北师大版高一数学(必修一)知识归纳及习题讲座

2024年1月16日发(作者：)

北师大版高一数学（必修一）经典习题集

一、集合

1．设集合P={3，4，5}，Q={4，5，6，7}，定义P★Q={（a,b)|aP,bQ}则P★Q中元素的个数为 个

2．设集合M3．已知集合4．设集合xx2mx60，则满足M1,2,3,6M的m的取值范围是

nAxxsin,nZ，则A的非空真子集个数有 个

6A{x||x|4}，B{x|x24x30}，则集合{x|xA且xAB}= 。

2x15．设集合A{x||xa|2}，B{x|

1}，且AB，则实数a的取值范围是 。x26．函数yxn的x、n都属地集合{1,2,3,4,9}且xn，若以所有的函数值为元素作为集合M，则M中元素的个数为 。

7.（2009年上海卷理）已知集合值范围是 。

8.（2009重庆卷文）若U3的倍数}，则UAx|x1，Bx|xa，且ABR，则实数a的取{nn是小于9的正整数}，A{nUn是奇数}，B{nUn是(AB) ．

9.（2009重庆卷理）若AxRx3，BxR2x1，则AB ．

10.（2009上海卷文） 已知集体A={x|x≤1},B={x|≥a},且A∪B=R，则实数a的取值范围 m。

11.（2009北京文）设A是整数集的一个非空子集，对于kA，如果k1A且k1A，那么k是A的一个“孤立元”，给定S12（2009天津卷{1,2,3,4,5,6,7,8,}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤文）设全集立元”的集合共有 个.

UABxN*|lgx1ACUBm|m2n1,n0,1,2,3,4，则集合B= 。

x2a0}． 13．已知集合A＝{x|(x2)[x(3a1)]0}，B＝{x|x(a21)⑴当a＝2时，求AB；

⑵求使BA的实数a的取值范围．

14.

15.，若A{x|x2axa2190}B{x|x25x60},C{x|x22x80}．

（1）ABAB，求a的值；

（2）AB，且AC，求a的值；

（3）ABAC，求a的值；

A{x|x24x30},B{x|x2axa10},C{x|x2mx10}，且ABA，ACC，求a，m的值.

16．已知下列集合：

（1）A1 （2）A2 （3）A3 (4)

xx2k1,kN,k5；

xx2k,kN,k5；

xx4k1,或x4k1,kN,k3A4(x,y)xy6,xN,yN



问：（Ⅰ）用列举法表示上述各集合；

（Ⅱ）对集合A1，A2，A3，如果使kZ,那么A1，A2，A3所表示的集合分别是什么？并说明A3与A1的关系．

17．（1）设Ax4x2，Bxx2或x4 （2）设集合Mx1x2 ，Nxxk3，若MN．求k的取值范围．

．求AB，AB，(CRB)A．

二、 求函数值域

求函数的值域或最值是高中数学基本问题之一，也是考试的热点和难点之一。遗憾的是教材中仅有少量求定义域的例题、习题，而求值域或最值的例题、习题则是少得屈指可数。原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容，技巧性强，有很高的难度，因此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步强化。本文谈一些求函数值域的方法，仅作抛砖引玉吧。

一、 基本知识

1． 定义：因变量y的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。

2． 函数值域常见的求解思路：

⑴．划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。

⑵．反解函数，将自变量x用函数y的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y的不等式，解不等式即可获解。

yf(x)看作是关于自变量x的方程，在值域中任取一个值y0，y0对应的自变量x0一定为方程yf(x)在定义域中的一个解，即方程yf(x)在定义域内有解；另一方面，若y取某值y0，方程yf(x)在定义域内有解x0，则y0 ⑶．可以从方程的角度理解函数的值域，如果我们将函数一定为x0对应的函数值。从方程的角度讲，函数的值域即为使关于x的方程解的yf(x)在定义域内有y得取值范围。

特别地，若函数可看成关于x的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。

⑷．可以用函数的单调性求值域。

⑸．其他。

3． 函数值域的求法

在以上求解思路的引导下，又要注意以下的常见求法和技巧：

⑴．观察法；⑵．最值法；⑶．判别式法；⑷．反函数法；⑸．换元法；⑹．复合函数法；⑺．利用基本不等式法；⑻．利用函数的单调性；⑼．利用三角函数的有界性；⑽．图象法；⑾．配方法；⑿．构造法。

二、 举例说明

⑴．观察法：由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。

例1：求函数 例2：求函数yx1x1,x≥1的值域。

2,yx26x10的值域。

1,



⑵．最值法：对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值求函数的值域的方法。

1y2x，x2,2的值域。

,4

4732 例4：求函数y2x5x6的值域。

,

8 例3：求函数⑶．判别式法：通过二次方程的判别式求值域的方法。

例5：求函数y2x11,1,的值域。



2x2x22⑷．反函数法：利用求已知函数的反函数的定义域，从而得到原函数的值域的方法。

222x3的值域。

,,

333x2daaaxb 例7：求函数y，c0,x的值域。

,,

ccccxd 例6：求函数y⑸．换元法：通过对函数恒等变形，将函数化为易求值域的函数形式来求值域的方法。

例8：求函数1yx12x的值域。

,

2

⑹．复合函数法：对函数而求出yf(u),ug(x)，先求ug(x)的值域充当yf(u)的定义域，从yf(u)的值域的方法。

49ylog1(2x25x3)的值域。

,

82 例9：求函数⑺．利用基本不等式求值域：

1的值域。

,22,

x1 例11：求函数y2x2(x0)的值域。

3,

x 例10：求函数yx⑻．利用函数的单调性：

yx1x1的值域。

2 提示：y，x≥1，∴x1,x1都是增函数，故yx1x1x1x1是减函数，因此当x1时，ymax2，又∵y0，∴y0,2。

 例13：求函数yx12x的值域。

11 略解：易知定义域为,，而yx12x在,上均为增函数，∴22 例12：求函数1111y≤12，故y,

2222⑼．利用三角函数的有解性：

12cosx13, 的值域。

,53cosx22sinx1,3 例15：求函数y的值域。

2sinx3 例14：求函数y⑽．图象法：如果可能做出函数的图象，可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此方法）。

