定义域和值域
-巨型计算机
2023年2月23日发(作者：博易大师官网)函数定义域求法总结
一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x的范围。
（1）分母不为零
（2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1
（5）y=tanx中x≠kπ+π/2；y=cotx中x≠kπ等等。
(6)0x
中x
0
二、抽象函数的定义域
1.已知)(xf的定义域，求复合函数][xgf的定义域
由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数
的定义域之中，因此可得其方法为：若)(xf的定义域为bax,，求出)]([xgf中
bxga)(的解
x
的范围，即为)]([xgf的定义域。
2.已知复合函数][xgf的定义域，求)(xf的定义域
方法是：若][xgf的定义域为bax,，则由bxa确定)(xg的范围即为)(xf
的定义域。
3.已知复合函数[()]fgx的定义域，求[()]fhx的定义域
结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由][xgf定义
域求得xf的定义域，再由xf的定义域求得][xhf的定义域。
4.已知()fx的定义域，求四则运算型函数的定义域
若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交
集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。
函数值域求法四种
在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和
对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且
还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可
缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所
涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，
若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。
本次课就函数值域求法归纳如下，供参考。
1.直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1.求函数x
1
y的值域。
解：∵0x
∴0
x
1
显然函数的值域是：),0()0,(
例2.求函数x3y的值域。
解：∵0x
3x3,0x
故函数的值域是：]3,[
2.配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3.求函数]2,1[x,5x2xy2的值域。
解：将函数配方得：4)1x(y2
∵]2,1[x
由二次函数的性质可知：当x=1时，4y
min
，当1x时，8y
max
故函数的值域是：[4，8]
3.判别式法
例4.求函数2
2
x1
xx1
y
的值域。
解：原函数化为关于x的一元二次方程
0x)1y(x)1y(2
（1）当1y时，Rx
0)1y)(1y(4)1(2
解得：2
3
y
2
1
（2）当y=1时，0x，而
2
3
,
2
1
1
故函数的值域为
2
3
,
2
1
例5.求函数)x2(xxy的值域。
解：两边平方整理得：0yx)1y(2x222（1）
∵Rx
∴0y8)1y(42
解得：21y21
但此时的函数的定义域由0)x2(x，得2x0
由0，仅保证关于x的方程：0yx)1y(2x222在实数集R有实
根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由
0求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为
2
3
,
2
1
。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵2x0
0)x2(xxy
21y,0y
min
代入方程（1）
解得：]2,0[
2
2222
x
4
1
即当2
2222
x
4
1
时，
原函数的值域为：]21,0[
注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集
时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
4.换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式
含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之
一，在求函数的值域中同样发挥作用。
例6.求函数1xxy的值域。
解：令t1x，)0t(
则1tx2
∵4
3
)
2
1
t(1tty22
又0t，由二次函数的性质可知
当0t时，1y
min
当0t时，y
故函数的值域为),1[
课堂练习
一、求函数的定义域
1、求下列函数的定义域：
⑴
2215
33
xx
y
x
⑵2
1
1()
1
x
y
x
⑶02
1
(21)4
1
1
1
yxx
x
2、设函数fx()的定义域为[]01，，则函数fx()2的定义域为___；函数fx()2
的定义域为________；
3、若函数(1)fx的定义域为[]23，，则函数(21)fx的定义域是；函数
1
(2)f
x
的定义域为。
4、知函数fx()的定义域为[1,1]，且函数()()()Fxfxmfxm的定义域存在，
求实数
m
的取值范围。
5、若函数()fx=
34
4
2
mxmx
x
的定义域为R,则实数
m
的取值范围是（）
A、(－∞,+∞)B、(0,
4
3
]C、(
4
3
,+∞)D、[0,
4
3
)
6、若函数2()1fxmxmx的定义域为R，则实数
m
的取值范围是（）
(A)04m(B)04m(C)4m(D)04m
7.已知函数()fx的定义域为15，，求(35)fx的定义域．
8.若函数)(xfy的定义域为
2,
2
1
，则)(log
2
xf的定义域为。
9.已知函数2(22)fxx的定义域为03，，求函数()fx的定义域．
10.已知函数的定义域为，则的定义域为
________。
11.函数定义域是，则的定义域是（）
A.B.C.D.
12.已知函数f(2x）的定义域是［-1，1］，求f(log2x)的定义域.
13.若()fx的定义域为35，，求()()(25)xfxfx的定义域．
14.已知函数的定义域是，求的定义
域。
15.若函数f(x+1)的定义域为[－
2
1
，2]，求f(x2)的定义域．
二、求函数的值域
1.函数
2
1
1
fxxR
x
的值域是_________
2.
2
2
2
2
xx
y
x
的值域是________
3.12yxx的值域是__________
4.二次函数247,0,3yxxx的值域为。
5.函数265yxx的值域是15函数241yxx的值域是
6.函数224yxx的值域是（）
A[2,2]B[1,2]C[0,2]D
[2,2]
7.若函数y=x2-3x-4的定义域为［0,m］，值域为［-
4
25
,-4］，则m的取值范围是()
A.(0,4B.［
2
3
,4］C.［
2
3
,3］D.［
2
3
,+∞)
8.
2
21
xx
y
xx
9.如何求函数
23
(1)
1
x
yx
x
的值域？
2
1
(1)
3
x
yx
x
呢？
课后小结：
（1）求函数定义域时，不要化简所给解析式，而是直接从所给的解析式寻找使解析式有
意义时自变量满足的条件。
（2）函数的定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视。
（3）定义域的求法:见上面讲义。
（4）求函数值域时要先观察函数的结构特征，然后选好所适合的方法来解题，尤其要注
意根据定义域来求值域，不要忽略定义域的范围。
家庭作业
1.设函数的定义域为，则
（1）函数的定义域为________。
（2）函数的定义域为__________。
2、已知函数的定义域为，则的定义域为__________
3、已知函数的定义域为，则y=f(3x-5)的定义域为
________。
4、4.设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求y=f()
3
1
()
3
1
xfx定义域。
5
.55、若函数
a
axaxy
1
2
的定义域是R，求实数a的取值范围
6.求下列函数的值域
223yxx()xR
223yxx[1,2]x
2
2
594
1
xx
y
x
＋
245yxx
2445yxx
12yxx