下三角行列式

下三角行列式

数字编码表-云销雨霁

2023年2月22日发(作者：d672)

课题n阶行列式

作者：李朝霞

院校：济源职业术学

院

时间：05年7月

授课方式讲授课时2学时

教学目的与要求

1．理解n阶行列式的定义

2．掌握行列式的性质

3．掌握计算行列式的两种基本方法(上三角形法和降阶法）

讲授重点理解行列式的性质；掌握计算行列式的方法

讲授难点运用上三角形法和降阶法进行行列式的计算

课题：n阶行列式

教学过程：

n阶行列式的概念：

为了求解n阶线性方程组，需要将二、三阶行列式的概念推广到n阶行列式上去.

已知一个三阶行列式可以用三个二阶行列式来表示，即

这个式子给出了以二阶行列式来定义三阶行列式的方法：三阶行列式等于它的第一行元素与相应的二

阶

行列式乘积的代数和.

类似的，可以用三阶行列式定义四阶行列式为

111213

222321232122

2

323331333132

313233

aaa

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaa

aaa



仿照这种由低级行列式定义高一级行列式的方法，如果阶行列式已经定义，那么n阶行列式

就可以用个阶行列式来定义

定义1：行列式，叫做阶行列式，设阶行列式已经定义，则阶行列式的值为

其中称为阶行列式的元素，称为主对角线上的元素.

定义2在阶行列式中，元素的余子式是在中划去所在的行和列，余下的元素按原来的顺序

组成的阶行列式.元素的余子式的前面添加符号称为元素的代数余子式.记为

即

行列式的性质与计算

（一）、阶行列式的性质

11121314

2223242212223

21222324

3414313233

31323334

4243444414243

41424344

aaaa

aaaaaaaaaaaa

aaaa

aaaaaaaaaaaaaaaa

aaaa

aaaaaaaaaaaa

aaaa



1n

n

1n

11121

21222

12

n

n

nnnn

aaa

aaa

D

aaa











nnn

222322

323333

1

11121

2313111

(1)

nniin

nniin

i

i

nnnnnnnnnnininn

aaaaaaaaaa

aaaaaaaaaa

Daaa

aaaaaaaaaa





















212221

313231

1

1

121

(1)

n

n

n

n

nnnn

aaa

aaa

a

aaa





















(,1,2,,)

ij

aijn

n1122

,,,

nn

aaa

n

Dij

a

ij

M

Dij

a

1n

ij

a

ij

M

(1)ij

ij

a

ij

A

(1)ij

ijij

AM

n

性质1（交换性质）行列依次互换，行列式的值不变.

性质2（倍乘性质）某行（列）所有元素同乘以数，所得行列式的值等于原行列式的倍.

性质3行列式中有一行（列）各元素全为零，则该行列式的值为零.

性质4对换行列式任意两行（列）式的位置，行列式反号.

性质5行列式中有两行（列）元素对应相同，则行列式的值为零.

性质6行列式中有两行（列）元素对应成比例，则行列式的值为零.

性质7如果行列式中有一行（列）各元素都可以写成二项之和，则此行列式等于两个行列式之和，并

且

这两个行列式除了这一行（列）外，其余元素与原行列式的对应元素相同.

性质8（倍加性质）把某一行（列）各元素的倍加到另一行（列）对应的元素上，行列式的值不

变.

例1计算行列式的数值（特例这三种行列式的值等于主对角线的乘积）

（1）对角行列式；

（2）左下三角行列式；

kk

k

11

22

331122

000

000

000

000

nn

nn

a

a

aaaa

a













11

2122

3132331122

123

000

00

0

nn

nnnnn

a

aa

aaaaaa

aaaa













（3）右上三角行列式.

（二）、阶行列式的计算

定理行列式的值等于它的任一行（列）所有元素与其相对应的代数余子式作乘积之和.

即（按第行展开）

（按第列展开）（其中）

推论行列式某一行（列）各元素与其另一行（列）对应的代数余子式作乘积，其和为零.