例16：求函数yx3x1的值域。

4,4

求函数值域方法很多，常用的有以上这些，这些方法分别具有极强的针对性，每一种方法又不是万能的。要顺利解答求函数值域的问题，必须熟练掌握各种技能技巧。

⑾．配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域。

例17：求函数 解：由x2yx2x2的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

x2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时

199x2x2(x)20,

244332 ∴0≤xx2≤,函数的值域是0,。

22 ⑿．构造法：根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。

例18：求函数yx24x5x24x8的值域。

f(x)(x2)21(x2)222

点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。

解：原函数变形为 作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位

正方形。设HK=x,则EK=2x,KF=2x,AK=(x2)222,

KC=(x2)21 。

由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共

线时取等号。

∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。

三、 函数的单调性和奇偶性

[例1] 如果函数[例2] 判断函数f(x)x22(a1)x2在(,4]上是减函数，求a的取值范围。

f(x)x3a（aR）在R上的单调性

[例3 ] 已知函数f(x)，g(x)在R上是增函数，求证：f[g(x)]在R上也是增函数。

1 [例4] 求函数yx的单调区间

x [例5] 判断下列函数是否具有奇偶性

（1）（2）（3）（4）（5）f(x)(1x)33(1x2)2

f(x)x23

f(x)1xx1

f(x)x211x2f(x)(x1)

1x

1x[例6] 函数f(x)在(,)上为奇函数，且当x(,0]时，f(x)x(x1)，则当x(0,)时，求f(x)的解析式。

2 [例7] 设f(x)为奇函数，且在定义域(1,1)上为减函数，求满足f(1a)f(1a)0的实数a的取值范围。

[例8] 设式f(x)是定义在(0,)上的增函数，f(2)1且f(xy)f(x)f(y)，求满足不等f(x)f(x3)2的x的取值范围。

四、 指数函数

1x－2x例1 求函数y＝()的单调增区间和单调减区间．

221x－2x1t2解：令y＝f(x)＝()，则函数f(x)可以看作函数y＝()与函数t＝x－2x的复合函数．

221t因为y＝()在(－∞，＋∞)上是减函数，

222函数t＝x－2x＝(x－1)－1在(－∞，1]上是单调减函数，在[1，＋∞)上单调增函数，

21x－2x所以函数f(x)＝()的单调增区间是(－∞，1]；单调减区间是[1，＋∞)．

2注：(1)利用复合函数的方法确定函数单调性的关键是弄清已知函数是由哪几个基本函数的复合而成的．

(2)复合函数单调性的判定的结论：同增异减．当然这一结论解决填空题或选择题时，直接使用，如果是解答题，必需使用函数单调性的定义进行证明．

21x－2x(3)本题可进一步研究：函数f(x)＝()的值域如何求？

2由上面的结论可知：

t＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，

所以0＜f(x)≤2，当且仅当x＝1时，f(x)＝2，

21x－2x因此，函数f(x)＝()的值域为(0，2]．

221x－2x注意：必须注意f(x)＝()＞0．

2x－x例2 判断函数f(x)＝a＋a(a＞0，且a≠1)的奇偶性，并证明之．

解 函数f(x)的定义域是R．

2

由于对定义域内任意x，都有

f(－x)＝a－x＋ax＝f(x)，

所以函数f(x)＝a＋a是偶函数．

x解：(1)因为对人任意x∈R，3＋1≠0，

所以函数f(x)的定义域是R．

x3－12(2)因为y＝f(x)＝x＝1－x

3+13+12x设t＝3，则y＝g(t)＝1－(t＞0)．

t+1设0＜t1＜t2，则

222(t1－t2)y1－y2＝－＝＜0，

t2+1t1+1(t1+1)(t2+1)x－xy

1

y＝g(t)(t＞0)

O

1

x

所以函数y＝g(t)是(0，＋∞)上的增函数．

2所以y＞1－＝－1．

0+1所以f(x)的值域是(－1，＋∞)．

注意：可画出函数y＝g(t)(t＞0)的图象，由图象得y＞－1．

x3－12(安排此问题是为了让学生通过x，1－x这两个形式之间的转化，为下面两个函数的性质做铺垫)

3+13+1x3－12 (3)提问：计算f(－x)应该用x，1－x哪一种形式计算更为方便呢？

3+13+1对于任意x∈R，都有

－xxx3－11－33－1f(－x)＝

－x＝＝－f(x)，

x＝－x3+11＋33+1x3－1所以f(x)＝x是奇函数．

3+1x3－12(4)提问：计算f(x1)－f(x2)应该用x ，1－x哪一种形式计算更为方便呢？

3+13+1对于R上任意两个值x1，x2，设x1＜x2，

22f(x1)－f(x2)＝(1－)－(1－)

