2＋y2＋D

1

x＋E

1

y＋F

1

＝0与圆C

2

：x2＋y2＋D

2

x＋E

2

y＋F

2

＝

0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D

1

x＋E

1

y＋F

1

＋λ(x2＋y2＋D

2

x

＋E

2

y＋F

2

)＝0(λ≠－1)．

[跟进训练]

2．(1)圆O

1

：x2＋y2－4x＋6y＝0和圆O

2

：x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，

则线段AB的垂直平分线的方程是．

(2)经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点且圆心在直线x

－y－4＝0上的圆的方程为．

(1)3x－y－9＝0(2)x2＋y2－x＋7y－32＝0[(1)两圆的方程相减得AB的方

程为x＋3y＝0，圆O1

的圆心为(2，－3)，所以线段AB的垂直平分线的方程为

y＋3＝3(x－2)，即3x－y－9＝0．

(2)解方程组











x2＋y2＋6x－4＝0，

x2＋y2＋6y－28＝0，

得两圆的交点A(－1,3)，B(－6，－

2)．

设所求圆的圆心为(a，b)，因圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4．

则有a＋12＋a－4－32＝a＋62＋a－4＋22，

解得a＝

1

2

，故圆心为













1

2

，－

7

2

，

半径为













1

2

＋1

2

＋













－

7

2

－3

2

＝

89

2

．

故圆的方程为













x－

1

2

2

＋













y＋

7

2

2

＝

89

2

，

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即x2＋y2－x＋7y－32＝0．]

圆与圆的相切问题

[探究问题]

1．圆与圆相切是什么意思？

[提示]两圆相切指的是内切和外切两种情况．

2．两圆相切可用什么方法求解？

[提示](1)几何法．利用圆心距d与两半径R，r之间的关系求得，

d＝R＋r为外切，d＝|R－r|为内切．

(2)代数法．将两圆联立消去x或y得到关于y或x的一元二次方程，利用Δ

＝0求解．

【例3】求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋3y＝0相切于点M(3，

－3)的圆的方程．

[思路探究]设圆的方程，利用两圆外切和直线与圆相切建立方程组求

得．

[解]设所求圆的方程为

(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，

由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，

则a－12＋b2＝r＋1．①

又所求圆过点M的切线为直线x＋3y＝0，

故

b＋3

a－3

＝3，②

|a＋3b|

2

＝r．③

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解由①②③组成的方程组得

a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－43，r＝6．故所求圆的方程为(x－4)2＋

y2＝4或x2＋(y＋43)2＝36．

1．将本例变为“求与圆x2＋y2－2x＝0外切，圆心在x轴上，且过点(3，

－3)的圆的方程”，如何求？

[解]因为圆心在x轴上，

所以可设圆心坐标为(a,0)，半径为r，

则所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，

又因为与圆x2＋y2－2x＝0外切，且过点(3，－3)，

所以











a－12＋02＝r＋1，

3－a2＋－32＝r2，

解得











a＝4，

r＝2，

所以圆的方程为(x－4)2＋y2＝4．

2．将本例改为“若圆x2＋y2－2x＝0与圆x2＋y2－8x－8y＋m＝0相外切，

试求实数m的值．”

[解]圆x2＋y2－2x＝0的圆心为A(1,0)，半径为r1

＝1，圆x2＋y2－8x－8y

＋m＝0的圆心为B(4,4)，半径为r2

＝32－m．因为两圆相外切，

所以4－12＋4－02＝1＋32－m，解得m＝16．

处理两圆相切问题的两个步骤

(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两

圆内切还是外切两种情况讨论．

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(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差

的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)．

1．本节课的重点是理解并掌握圆与圆的位置关系，会利用方程判断圆与圆

的位置关系，以及解决有关问题，难点是利用方程判断圆与圆的位置关系及利

用直线与圆的方程解决简单的实际生活问题．

2．本节课要重点掌握的规律方法

(1)判断两圆位置关系的方法及应用．

(2)求两圆公共弦长的方法．

3．本节课的易错点是判断两圆位置关系时易忽略相切的两种情况而丢解．

1．两圆x2＋(y－2)2＝1和(x＋2)2＋(y＋1)2＝16的位置关系是()

A．相离B．相交

C．内切D．外切

B[两圆圆心分别为(0,2)和(－2，－1)，半径分别为1和4，圆心距d＝

4＋9＝13，|r

1

－r

2

|＜d＜|r

1

＋r

2

|，故两圆相交．]

2．若圆C

1

：x2＋y2＝1与圆C

2

：x2＋y2－6x－8y＋n＝0内切，则n＝()

A．21B．9

C．19D．－11

D[C

2

化为标准方程(x－3)2＋(y－4)2＝25－n，

其圆心为(3,4)，半径r＝25－n，C1

圆心为(0,0)，半径为1．

若两圆内切，则有3－02＋4－02＝25－n－1，解得n＝－11．]

3．已知两圆的圆心距为6，两圆的半径分别是方程x2－6x＋8＝0的两个

根，则两圆的位置关系为()

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A．外离B．外切

C．相交D．内切

B[由题意知r

1

＋r

2

＝6＝6(两圆圆心距)，

∴两圆外切．]

4．圆x2＋y2＝8与圆x2＋y2＋4x－16＝0的公共弦长为．

4[两圆方程作差得x＝2，当x＝2时，由x2＋y2＝8得y2＝8－4＝4，即y

＝±2，即两圆的交点坐标为A(2,2)，B(2，－2)，则|AB|＝2－(－2)＝4．]

5．已知圆C

1

：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C

2

：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，求

两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．

[解]设两圆交点为A(x

1

，y

1

)，B(x

2

，y

2

)，则A，B两点坐标是方程组











x2＋y2＋2x－6y＋1＝0①

x2＋y2－4x＋2y－11＝0②

的解，

①－②得：3x－4y＋6＝0．

∵A，B两点坐标都满足此方程，

∴3x－4y＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程．

易知圆C1

的圆心(－1,3)，半径r

1

＝3．

又C1

到直线AB的距离为

d＝

|－1×3－4×3＋6|

32＋－42

＝

9

5

．

∴|AB|＝2r2

1

－d2＝232－













9

5

2

＝

24

5

．

即两圆的公共弦长为

24

5

．