即，

（其中且）

如果把定理和推论合起来简记为：

阶行列式的计算方法很多，现在介绍两种常用的方法：

1．上三角形法：

具体步骤如下：利用行列式的性质，以所在行为准将其下方的元素化为零，直至化为

一个上三角形行列式，这时主对角线上元素的乘积就是所求阶行列式的值.可以证明：任何一个行列式

经过一系

1112131

22232

3331122

0

00

000

n

n

nnn

nn

aaaa

aaa

aaaaa

a













n

D

1122iiiiinin

DaAaAAA

i

1122jjjjnjnj

aAaAAA

j,1,2,,ijn

D

1122

0

ijijinjn

aAaAAA

1122

0

ijijninj

aAaAAA

,1,2,,,ijnij



11

,

,1,2,,

0,

nn

ikjkkikj

kk

Dij

aAaAijn

ij

















n

112211

,,,

nn

aaa





n

列变换总可以化成上三角形行列式.

注意：行列式的变换必须是“保值”（“等值”）的变换。

2．降阶法（利用性质8和定理）

利用行列式性质（特别是性质8）将行列式中某一行（列）化为仅含有一个非零元素，然后再利用定

理按

此行（列）展开，变为低一阶的行列式，如此继续下去，直至降为一个三阶或二阶行列式。

例1：计算行列式：

解：方法一：上三角形法即化为上三角行列式

方法二：降阶法

1111

1120

4120

5042

D





21

3123

41

1

4

0

4

5

5

rr

rrcc

D

rr















3234

42

11111111

2

01200120

11(7)17

00740074

00730001

rrrr

rr













21

12

31

11111111

232

11202032

11311

41203011

542

50425042

rr

D

rr













按第二

（）

列展开

课堂练习：

1.用适当的方法计算下列行列式

（1）（2）

解：（1）

（2）

课程小结：通过本次课学习：理解n阶行列式的定义；掌握行列式的性质；

能灵活运用两种基本方法（上三角形法和降阶法）计算行列式.

作业：略

矩阵的秩与初等变换

12

23

32

850

2

85

(1)311117

116

2

1160

rr

rr









按第三

（）（）

列展开

2141

3121

1232

5062

D





xyxy

Dyxyx

xyxy







31

21

12

31

21412141

562562

31215062

1135013500

12323050

2

562000

50625062

rr

rr

D

rr















按第二

（）（）

列展开

121

13

221

(22)

22(22)1

221

xyxyxyyxyyxy

cccxy

Dyxyxxyxyxxyxyx

cc

xyxyxyxyxy











31

21

22

32

11

(22)0(22)0(22)244

0002

yxyyxy

rr

rr

xyxyxyxyxyxyxyxy

rr

yyxy













教学目的与要求：

1．理解矩阵的秩的概念

2．掌握矩阵的初等变换的概念和性质

3．掌握用初等变换化矩阵为行阶梯矩阵的方法、求矩阵的秩、求逆矩阵、求解矩阵方程

教学重点：矩阵的秩的概念;用矩阵的初等变换求矩阵的秩和求逆矩阵.

教学难点：用初等行变换化矩阵为行阶梯形矩阵；灵活运用初等变换求矩阵的秩和求逆矩阵.