x1x23＋13＋1＝－＝，

x1x1x23＋13＋1(3＋1)(3＋1)x因为x1＜x2，y＝3是单调增函数，

222(3－3)x1x2x2所以3＜3，所以3－3＜0．

又因为 3＋1＞0，3＋1＞0，

所以

f(x1)－f(x2)＜0，

即

f(x1)＜f(x2)，

x3－1所以f(x)＝x是R上的单调增函数．

3+1ax－1总结对于f(x)＝x(a＞0，且a≠1)的单调性和奇偶性的研究，应该具体问题具体分析．

a+1x1x2x1x1x2x2第五讲 巧解y=f(ax+b)函数的解析式和定义域

有很多同学在求复合函数的解析式和函数的定义域时，有时感觉步骤太多，不愿求，或很容易求错。现在介绍一种简便的方法供同学们参考。

一、 求复合函数的解析式

21、 已知f(2x－1)=3x-4x+3,求f(x+3)的解析式

一般的方法是先利用换元法求出f(x)的解析式，再利用f(x)的解析式求f(x+3)的解析式。

3217t1t1t1,所以f(t)=3()-4·+3=tt,

424222317322f(x+3)=(x3)(x3)=x4x7

4244解：设2x-1=t,则x=2

巧解：令2x-1=t+3,则x=所以f(x+3)=

t4t4t432,所以f(t+3)=3()-4·+3=t4t7

2224232x4x7

42、 已知f(12x)=5-3x,求f(x+1)的函数解析式

1t21t2解：设12x=t,所以x=(t>0),f(t)=5-3·22372f(x+1)=(x1) (x>-1)

22练习：(1)已知：f(3x+8)=3x+6x+9,求f(1-3x)的函数解析式

（2）已知f(3x4)=9x+8,求f(3x-8)的函数解析式

二、求函数的定义域

1、已知函数y=f(2=327t

225x3) 的定义域为（3，13），求y=f(3x－8)的定义域

25x314<31,所以6<3x-8<31,解得x13，所以函数f(3x-8)23学生对这样的题，关键在定义域的定义理解错误，造成解题错误，很多同学以为定义域指的是3x－8的取值范围，根据函数的定义域的概念：是使函数有意义的x的值范围，所以这题正确解法如下：

一般解法：解：依题意3

35x36t136t1314巧解：令=3t－8,x,因为3

362x练习：（1）已知y=f()的定义域为（3，8），求y=f(8x－3)的定义域。

3

六、 指数,对数函数

1．(2005广东)函数1elg(4x)2.（2007上海理）函数y的定义域是

x33.（2007全国Ⅰ文、理）函数y=f(x)的图像与函数y=log3x(x>0)的图像关于直线y=x对称，

则f(x)=

4．(2005江西理、文)若函数f(x)1x的定义域是 ．

f(x)loga(xx22a2)是奇函数，则a= ．

x22axa5.（2007重庆理）若函数f(x) =

21的定义域为R，则a的取值范围为

6．（2007江西理）设函数y＝4＋log2(x－1)(x≥3)，则其反函数的定义域为

7．（2004湖南文科）若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点，

则a的取值范围是

2x,x-,118.（2001上海理科）设函数f(x)=

，则满足f(x)= 的x值为____________.

4log81x,x(1,)

七、 关于函数的对称性和周期性

函数的对称性、周期性是函数的两个基本性质。在中学数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称）、周期性，并且在高考中也经常考察函数的对称性、周期性以及它们之间的联系，2005年，广东、福建两省的高考题均出现大题和小题。下面我们就一些常见的性质进行研究。

一、函数的对称性

1、函数ab对称。

2ab证明：在函数yf(x)上任取一点（x1，y1），则y1f(x1)，点（x1，y1）关于直线x的2对称点（，y1），当时，xabx1abx1f(abx1)f[a(bx1)]f[b(bx1)]f(x1)y1，故点（abx1，y1）也在函数ab对称。

yf(x)图象上。由于点（x1，y1）是图象上任意一点，因此，函数的图象关于直线x2yf(x)满足f(ax)f(bx)时，函数yf(x)的图象关于直线xyf(x)满足f(ax)f(bx)c时，函数yf(x)的图象关于点（（注：特别地，a=b=0时，该函数为偶函数。）

2、函数abc，）对称。

22abc证明：在函数yf(x)上任取一点（x1，y1），则y1f(x1)，点（x1，y1）关于点 （，）22的对称点（abx1，c－y1），当xabx1时，

f(abx1)cf[b(bx1)]cf(x1)cy1，即点（abx1，c－y1）在函数yf(x)的图象上。由于点（x1，y1）为函数yf(x)图象上的任意一点可知，函数yf(x)的图象关于点abc（，）对称。

22yf(ax)的图象与yf(bx)的图象关于直线x（注：当a=b=c=0时，函数为奇函数。）

3、函数ba对称。

2ba2证明：在函数对称点（，则y1f(ax1)，点（x1，y1）关于直线xyf(ax)上任取一点（x1，y1）。由于f[b(bax1)]f[bbax1]f(ax1)y1，故点bax1，y1）（bax1，y1）在函数yf(bx)上。由点（x1，y1）是函数yf(ax)图象上任一点，因此ba对称。

yf(ax)与yf(bx)关于直线x2二、周期性

1、一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

2、对于非零常数A，若函数yf(x)满足f(xA)f(x)，则函数yf(x)必有一个周期为2A。

证明：f(x2A)f[x(xA)]f(xA)[f(x)]f(x)

∴函数yf(x)的一个周期为2A。

13、对于非零常数A，函数yf(x)满足f(xA)，则函数yf(x)的一个周期为2A。

f(x)证明：略。

4、对于非零常数A，函数yf(x)满足f(x)1，则函数yf(x)的一个周期为2A。

f(x)证明：略。

三、对称性和周期性之间的联系

1、函数yf(x)有两根对称轴x=a，x=b时，那么该函数必是周期函数，且对称轴之间距离的两倍必是函

数的一个周期。

已知：函数yf(x)满足是周期函数。

证明：∵f(ax)，求证：函数yf(x)f(ax)f(ax)，f(bx)f(bx)（a≠b）f(ax)得f(x)f(2ax)

f(bx)f(bx)得f(x)f(2bx)

∴f(2ax)f(2bx)

∴f(x)f(2b2ax)

∴函数yf(x)是周期函数，且2b2a是一个周期。

2、函数yf(x)满足f(ax)f(ax)c和f(bx)f(bx)c（a≠b）时，函数yf(x)是周期函数。

（函数yf(x)图象有两个对称中心（a，cc）、（b，）时，函数yf(x)是周期函数，且对称中心22距离的两倍，是函数的一个周期。）

证明：由f(ax)f(ax)cf(x)f(2ax)c

f(bx)f(bx)cf(x)f(2bx)c

得f(2ax)f(2bx)

得f(x)f(2b2ax)

∴函数yf(x)是以2b－2a为周期的函数。

3、函数yf(x)有一个对称中心（a，c）和一个对称轴xb）（a≠b）时，该函数也是周期函数，且一个周期是4(ba)。

证明：略。

四、知识运用

2005高考中，福建、广东两省的试卷都出现了对这方面的知识的考查，并且福建卷的12题是一个错题。现一并录陈如下，供大家参考。

1、（2005·福建理）f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)0，则方程f(x)0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

解：f(x)是R上的奇函数，则f(0)0，由f(x3)f(x)得f(3)0，f(2)0f(5)0

f(2)0f(1)0f(1)0 ∴f(4)0

∴x=1，2，3，4，5时，f(x)0

这是答案中的五个解。

但是

f(15)f(153)f(15)又

f(15)f(15) 知

f(15)0而

0f(15)f(153)f(45) 知

x1.5,x4.5,f(x)0也成立，可知：在（0，6）内的解的个数的最小值为7。

2、（2005·广东 19）设函数f(x)在（，）上满足f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)，且在闭区间[0，7]上，只有f(1)f(3)0。

⑴试判断函数yf(x)的奇偶性；

⑵试求方程f(x)0在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论。

解：⑴由f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)得函数yf(x)的对称轴为x2，x7。由前面的知识可知函数的一个周期为T=10。

因为函数yf(x)在[0，7]上只有f(1)可知

f(3)0

f(0)0，f(7)0

又

f(3)0,且f(3)f(310)f(7)

∴f(7)0

而

f(7)0且f(7)0，则f(7)f(7)，f(7)f(7)

因此，函数yf(x)既不是奇函数，也不是偶函数。

⑵由f(3)f(1)0，可得f(11)f(13)f(7)f(9)0

故函数yf(x)在[0，10]和[－10，0]上均有两个解，满足f(x)0；从而可知函数yf(x)在[0，2005]上有402个解，在[－2005，0]上有400个解。所以，函数yf(x)在[－2005，2005]上共有802个解。

八、 函数问题中的易错点

函数的应用问题主要是指将实际问题转化为函数问题，就是“数学建模”，它是解决数学应用题的重要方法.在建模时常会因出现“忽视从实际出发”、“理解不全面”、“与事实不符”和“时间间隔计算出错”四种解题误区，下面就函数应用问题中的这四个误区进行举行分析：

一、忽视从实际出发确定函数的定义域致错

例1、某工厂拟建一座平面图（如图）为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外壁建造单价为每米400元，中间两条隔壁建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元（池壁的厚度忽略不计，且池无盖）（1）、写出总造价y（元）与污水处理池长x（米）的函数关系式，并指出其定义域.

（2）求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价.

错解：（1）污水处理池的长为x米，则宽为

200米，总造价

xy400(2x2=800(x200200)248280200

xx324)16000(0x16)

x324324（2）y800(x，即)1600080023241600044800，当且仅当xxxx32418

最低造价为44800元.

错因分析：上述解法中的思路是正确的，第（1）问列的式子也正确，但是定义域0x16是不严格的，应由已知条件进一步缩小范围：12.5x16.第（2）问中应用不等式解最值时忽视等号成立的条件为x18，但在定义域内取不到18，所以应根据函数的单调性进行分析求解.

324200正解：（1）y800(x)16000,16,x12.5，则定义域为12.5,16

xx（2）长和宽分别为16米，12.5米时，总造价最低且为45000元.

二、由于对实际问题理解不全面而致错

例2、在一个交通拥挤及事故易发路段，为了确保交通安全，交通部门规定，在此路段内的车速v（单位：km/小时）的平方和车身长（单位：m）的乘积与车距成正比，且最小车距不得少于半个车身长.假定车身长为l（单位：m），且当车速为50(km/小时)时，车距恰为车身长，问交通繁忙时应规定怎样的车速，才能在此路段的车流量Q最大？

车速

车流量=车距+车身长错解：dkv2l，将v50,dl代入得k1121，dvl，又将dl代入得250025002v252，由题意得d12vl(v252)，

25001000v1000v1(v252)将Q，

21vvldll()l21vl(1)v25002500v250025000当且仅当v50时,Qmax

l综上所知：v50(km/h)时,车流量Q取取最大值.

错因分析：上述解法中的结果虽然正确，但解题过程中是错误的，即虽然车速要求不低于252km/h，所以在求解过程中应分此两种情况分类求解，得到分段函数.