教学方法：讲授

教学时间：3学时

教学过程：

矩阵的“秩”是矩阵理论中具有重要意义的概念，它与线性方程组解的结构有着密切关系.矩阵的初

等变

换，是矩阵的一种最基本的运算，有着广泛的应用，例如可以利用它来计算矩阵的秩和求可逆矩阵的逆矩

阵，

在研究线性方程组问题上它也起着重要作用。

矩阵的秩

定义1在矩阵中，位于任意选定的行，列交点处的个元素，按原来次序组成的阶矩阵的行列

式，

称为的一个阶子式，如果子式的值不为零，就称之为非零子式。

例如：

在第1、3行第2、5列交点处的4个元素按原来的次序组成的行列列式，称为的一个二阶子

式，它是一个非零子式。

A

kk2k

k

A

k

12345

01234

00123

00012

A















25

03

A

定义2一个矩阵，若至少有一个不为零的阶子式，而所有高于阶的子式都为零，则称矩阵的秩

为

，记为。若没有不等于零的子式，就称的秩为零，即

对于阶方阵，若，则称为降秩方阵；若,则称为满秩方阵。显然可逆

方阵是满

秩方阵。

显然，一个矩阵的秩是唯一确定的。

例1：求矩阵：的秩。

解:矩阵第1行与第4行对应元素成比例，因而任何4阶子式都为零，但有一个3阶子

式,于是.

例2：求矩阵的秩。

A

kk

A

k

()RAk

AA

()0RA

n

A

()RAk

A

()RAn

A

13054

01073

70535

260108

A

















A

130

01050

705



()3RA

221

3123

821

2124

B



















解:有一个二阶子式，而的所有三阶子式,所以.

定义3如果一个矩阵中每个非零行的首元素（指该行左起第一个非零元素）出现在上一行首元素的右边，

同

时，元素全为零的行全在下面，这样的矩阵称为阶梯形矩阵。阶梯形矩阵能直接看出矩阵的秩是多少.

例如：

，

容易看出.，也就是的不全为零的行数，因为它有不全为零的阶梯状的三行，

所以一定有一个上三角三阶子式不为零，而大于三阶的子式一定都是零。同理，得出结论：阶梯

阵的秩等于不全

为零的行数。

下面介绍一种方法能将一般的矩阵化为阶梯阵而不改变矩阵的秩，这就是矩阵的初等变

换。

矩阵的初等变换

B

22

0

312





B

()2RA

12534

00412

00067

00000

A

















72346

08063

00500

B















()3RA

A

()3RB

矩阵的初等变换在求矩阵的秩和逆矩阵以及解线性方程组等问题有着重要的作用.

在利用消元法解线性方程组时，经常反复使用这样的三种方法：

（1）互换两个方程的位置；

（2）用一个非零的乘某一方程；

（3）用一个数乘某一方程后，加到另一方程上去。

现在称（1）为互换变换，（2）为倍法变换，（3）为消去变换，这三种变换中做线性方程组的初等变换。

显然，

线性方程组经过初等变换后其解不变。

下面把初等变换的概念引入矩阵。

定义3矩阵的初等行（列）变换是指对矩阵进行以下三种变换：

（1）互换变换矩阵的两行（列）互换位置。用表示交换第行和第行；用表示交换第两行。

（2）倍法变换用一个不等于零的数乘矩阵某一行（列）的所有元素。用表示用乘第行；用表

示用

ij

r

i

jij

c

,ij

i

kr

k

ii

kc

乘第行。

（3）消去变换把矩阵某一行（列）所有元素的倍加到另一行（列）的对应元素上去。用表示

乘第行加到第行上去；用表示乘第列加到第列上去。

以上三种变换分别简称为换法行（列）变换，倍法行（列）变换与消去行（列）变换，统称为矩

阵

的初等变换。

(一).利用矩阵的初等变换来求秩

定义4：矩阵经过有限初等变换成为矩阵，称矩阵与矩阵等价。记为：

定理：若，则，即等价矩阵的秩相同。

此定理说明矩阵经过初等变换后秩不变。因此，可以仅用初等行变换把矩阵变为阶梯形矩

阵，其非零

行的个数即是矩阵的秩。.因为将换行变换、倍缩变换或消去变换施加于行列式，则行列式的值仅仅是改

变符

号、非零倍缩或保持不变，初等变换不改变行列式的非零性。

k

i

kji

rkr

k

i

jji

ckc

k

i

j

ABABAB

AB

()()RARB

例3：设矩阵：，求的秩。

解：

故，即的秩为2。

任一个矩阵都可以经过一系列初等变换化为如下的最简形式，称为的标准形。其

特点是左上角是一个阶单位阵，其他元素都是零.特别当为阶可逆方阵，的标准形为单

位阵.