1l (v252)2正解：依题意，得d，

1v2l (v252)25001000v3l(v252)1000v2则Q，显然，当v2521000vdl(v252)2vl(1)2500时，Q是v的增函数，v252时，Qmax当v252时，1000v500002，

33ll211vll()l21vv2500v2500，当且仅当v50时，Qmax25000，综上所述，当v50(km/h)时车流量Q取到最大值.

l三、结果与事实不符而致错

例3、WAP手机上网每月使用量在500分钟以下（包括500分钟），按30元计费；超过500分钟的部分按0.15/分钟计费。假如上网时间过短（小于60分钟的），使用量在1分钟以下不计费，在1分钟以上（包括1分钟）按0.5元/分钟计费。WAP手机上网不收通话费和漫游费。

（1）写出上网时间x分钟与所付费用y元之间的函数关系式；

（2）12月小王WAP上网使用量为20小时，要付多少钱？

（3）小王10月份付了90元的WAP上网费，那么他上网的时间是多少？

错解：1）设上网时间为x分钟，由已知条件所付费用y关于x的函数关系式为

（2）当x20601200分钟，x500，应付y0.151200180元，

（3）90元已超过30元，所以上网时间超过500分钟，由解析式可得上网时间为600分钟。

错解分析：此题错解主要是对“超过500分钟的部分按0.15/分钟计费”中的“超过部分”理解出错，产生了与事实相违的结论，如第（2）小题上了1200分钟的网，要180元，是30元包月用500分钟的6倍，而时间上才2倍多，与事实不符；又如第（3）小题，用了90元，几乎是30元的3倍，而可上网时间才多了100分钟，与事实不符.

正解：（1）设上网时间为x分钟，由已知条件所付费用y关于x的函数关系式为

0,0x10.5x,1x60y30,60x500300.15(x500),x500（2）当x20601200分钟，x500，应付y300.15(1200500)135元，

（3）90元已超过30元，所以上网时间超过500分钟，由解析式可得上网时间为900分钟。

四、时间间隔计算出错

例4、某工厂转换机制，在两年内生产值的月增长率都是a，则这两年内第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率是多少？

错解：设第一年某月的产值为b，则第二年相应月的产值是b(1a)，依题意所求增长率是11b(1a)11b(1a)111.

b错解分析：对于增长率问题，主要是应用公式时间的间隔数.

yN(1p)x，对于x往往指基数所在时间后跨过

正解：不妨设第一年2月份的产值为b，则3月份的产值为b(1a)，4月份的产值为b(1a)，依次类推，到第二年2月份是第一年2月份后的第12个月，即一个时间间隔是一个月，这里跨过了12个月，故第二年2月份产值是b(1a)，又由增长率的概念知，这两年内的第二年某月的产值比第一年相122b(1a)12b(1a)121. 应月的增长率为：b函数应用问题解题时要掌握好函数应用问题解题的一般步骤，注意避免进入以上两个误区.具体的解题步骤一般有“审题”、“建模”、“求模”、“还原”四步，审题：弄清题意，分清条件结论，理顺数量关系；建模：将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；求模：求解数学模型，得到数学结论；还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.

变式练习题

1、已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t的函数，表达式为

解析：由A到B共用时150602.5，停留1小时距离不变，由B返回时距离逐渐减小，60t (0t2.5)x150 (2.5

15050(t3.5) (3.5

x80x120或，设一次函数为ykxm，y30y2011k则有30k80m;20120km,4，因此一次函数为yx50.另因y0，则4m501x200，又x0，因此可得0x200，即有yx50，x0,200.

4解析：设售出件数为y件，定价为x元，则有3、某人骑车沿直线旅行，先前进了a千米，休息了一段时间，又原路返回b千米(0

再前进c千米，则此人离起点的距离y与时间x的关系示意图是( )．

解析：观察排除法.因“前进了a千米后休息了一段时间”， 排除A；接着“又原路返回b千米(0

4、开始时水桶甲中有16升水，水通过水桶甲的底部小孔流入水桶乙中，t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y16ekt（k是正常数），假设经过2分钟时水桶甲和水桶乙的水量相等，那么经过多少分钟时水桶甲的水剩余2升？

解析：由题意，当t2时，y8，即816ek2，故ekkt12，

设经过t分钟时水桶甲的水剩余2升，则216e答：经过6分钟时水桶甲的水剩余2升

t1t1111)，()2()3，t6 ，(2823

习题答案

一、集合

1、12 2、m5或m7或m(26,26)

3、126 4、[1,3] 5、[0,1] 6、14

7.a≤1 解析：因为A∪B=R，画数轴可知，实数a必须在点1上或在1的左边，所以，有a≤1。

81U{则A{1,2,3,4,5,6,7,8}，1,3,5,7},B{3,6,9},2,4,8 w.w.w.k.s. 解法：所以AB{1,3,5,7,9}，所以U(AB){2,4,8}

9.（0，3）解析：因为Ax|3x3,Bx|x0,所以AB(0,3)

10. a≤1 解析：因为A∪B=R，画数轴可知，实数a必须在点1上或在1的左边，所以，有a≤1。

11.6 解析：本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型. 什么是“孤立元”？依题意可知，必须是没有与k相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素.故所求的集合可分为如下两类：因此，符合题意的集合是：1,2,3,2,3,4,3,4,5,4,5,6,5,6,7,6,7,8共6个.

AB{1,2,3,4,5,6,7,8,9}ACUB{1,3,5,7,9}B{2,4,6,8}

B＝（4，5）．

12.{2，4，6，8} 解析：U13． 解：（1）当a＝2时，A＝（2，7），B＝（4，5）∴

A2（2）∵

B＝（2a，a＋1），

当a＜1时，A＝（3a＋1，2）

32a3a1要使BA，必须，此时a＝－1；

2a121当a＝时，A＝，使BA的a不存在；

31当a＞时，A＝（2，3a＋1）

32a2要使BA，必须，此时1≤a≤3．

2a13a1综上可知，使BA的实数a的取值范围为[1，3]∪{－1}

14．（1）因为ABAB，此时当且仅当AB，又因为B{2,3}，由韦达定理可得a5和a2196同时成立，即a5；

（2）由于B{2,3}，C{4，2}，因为AB，且AC，故只可能3A，所以a23a100，也即a5或a2，由（1）可得a2；

2（3）因为ABAC，此时只可能2A，有a2a150，也即a5或a3，由（1）可得a3．

15.

由题意:A={1,3}，ABABA，又因为B{x|(x1)(x(a1))0}

B{1,a1}或B{1}.(a2时)

1,a1时，有a13，即a4 ；B1时，a2； 当B

ACCCA

2 当C时,C中方程无根，即m402m2;

1，有1m10即m2； 当C时，若C10101 若C3，有93m10即m；检验当m时，C3,，不333

10舍去

31,3时，m无解 若C由上述得：a4或a2；2m2．

16. (Ⅰ)⑴

A1xx2k1,kN,k51,3,5,7,9,11

满足ACC，故m⑵⑶⑷A2xx2k,kN,k50,2,4,6,8,10；

A4(x,y)xy6,xN,yN(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)

A3xx4k1,或x4k1,kN,k31,1,3,5,7,9,11,13；

（Ⅱ）对集合A1，A2，A3，如果使kZ,那么A1、A3所表示的集合都是奇数集；

A2所表示的集合都是偶数集；A1A3．

17．（1）画数轴可知因为CRBx2x4，所以(CRB)Ax2x2

（2）要使MN，则有k31，即k4．

二、函数的单调性和奇偶性

[例1] 解：对称轴x1a，由1a4得a3

ABx4x2，ABxx2或x4，

04[例2]解：设x1、x2x20(1)

R且x13322

f(x2)f(x1)(x2a)(x1a)(x1x2)(x1x1x2x2)22当x1x20时，x1x1x2x20

当x1x20时，x1和x2中必有之一不为0（∵

x1x2）

22∴

x1x1x2x20

222当x1x20时，x1x1x2x2(x1x2)x1x20

在上面讨论结合（1）和（2）有f(x2)f(x1)0

∴ 函数在R上是减函数

x2则x1(2)

[例3 ] 证：任取x1，x2R且x1x2则因为g(x)在R上是增函数

所以g(x1)g(x2) 又 ∵

f(x)在R上是增函数

∴

f[g(x1)]f[g(x2)] ∴

f[g(x)]在R上是增函数

结论：同增异减：yf(u)与ug(x)增减性相同（反），函数yf[g(x)]是增（减）函数。

[例4] 解：首先确定义域：任取x1、x2则xx0 ∴ 在(,0)和(0,)两个区间上分别讨论

(0,)且x1x2

xx211f(x2)f(x1)x2x1(x2x1)1x2x1x1x2

(x2x1)(1要确定此式的正负只要确定11)

x1x21x1x2的正负即可

1大于1还是小于1，由于x1x2的任意性。

x1x2考虑到要将(0,)分为(0,1)与(1,)

10 ∴

f(x2)f(x1)0 为减函数 （1）当x1,x2(0,1)时，1x1x210 ∴

f(x2)f(x)0 为增函数 （2）当x1,

x2(1,)时，1x1x2这样，又需判断,x2(1,0)时，为减函数

（4）当x1,x2(,1)时，为增函数

[例5] 注：对于定义域内的任意一个x，都有f(x)f(x)成立，则称yf(x)为偶函数。

对于定义域内的任意一个x，都有f(x)f(x)成立，则称yf(x)为奇函数。

解：（1）函数与定义域为R

同理（3）当x1f(x)(1x)33(1x2)2x33x

f(x)x33xf(x) ∴

f(x)为奇函数

2323（2）函数的定义域为R

f(x)(x)xf(x) ∴

f(x)为偶函数

1 ∴

f(x)为非奇非偶函数 （3）函数的定义域为（4）函数的定义域为1,1，此时f(x)0 ∴

f(x)既是奇函数又是偶函数

1x（5）由0得1x1，知定义域关于原点不对称

1x ∴

f(x)既不是奇函数也不是偶函数

[例6] 解：设x(0,)则x(,0) ∴

f(x)(x)(x1)x(x1)

又 ∵

f(x)在R上为奇函数 ∴

f(x)f(x)x(x1)

∴ 当x(0,)时，f(x)x(x1) ∴

f(x)x(x1)

222[例7] 解：由f(x)为奇函数知：f(1a)f(1a)f[(1a)]f(a1)

又 ∵

f(x)是减函数知：1aa21

11a12 ∴

11a1 解得0a1

1aa21 由[例8] 解：f(x)f(x3)f(x23x)

又22f(2)f(2)f(2)f(4)

2 ∴

f(x)f(x3)2 化为f(x3x)f(4)

∴

x23x4 解得3x4

x0x30六、指数,对数函数

1．,0 2．,3(3,4) 3．3x 4．22 5．11,0 6．5, 7．0, 8． 3

2

高一数学必修一总复习北师大版

【本讲教育信息】

一、教学内容：

必修一总复习

［本讲的主要内容］

1、集合及其基本运算

2、函数的概念及其基本性质

3、二次函数与幂、指、对数函数

4、函数的应用

二、学习目标

1、了解集合语言是现代数学语言的重要组成部分，可以简洁、准确地表述数学对象和结构；学会运用集合等数学语言来刻画世界和运用数学语言学习数学、进行交流的能力；

2、加深对函数概念本质的认识和理解；加强对变量数学的认识，认识到函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型；并能结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程与方法，了解指数函数、对数函数和幂函数是三类不同的函数增长模型；通过收集函数的应用实例，了解函数模型的广泛应用。