(二).利用矩阵的初等行变换求逆矩阵

在给定矩阵右边补上一个和它同阶的单位矩阵，然后对该矩阵经过一系列的初等变换（只能进行

行变

换，不能进行列变换），把左边的给定的矩阵化为单位矩阵，右边的单位阵相应的就化为给定矩阵的逆

矩阵，

1210

2153

1143

3096

A





















A

21

3132

4142

2

32

0

2

0

3

rr

rrrr

rrrr

A



























()2RA

A

mn

A

r

Eo

oo







A

r

()RAr

A

n

A

E

A

A

并且还可以判别是否可逆。

即：设可逆，作矩阵，当用左乘得

根据矩阵理论，这相当于对矩阵作初等行变换。当矩阵的左半部分化为单位方阵

时，右半部分就得到了。而当左半部分某一行或几行变为全是零时，说明矩阵不可逆，即不存

在。

例4.设矩阵：求.

解：

A

A

2nn

AE1AAE

1111AAEAAAEEA







AE

2nn

AE

E1AA1A

123

221

343

A











1A

2112

3132

2

3

123110

221210

343111

rrrr

rrrr

AE





















1

2

13

2

233

()

2

5(1)

132

100132100

35

22

001111001

111

r

rr

rrr









































所以.

已知方阵可逆的充分必要条件为是非奇异的，即，因此，当方阵的秩时，

所以方阵是不可逆的。对于这样的方阵运初等行变换，必会使得方阵的某些全变为零，所以，

用初等

变换求一个方阵的逆矩阵时，不必先判别这个方阵是否可逆。如果在行变换过程中发现某一行的所有元素

全

变成零，就可知道这个方阵是不可逆的。

如在例3中，对于方阵由于，因而方阵是不可逆的.

(三).利用矩阵的初等变换求解矩阵方程

所求的矩阵方程是指含有未知矩阵的方程两边，如,其中为未知矩阵.这里只讨论都

是阶方阵，且是可逆矩阵的情形.

对于矩阵方程，根据前面所掌握的知识，只需要求出，并且再左乘方程两边，可得

但如果方阵的阶数比较大时，计算量很大，这时我们可以采取以下格式进行初等变换求解，比较方便.为

了求

出，对下面形式的矩阵进行初等变换

1

132

35

3

22

111

A



















AA

0A

A

()RAn

0A

AAA

A

A

()24RA

A

AXBX

,,AXB

n

A

AXB1A1XAB

1AB

当化为单位矩阵时，便化为，可以证明就是所要求的

例5.解矩阵方程，其中

解：

所以

课堂练习：

1.求矩阵的秩

AEED初等变换

AEBDD1AB

AXB

101101

210,210

325103

AB

















1XAB

32

21

31

2

2

3

101101

212412

3251224

rr

rr

rr

AB























1

3

13

2

23

2

1

r

rr

rr























1

511

812

612

XAB

















1253

3011

2430

1299

A



















解：

故，即的秩为3

2.设矩阵：求

解：

所以.

3.解矩阵方程，其中

21

3143

41

3

22

3

3610

243000760076

1299

rr

rrrr

rr

A



























()3RA

A

321

315

323

A











1A

2112

3123

2

2

321120

315112

323101

rrrr

rrrr

AE





















1

1

3

1

13

2

2

3

()

9

()

2

(1)

723

79

2

300100

632

22

0

22

r

rr

r

r

















































1

723

632

112

11

0

22

A





















AXB

308112

316,134

205205

AB

















解：

所以

课程小结：本次课讲授了矩阵的秩与矩阵的初等变换的概念；

介绍了用初等变换化矩阵为行阶梯矩阵的方法；

要求熟练运用矩阵的初等变换求矩阵的秩和求逆矩阵.

1XAB

13

21

23

31

24

2

6

3

3003315150

31613440

2219

0000

33333333

rr

rr

rr

rr

AB









































1

2

3

1

()

3

(1)

3

10011550

01010040

0014219

r

r

r

























1

11550

10040

4219

XAB