三、知识要点

1、集合的概念与基本运算

①一组对象的全体形成一个集合；常用大写拉丁字母来标记，如集合M，集合A……

②集合中的元素有三大特征，即无序性、确定性和互异性，这是判断集合形成和区分集合的重要依据；

③集合的表示：穷举法、描述法和图示法

④集合的运算：指的是子、交、并、补四种运算，其结果仍然是一个集合；

ABxA,都有xBCACABC{x|xA且xB}BC{x|xA或xB}MCUAM{x|xU且xA}

⑤以下题型的结果要用集合表述：求定义域、求值域、求不等式的解集、求方程（组）的解集以及集合运算的结果等。

2、函数的概念与基本性质

①函数概念的三种表述：运动的观念，集合的观念，映射的观念；

②函数的两大要素：定义域和对应法则；

③函数的三种表示方法：解析法，列表法和图像法；

④函数的两大重要性质：奇偶性和单调性；

⑤对分段函数、复合函数的认识。

3、二次函数与幂、指、对数函数

①二次函数学习中的几个要点：二次函数解析式的三种形式；二次函数的图像的开口方向、位置、零点及最值与系数的关系；含参数的二次函数的研究（参数分别在函数式中和定

义区间中）；三个二次的关系；

②幂函数学习中的要点：幂函数的定义；幂函数的图像与性质；在同一坐标系中不同指数的幂函数的图像的位置关系；

③指数函数学习中的要点：指数式的运算；指数函数的定义；指数函数的图像与性质；在同一坐标系中不同底的指数函数图像的位置关系；

④对数函数学习中的要点：对数式的运算；对数函数的定义；对数函数的图像与性质；在同一坐标系中不同底的对数函数图像的位置关系；对数函数与指数函数互为反函数的关系。

4、函数的应用：函数的应用主要包括两种类型，其一是函数与方程思想在解题中的综合应用；其二是函数模型在解决实际问题中的应用，常见的有效益最大化和成本最低问题。

四、考点解析与典型例题

考点一 对集合概念的考查

例1. 试写出如图阴影部分所表示的集合

① ②

解：各阴影部分的表示方法均不唯一。

① [（A∩B）∩C∪C]∪[（A∩C）∩C∪B]∪[（B∩C）∩C∪A]

② [C∪（A∩B∩C）]∩（A∪B∪C）

③A∪（B∩C）

考点二 对集合运算的考查

例2. 试写出下列集合运算的结果

①.A{x|6x6},Bx|kxk,kZ,AB?44②.A{x|1x6},Bx|x5或x0,AB?③

③.A{x|4x6或x3},CRA?解：

355377①.ABx|x或x或x或6x或x644444444②.ABR③.CRA{x|x3或3x4或x6}

考点三 对函数概念的考查

ax2bxc2,ad20的函数值域时，可以先将该函数式变形为一例3. 求形如y2dxexf个关于x的一元二次方程，然后再令判别式0即可求出该函数的值域。试说明为什么会

有0？

ax2bxc2,ad20是建立在两个非空数集上的映射，故对由答：由于函数y2dxexf其变形得到的关于x的一元二次方程而言，其解集非空，故有0。

考点四 求函数的定义域

例4. 求函数f(x)log0.5(4x3)的定义域。

解：

4x30304x31x1

4log0.5(4x3)0故该函数的定义域为：x|

考点五 求函数的值域

例5. 求函数f(x)解：令t3x1。

4x23x4的值域。

x2xt22,t0

2121y|y代入函数解析式可得：f(x)3tt10,t0，故可求得其值域为

12

考点六 对函数的两个重要性质的考查

例6. 奇函数yf(x)满足：f(3)0；当x0时yf(x)为增函数，试解不等式xf(x)0.

解：由奇函数的对称性：f(3)0；

1例7 试判断函数f(x)2ux22x3的单调性。

x22x311解：设y,ux22x3，则函数f(x)可视为这两个函数的复合函22ux1时:ux22x3单调减;1数，且知外函数y是减函数。又因为：

2x1时:ux22x3单调增1故知：f(x)2x22x3当x＜1时为增函数；当x≥1时为减函数。

考点七 函数的作图

例8. 如何由函数y＝f（x－1）－2的图像得到函数y＝f（x＋1）＋2的图像？

解：y＝f（x＋1）＋2可变形为（y－4）＝f[（x＋2）－1]－2，则知可将函数y＝f（x－1）－2的图像向左平移2个单位、再向上平移4个单位即可得到y＝f（x＋1）＋2的图像。

考点八 含参的二次函数的研究

一般地，含参的二次函数有三种情形，其一是函数式中含参，其二是定义区间含参；这两种情形的基本做法都是将函数的对称轴与定义区间的位置关系进行讨论；其三是涉及含参的二次方程的根的分布问题，一般可结合图像研究。

2例9. 已知函数f(x)mx(m3)x1的图像与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围。

解：若m＝0，则f(x)3x1，显然满足条件；若m≠0，有两种情形：

①原点的两侧各有一个交点，则

②都在原点的右侧，则：

例10. 函数f(x)x4x4在闭区间[t，t＋1]（t∈R）上的最小值记为g（t）。

（I）试写出g（t）的函数表达式；

（II）求出g（t）的最小值。

解：

2

（II）g（t）min＝－8。

考点九 函数与方程思想的考查

2例11 （2007年广东卷）已知a是实数，函数f(x)2ax2x3a，如果函数yf(x)在区间[－1，1]上有零点，求a的取值范围。

解：函数yf(x)在区间[－1，1]上有零点，即方程f(x)2ax22x3a0在[－1，1]上有解。当a＝0时，不符合题意，所以a≠0。

2方程f(x)2ax2x3a0在[－1，1]上有解

考点十 函数应用题

例12. 某地现有耕地10 000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%。如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多减少多少公顷（精确到1公顷）？

解：设耕地平均每年至多减少x公顷，并设该地区现有人口为P人，粮食单产为M吨/公顷。依题意得人均粮食占有量：M(122%)(10410x)M104(110%)P(11%)10Px103[11.1(10.01)]4.11.2210

故平均每年至多只能减少4.1公顷。

四、数学思想方法

本模块主要涉及集合及函数的基本概念与性质，以及几个常见的函数如二次函数与幂、指、对数函数。主要数学思想方法有：

1、函数与方程的思想：

在本模块学习过程中，要充分认识函数与方程内在的联系，善于借助这种联系，将函数问题转化为方程问题，或将方程问题转化为函数问题进行处理。如将方程的根的分布问题与函数的零点的分布问题进行转化。

2、数形结合的思想：

这既是重要的数学思想，也是一种重要的数学方法。学习中一要注意利用函数图像研究函数性质，二要注意利用函数图像解决有关最值、不等关系、参数范围等问题。

3、分类讨论的思想：对含有参变量的函数或集合的研究往往要进行分类讨论，要注意最后结果的表述。一般地，对一个变量进行讨论求解另一个变量的范围时，一定要就第一个变量的不同取值范围进行分开表述；如果就变量本身进行讨论求解其范围，最后必须对所求范围进行求并集运算。

【模拟试题】（答题时间：40分钟）

一、选择题

1. （2008全国一1）函数y

C.

x|x≥10

A.

x|x≥0

x(x1)x的定义域为（ ）

D.

x|0≤x≤1

B.

x|x≥1

2. （2008全国一6）若函数yf(x1)的图像与函数ylnx1的图像关于直线yx对称，则f(x)（ ）

A.

e2x1 B.

2x

eC.

e2x1 D.

e2x2

)上为增函数，且f(1)0，则不等式3.

（2008全国一9）设奇函数f(x)在(0，f(x)f(x)0的解集为（ ）

xA.

(1，0)(1，) B.

(，1)(01)，

C.

(，1)(1，) D.

(1，0)(01)，

14. （2008全国二3）函数f(x)x的图像关于（ ）

xA.

y轴对称 B. 直线yx对称

C. 坐标原点对称 D. 直线yx对称

11)alnx，b2lnx，cln3x，则（ ） 5. （2008全国二4）若x(e，，A.

a＜b＜c B.

c＜a＜b C.

b＜a＜c D.

b＜c＜a

0.56. （2008北京卷2）若a2，blogπ3，clog2sin2π，则（ ）

5D.

bca

A.

abc

则f99（ ）

B.

bac C.

cab

*7、（2008四川卷11）设定义在R上的函数fx满足fxfx213，若f12，A.

13 B.

2 C.

二、填空题

132 Ｄ.

213

8. （2008湖北卷13）已知函数f(x)x2xa，f(bx)9x6x2，其中xR，22a,b为常数，则方程f(axb)0的解集为 。

9. （2008重庆卷13）已知a

三、解答题

10. （2008湖南卷改）已知函数f(x)①若a＞0，求f(x)的定义域；

②若f(x)在区间0,1上是减函数，求实数a的取值范围。

11. （2008浙江卷改）已知t为常数，函数yx22xt在区间[0，3]上的最大值为2，求实数t。

12. （2008北京卷改）某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点Pk(xk，yk)处，其中x11，y11，当k≥2时，124（a＞0），则log2a 。

933ax(a1).

a1k1k2xx15TTkk1，55T(a)表示非负实数a的整数部分，例如yyTk1Tk2．kk155T(2.6)2，T(0.2)0。按此方案，求第6棵树种植点的坐标和第2008棵树种植点的坐

标 。

*13. （2008湖北卷）

水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为

t24V(t)(t14t40)e50,0t10,

4(t10)(3t41)50,10t12.（Ⅰ）该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期。以i1ti表示第i月份（i1,2,，问一年内哪几个月份是枯水期？

,12）（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取e2.7计算）。

试题答案

一、选择题：

1~7 CBDC CAC

二、填空题

8、

9、4

三、解答题

10、①,3②,01,3；

a；11、t＝1;

12、第6棵树种植点的坐标应为

(1，2)；第2008棵树种植点的坐标应为

(3，402) 。

解：（Ⅰ）①当0＜t10时，V（t）＝（－t＋14t－40）e5050,化简得t－13、14t＋40＞0，

解得t＜4，或t＞10，又0＜t10，故0＜t＜4。

②当10＜t12时，V（t）＝4（t－10）（3t－41）＋50＜50，

化简得（t－10）（3t－41）＜0，

221t4解得10＜t＜41，又10＜t12，故 10＜t12。

3综合得0＜t＜4，或10＜t≤12，

故知枯水期为1月，2月，3月，11月，12月共5个月。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：V（t）的最大值只能在非枯水期（4，10）内达到。

＋50＝[9(t7)]e＋502经计算，当V（t）在t＝8时取得最大值V（8）＝8e＋50＝108.32（亿立方米）。

故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米（注：本题第二问此处用了计算比较的方法，计算量比较大，但同学们可在以后的学习中得到更好的解法）。

又因为V（t）＝（－t＋14t－40）e21t421t4